(江蘇專版)2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題09 空間幾何體的體積與表面積(含解析)

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1、專題09空間幾何體的體積與表面積 【母題來(lái)源一】【2019年高考江蘇卷】如圖,長(zhǎng)方體的體積是120,E為的中點(diǎn),則三棱錐E?BCD的體積是 ▲ . 【答案】10 【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為120,所以, 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以, 由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知底面, 所以是三棱錐的底面上的高, 所以三棱錐的體積. 【名師點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問(wèn)題中,往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系,靈活利用“割”與“補(bǔ)”的方法解題.由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積. 【母題來(lái)源二】【2018年高考江蘇卷】如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)

2、為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)_______. 【答案】 【解析】由圖可知,該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體,正四棱錐的高為1,底面正方形的邊長(zhǎng)等于,所以該多面體的體積為. 【名師點(diǎn)睛】解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在幾何模型中進(jìn)行判斷;求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí),常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決. 【母題來(lái)源三】【2017年高考江蘇卷】如圖,在圓柱內(nèi)有一個(gè)球,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是. 【答案】 【解析】設(shè)球半徑為,則.故答案為.

3、 【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略:①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解;②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解. 【命題意圖】 了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式,主要考查空間想象能力以及運(yùn)算求解能力. 【命題規(guī)律】 立體幾何問(wèn)題既是高考的必考點(diǎn),也是考查的難點(diǎn),其在高考中的命題形式較為穩(wěn)定,主要以柱體、椎體、球、組合體為載體考查常見(jiàn)幾何體的體積或表面積公式,考查的核心素養(yǎng)是直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算.提高空間想象能力,熟記柱體、椎體和球體的體積公式是求解此類問(wèn)題的關(guān)

4、鍵. 【方法總結(jié)】 (一)求柱體、錐體、臺(tái)體體積的一般方法有: (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解. (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)行求解. ①等體積法:一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化,其體積總是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí),我們可以采用等體積法進(jìn)行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形,它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法,多用來(lái)解決有關(guān)錐體的體積,特別是三棱錐的體積. ②割補(bǔ)法:運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題,關(guān)鍵是能根據(jù)幾

5、何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系,如果是由幾個(gè)規(guī)則的幾何體堆積而成的,其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積之和;如果是由一個(gè)規(guī)則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的,其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積.因此,從一定意義上說(shuō),用割補(bǔ)法求幾何體的體積,就是求體積的“加、減”法. (3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí),注意圓柱的軸截面是矩形,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用. (二)球的表面積和體積的求解策略: (1)確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑

6、,已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積;反之,已知球的體積或表面積也可以求其半徑.熟記球的表面積公式為,體積公式為. (2)與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系,正確建立等量關(guān)系. (3)有關(guān)球的截面問(wèn)題,常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓,將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問(wèn)題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿足關(guān)系式:. (4)常見(jiàn)結(jié)論: ①若正方體的棱長(zhǎng)為,則正方體的內(nèi)切球半徑是;正方體的外接球半徑是;與正方體所有棱相切的球的半徑是. ②若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,,,則長(zhǎng)方體的外接球半徑是. ③若正四面體的棱長(zhǎng)為,

7、則正四面體的內(nèi)切球半徑是;正四面體的外接球半徑是;與正四面體所有棱相切的球的半徑是. ④球與圓柱的底面和側(cè)面均相切,則球的直徑等于圓柱的高,也等于圓柱底面圓的直徑. ⑤球與圓臺(tái)的底面與側(cè)面均相切,則球的直徑等于圓臺(tái)的高. 1.【江蘇省蘇州市2019屆高三下學(xué)期階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題】四棱錐P-ABCD中,⊥底面,底面是矩形,,,,點(diǎn)E為棱CD上一點(diǎn),則三棱錐E-PAB的體積為_(kāi)_____. 【答案】 【解析】∵底面ABCD是矩形,E在CD上, ∴S△ABE3. ∵PA⊥底面ABCD, ∴VE?PAB=VP?ABE. 故答案為:. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積計(jì)算,線面位置關(guān)系

8、,熟記等體積轉(zhuǎn)化,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.由PA⊥平面ABCD可得VE?PAB=VP?ABE,求解即可. 2.【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】若將一個(gè)圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開(kāi),其展開(kāi)圖是半徑為3,圓心角為的扇形,則該圓錐的體積為_(kāi)______. 【答案】 【解析】因?yàn)檎归_(kāi)圖是半徑為3,圓心角為的扇形, 所以圓錐的母線,圓錐的底面的周長(zhǎng)為,因此圓錐底面的半徑, 根據(jù)勾股定理,可知圓錐的高, 所以圓錐的體積為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了求圓錐的體積問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是熟知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖與圓錐之間的關(guān)系.求解時(shí),通過(guò)展開(kāi)圖是半徑為3,圓心角為的扇形,可以求出圓錐的母線、

