2019年高考數(shù)學 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題09 不等式、推理與證明 文（含解析）

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1、專題09 不等式、推理與證明 1．【2019年高考全國I卷文數(shù)】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 【答案】B 【解析】方法一：如下圖所示. 依題意可知： ， 腿長為105 cm得，即， ， ， 所以AD>169.89. ②

2、頭頂至脖子下端長度為26 cm， 即AB<26， ， ， ， ， 所以. 綜上，. 故選B. 方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為x cm，肚臍至腿根的長為y cm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故選B． 【名師點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題． 2．【2019年高考全國III卷文數(shù)】記不等式組表示的平面區(qū)域為D．命題；命題．下面給出了四個命題 ① ② ③ ④ 這四個命題中，所有真命

3、題的編號是 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【解析】根據(jù)題中的不等式組可作出可行域，如圖中陰影部分所示， 記直線， 由圖可知，， 所以p為真命題，q為假命題， 所以為假命題，為真命題， 所以為真命題，為假命題，為真命題，為假命題， 所以所有真命題的編號是①③.故選A. 【名師點睛】本題將線性規(guī)劃和不等式，命題判斷綜合到一起，解題關(guān)鍵在于充分利用取值驗證的方法進行判斷. 3．【2019年高考北京卷文數(shù)】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為

4、Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為 A． 1010.1 B． 10.1 C． lg10.1 D． 10–10.1 【答案】A 【解析】兩顆星的星等與亮度滿足,令, . 故選：A． 【名師點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算. 4．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為 A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分. 目標函數(shù)的幾何意義是直線

5、在軸上的截距， 故目標函數(shù)在點處取得最大值. 由，得， 所以. 故選C. 【名師點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值或范圍．即：一畫，二移，三求． 5．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則“”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】等價于，故推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分條件. 故選B. 【名師點睛

6、】充要條件的三種判斷方法： (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷； (2)集合法：根據(jù)由p，q成立的對象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進行判斷； (3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題． 6．【2019年高考浙江卷】若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值是 A． B． 1 C． 10 D． 12 【答案】C 【解析】畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示. 因為，所以. 平移直線可知，當該直線經(jīng)過點A時，z取得最大值. 聯(lián)立兩直線方程可得，解得. 即點A坐標為， 所以.故選C.

7、【名師點睛】解答此類問題，要求作圖要準確，觀察要仔細.往往由于由于作圖欠準確而影響答案的準確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯. 7．【2019年高考浙江卷】若，則“”是 “”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當時，當且僅當時取等號，則當時，有，解得，充分性成立； 當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件. 【名師點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果. 8．【2019年高考

8、全國II卷文數(shù)】若變量x，y滿足約束條件則z=3x–y的最大值是______. 【答案】9 【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示， 陰影部分表示的三角形ABC區(qū)域，根據(jù)直線中的表示縱截距的相反數(shù)，當直線過點時，取最大值為9． 【名師點睛】本題考查線性規(guī)劃中最大值問題，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取圖解法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．搞不清楚線性目標函數(shù)的幾何意義致誤，從線性目標函數(shù)對應(yīng)直線的截距觀察可行域，平移直線進行判斷取最大值還是最小值． 9．【2019年高考全國II卷文數(shù)】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或

9、圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．（本題第一空2分，第二空3分．） 【答案】26， 【解析】【答案】26， 【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有個面． 如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點，延長交正方體棱于，由半

10、正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形， ， ， 即該半正多面體棱長為． 【名師點睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形． 10．【2019年高考北京卷文數(shù)】若x，y滿足則的最小值為__________，最大值為__________． 【答案】；1 【解析】根據(jù)題中所給約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示. 設(shè)，則，求出滿足在可行域范圍內(nèi)z的最大值、最小值即可， 即在可行域內(nèi)，當直線的縱截距最大時，z有最大值，當直線的縱截距最小時，z有最小值.