9、圓錐的底面周長(zhǎng)及半徑,這樣可以求出圓錐的高,利用圓錐的體積公式求出圓錐的體積. 3.【江蘇省徐州市2018-2019學(xué)年高三考前模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知一個(gè)圓柱的軸截面為正方形,其側(cè)面積為,與該圓柱等底等高的圓錐的側(cè)面積為,則的值為_(kāi)______. 【答案】 【解析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為,則高為,圓錐母線長(zhǎng)為, 所以,, 所以,故填. 【名師點(diǎn)睛】本題考查圓柱、圓錐側(cè)面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí),設(shè)圓柱的底面圓的半徑為,則高為,圓錐母線的長(zhǎng)為,分別計(jì)算圓柱和圓錐的側(cè)面積可得它們的比值. 4.【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬(三模)數(shù)學(xué)試題】用半徑為4的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐

10、的側(cè)面,則此圓錐的體積為_(kāi)______. 【答案】 【解析】如圖,半圓的弧長(zhǎng)為:,,即圓錐的底面半徑為:, ∴圓錐的高為:, 圓錐的體積為:, 本題正確結(jié)果為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積、體積的相關(guān)問(wèn)題的求解,屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí),由半圓弧長(zhǎng)可求得圓錐的底面半徑,從而得到圓錐的高,代入圓錐體積公式求得結(jié)果. 5.【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】某長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,,,則該長(zhǎng)方體的體積與其外接球的體積之比為_(kāi)_______. 【答案】 【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,,, 所以長(zhǎng)方體的體積為, 其外接球直徑為,故, 所以其外接球體積為

11、, 因此,該長(zhǎng)方體的體積與其外接球的體積之比為. 故答案為. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查長(zhǎng)方體的體積及其外接球的體積,熟記體積公式即可,屬于常考題型.求解時(shí),根據(jù)題中條件,先求出長(zhǎng)方體的體積,再由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于其外接球的直徑,求出外接球半徑,得到外接球體積,即可求出體積之比. 6.【江蘇省蘇州市2019屆高三5月高考信息卷數(shù)學(xué)試題】圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水,若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示),則球的半徑是 ________cm. 【答案】4 【解析】設(shè)球半徑為r,則由可得,解得. 【思路點(diǎn)睛】本題考查幾何體的

12、體積,考查學(xué)生空間想象能力,解答時(shí),首先設(shè)出球的半徑,然后再利用三個(gè)球的體積和水的體積之和等于柱體的體積,求解即可. 7.【江蘇省南京金陵中學(xué)、海安高級(jí)中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖,該幾何體由底面半徑相同的圓柱與圓錐兩部分組成,且圓柱的高與底面半徑相等.若圓柱與圓錐的側(cè)面積相等,則圓錐與圓柱的高之比為_(kāi)_______. 【答案】 【解析】設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為R,則圓柱的高=R,圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng), 因?yàn)閳A柱與圓錐的側(cè)面積相等, 所以,解得:L=2R,所以圓錐的高為=R, 所以圓錐與圓柱的高之比為. 故答案為:. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了圓柱

13、與圓錐側(cè)面積的求法,屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí),設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為R,圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng),由圓柱與圓錐側(cè)面積相等得L=2R,進(jìn)而得圓錐的高為R,即可求出結(jié)果. 8.【江蘇省南通市2019屆高三下學(xué)期4月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題】已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2,側(cè)棱與底面所成的角為60°,則該棱錐的體積為_(kāi)______. 【答案】 【解析】由題意可知:,, ,, , . 本題正確結(jié)果為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解,關(guān)鍵是利用側(cè)棱與底面的夾角,求得幾何體的高和底面邊長(zhǎng),屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí),根據(jù)側(cè)棱長(zhǎng)和側(cè)棱與底面夾角求得高和底面邊長(zhǎng),利用體積公式求得結(jié)果. 9.【江蘇省七市(南通、

14、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=3 cm,BC=1 cm,CD=2 cm.將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,由此形成的幾何體的體積為_(kāi)______cm3. 【答案】 【解析】依據(jù)題意,作出如下直角梯形: 將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體體積等于一個(gè)圓柱的體積和一個(gè)圓錐的體積之和. 其中圓柱的底面半徑為,高為,圓錐的半徑為,高為. 由此可知:. 故答案為:. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了空間思維能力,還考查了錐體體積公式及圓柱體積公式,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題

15、.求解時(shí),由題可得:將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體體積等于一個(gè)圓柱的體積和一個(gè)圓錐的體積之和,由錐體體積公式及圓柱體積公式計(jì)算得解. 10.【江蘇省七市2019屆(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)P,A,B,C為球O表面上的四個(gè)點(diǎn),PA,PB,PC兩兩垂直,且PA= 2 m,PB= 3 m,PC= 4 m,則球O的表面積為_(kāi)______m2. 【答案】 【解析】∵P,A,B,C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn),PA,PB,PC兩兩垂直, 則球的直徑等于以PA,PB,PC長(zhǎng)為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng). ∵PA= 2 m,PB= 3 m,

16、PC= 4 m, ∴2R=, 則球O的表面積S=4πR2=29π, 故答案為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積,及球的內(nèi)接多面體,其中根據(jù)已知條件構(gòu)造長(zhǎng)方體,計(jì)算出球O的半徑,是解答本題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題. 11.【江蘇省如皋中學(xué)2018-2019學(xué)年高三第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題】如圖,三棱錐中,是的中點(diǎn),在上,且,若三棱錐的體積是2,則四棱錐的體積為_(kāi)______. 【答案】10 【解析】設(shè)的面積為, ∵,∴的面積為. 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則點(diǎn)到平面的距離為, 則有, ∴, ∴四棱錐的體積為.故答案為:. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查錐體體積的求法和轉(zhuǎn)化思想

17、方法的運(yùn)用,同時(shí)也考查計(jì)算能力,屬于中檔題.解答本題的關(guān)鍵是由題意得到三棱錐與三棱錐的體積比,進(jìn)而得到三棱錐的體積,利用兩個(gè)三棱錐的體積之差可得四棱錐的體積. 12.【江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知正四棱柱中,AB=3,AA1=2,P,M分別為BD1,B1C1上的點(diǎn).若,則三棱錐M-PBC的體積為_(kāi)______. 【答案】1 【解析】由題意可知原圖如下: , 又,即, 到面的距離等于到面的距離,即, . 本題正確結(jié)果為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求解,關(guān)鍵在于能夠通過(guò)體積橋的方式將原三棱錐進(jìn)行體積變換,找到易求解的底面積和高.三棱錐體積與

18、三棱錐的體積一樣,為上動(dòng)點(diǎn),可知面積為側(cè)面面積的一半;到面的距離等于到面的距離的,由此可根據(jù)三棱錐體積公式求得體積. 13.【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題】如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)為棱上任意一點(diǎn),則四棱錐的體積為_(kāi)______. 【答案】 【解析】連接AC交BD于O點(diǎn),則有平面, 所以AO的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到平面的距離,即高; 又矩形的面積為; 所以四棱錐的體積為V==. 【名師點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是先根據(jù)已知條件證明出平面,進(jìn)而求出AO就是點(diǎn)P到平面的距離,這是本題解答的關(guān)鍵點(diǎn),此類問(wèn)題基本解題方法就是先求出高,然后再根據(jù)體積公式求出體積. 14.【鹽城

19、市2019屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖,四棱錐的底面是矩形,底面,為上一點(diǎn),且.設(shè)三棱錐的體積為,三棱錐的體積為,則__________. 【答案】 【解析】由題意得=VP?ABC=, =VP?ACE= VP?ACD – VE?ACD = VP?ABC – VE?ACD =? =VP?ABC=, 即. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的體積計(jì)算公式,首先需要注意椎體的體積公式V=S底h,另外三棱錐是唯一一個(gè)在計(jì)算體積時(shí)可以換底的,另外遇到不好求的體積可用割補(bǔ)法進(jìn)行. 15.【江蘇省如皋市2019屆高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(三)數(shù)學(xué)試題】如圖所示的幾何體是一個(gè)五面體,四邊形為矩形,,,且,,與都是正三角形,則此五面體的體積為_(kāi)______. 【答案】 【解析】如圖,將五面體補(bǔ)全為直三棱柱,因?yàn)?,,且,,與都是正三角形,所以,,, 所以,取中點(diǎn),則, 所以, 故五面體的體積為:. 【名師點(diǎn)睛】不規(guī)則幾何體體積的求法,關(guān)鍵是將幾何體看作是多個(gè)規(guī)則幾何體如柱、錐、臺(tái)、球的組合體,利用割補(bǔ)法求解,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.求解時(shí),將五面體補(bǔ)全為直三棱柱,根據(jù)五面體的幾何特征,求三棱柱底面積,再用割補(bǔ)法求五面體體積. 13

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