11、 由圖可知，當直線過點A時,z有最大值， 聯(lián)立， 可得，即， 所以； 當直線過點時，z有最小值， 所以. 【名師點睛】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本技能的考查. 11．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則的最小值為__________. 【答案】 【解析】. 因為， 所以， 即，當且僅當時取等號成立. 又因為 所以的最小值為. 【名師點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立. 12．【2019年高考北京卷文數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西

12、瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%． ①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________． 【答案】①130 ；②15. 【解析】（1）,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元. （2）設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為元, 元時,李明得到的金額為,符合要求. 元時,有恒成立,即,

13、即元. 所以的最大值為. 【名師點睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學的應(yīng)用意識?數(shù)學式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學生身邊的數(shù)學，考查學生的數(shù)學建模素養(yǎng). 13．（四川省棠湖中學2019屆高三高考適應(yīng)性考試數(shù)學（理)試題）已知集合，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 故，故選C. 【名師點睛】本題考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題，解題時注意對數(shù)不等式的等價轉(zhuǎn)化. 14．【廣東省韶關(guān)市2019屆高考模擬測試（4月)數(shù)學試題】若，滿足約束條件，則的最大值為 A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】變量

14、，滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示： 目標函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線， 當直線經(jīng)過可行域的點時，縱截距取得最小值， 則此時目標函數(shù)取得最大值， 由可得， 目標函數(shù)的最大值為：5 故選：C． 【名師點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查計算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 15．【山東省實驗中學等四校2019屆高三聯(lián)合考試理科數(shù)學試題】已知實數(shù)，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率， 當位于時，此時的斜率最小，此時． 故選B． 【

15、名師點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點之間的斜率公式的計算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵． 16．【黑龍江省大慶市第一中學2019屆高三下學期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學試題】設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內(nèi)任取一點，則點的坐標滿足不等式的概率為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】畫出所表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，易知， 所以的面積為， 滿足不等式的點，在區(qū)域內(nèi)是一個以原點為圓心，為半徑的圓面，其面積為， 由幾何概型的公式可得其概率為， 故選A. 【名師點睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡單題. 17．

16、【山西省2019屆高三高考考前適應(yīng)性訓練（三)數(shù)學試題】設(shè)，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ,即，故. 又，所以. 故，所以選A. 【名師點睛】本題考查利用作差法、作商法比較大小，考查對數(shù)的化簡與計算，考查分析計算，化簡求值的能力，屬中檔題. 18．【陜西省2019年高三第三次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題】若正數(shù)滿足，則的最小值為 A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由題意，因為， 則， 當且僅當，即時等號成立， 所以的最小值為，故選A. 【名師點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構(gòu)造，利用基本不等式準確運

17、算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題. 19．【浙江省三校2019年5月份第二次聯(lián)考數(shù)學卷】已知log2a-2+log2b-1≥1，則2a+b取到最小值時，ab= A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【解析】由log2a-2+log2b-1≥1，可得a-2>0，b-1>0且a-2b-1≥2. 所以2a+b=2a-2+b-1+5≥22a-2b-1+5≥22×2+5=9， 當2a-2=b-1且a-2b-1=2時等號成立，解得a=b=3. 所以2a+b取到最小值時ab=3×3=9.故選D. 【名師點睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最

18、值時要注意不等式取等的條件要同時滿足. 20．【北京市東城區(qū)2019屆高三第二學期綜合練習（一)數(shù)學試題】某校開展“我身邊的榜樣”評選活動，現(xiàn)對3名候選人甲、乙、丙進行不記名投票，投票要求詳見選票. 這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的 , ,，則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為 A． B． C．96% D．98% 【答案】C 【解析】設(shè)投1票的有x,2票的y,3票的z，則,則,即, 由題投票有效率越高z越小，則x=0時，z=4,故本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為96%.故選：C. 【名師點睛】本題考查推理的應(yīng)用，考查推

19、理與轉(zhuǎn)化能力，明確有效率與無效票之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵,是中檔題. 21．【西南名校聯(lián)盟重慶市第八中學2019屆高三5月高考適應(yīng)性月考卷數(shù)學試題】甲、乙、丙、丁四個人參加某項競賽，四人在成績公布前做出如下預(yù)測： 甲說：獲獎?wù)咴谝冶∪酥校? 乙說：我不會獲獎，丙獲獎； 丙說：甲和丁中的一人獲獎； 丁說：乙猜測的是對的. 成績公布后表明，四人中有兩人的預(yù)測與結(jié)果相符，另外兩人的預(yù)測與結(jié)果不相符.已知倆人獲獎，則獲獎的是 A．甲和丁 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】D 【解析】乙、丁的預(yù)測要么同時與結(jié)果相符，要么同時與結(jié)果不符，若乙、丁的預(yù)測成立，則甲、丙的預(yù)測

20、不成立，可知矛盾，故乙、丁的預(yù)測不成立，從而獲獎的是乙和丁，故選D. 【名師點睛】本題考查了邏輯推理能力，假設(shè)法是解決此類問題常用的方法. 22．【廣東省深圳市深圳外國語學校2019屆高三第二學期第一次熱身考試數(shù)學試題】已知實數(shù)，滿足，則的最大值是__________． 【答案】 【解析】由約束條件可知可行域為圖中陰影部分所示： 其中，， 又，可知的幾何意義為可行域中的點到直線距離的倍 可行域中點到直線距離最大的點為. ， 故填. 【名師點睛】本題考查利用線性規(guī)劃求解最值的問題，關(guān)鍵是能夠明確目標函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合來進行求解． 23．【天津市和平區(qū)20

21、18-2019學年度第二學期高三年級第三次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學試題】已知，，且，則最小值為__________． 【答案】 【解析】， 結(jié)合可知原式， 且 ， 當且僅當時等號成立. 即的最小值為. 【名師點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤． 24．【天津市河北區(qū)2019屆高三二模數(shù)學試題】已知首項與公比相等的等比數(shù)列an中，若m，，滿足aman2=a42，則2m+1n的最小值為__________． 【答案】1 【解析】設(shè)等比數(shù)列an公比為q，則首項a

22、1=q， 由aman2=a42得：a1qm-1?a1qn-12=a1q32， 則：qm+2n=q8，∴m+2n=8， ∴2m+1n=18?2m+1nm+2n=18?2+4nm+mn+2=18?4+4nm+mn， ，∴4nm>0,mn>0. 則4nm+mn≥24nm?mn=4（當且僅當4nm=mn，即2n=m時取等號） ∴2m+1nmin=18×4+4=1. 故填1. 【名師點睛】本題考查基本不等式求解和最小值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)等比數(shù)列各項之間的關(guān)系，通過等比數(shù)列基本量得到m,n滿足的等式，從而配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得結(jié)果. 25．【山東省實驗中學等四

23、校2019屆高三聯(lián)合考試數(shù)學試題】觀察下列式子，，，，……，根據(jù)上述規(guī)律，第個不等式應(yīng)該為__________． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，對于第一個不等式，，則有， 對于第二個不等式，，則有， 對于第三個不等式，，則有， 依此類推： 第個不等式為：， 故答案為：． 【名師點睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用，分析不等式的變化規(guī)律． 26．【陜西省延安市2019屆高考模擬試題數(shù)學】甲、乙、丙三位教師分別在延安、咸陽、寶雞的三所中學里教不同的學科A，B，C，已知： ①甲不在延安工作，乙不在咸陽工作； ②在延安工作的教師不教C學科； ③在咸陽工作的教師教A學科； ④乙不教B學科. 可以判斷乙工作的地方和教的學科分別是______、_____． 【答案】寶雞，C 【解析】由③得在咸陽工作的教師教A學科；又由①得乙不在咸陽工作，所以乙不教A學科； 由④得乙不教B學科，結(jié)合③乙不教A學科，可得乙必教C學科， 所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸陽工作；所以乙在寶雞工作， 綜上，乙工作地方和教的學科分別是寶雞和C學科． 故答案為：寶雞，C． 【名師點睛】本題考查簡單的合理推理，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題． 19