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1、專題08 等差數(shù)列
【母題來(lái)源一】【2019年江蘇】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是___________．
【答案】16
【解析】由題意可得：，
解得：，
則.
【名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問(wèn)題，是高考必考內(nèi)容，解題過(guò)程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.
【命題意圖】
（1）理解等差數(shù)列的概念.
（2）掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
【命題規(guī)律】
等差數(shù)列一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等為考查重點(diǎn)，題型一般為填空題，
2、解題時(shí)要注意性質(zhì)的應(yīng)用，充分結(jié)合函數(shù)與方程、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想求解.
常見的命題角度有：
（1）等差數(shù)列基本量的計(jì)算；
（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的求解；
（3）等差數(shù)列的判定與證明；
（4）等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；
（5）等差數(shù)列的文化背景問(wèn)題.
【方法總結(jié)】
（一）等差數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路：
（1）設(shè)基本量a1和公差d．
（2）列、解方程組：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量．
（二）求解等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法主要有兩種：
（1）定義法.
（2）前項(xiàng)和法，即根據(jù)前項(xiàng)和與的關(guān)系求解.
（三）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式
3、的應(yīng)用方法：
根據(jù)不同的已知條件選用不同的求和公式，若已知首項(xiàng)和公差，則使用；
若已知通項(xiàng)公式，則使用，同時(shí)注意與性質(zhì)“”的結(jié)合使用.
（四）等差數(shù)列的判定與證明的方法：
定義法：或是等差數(shù)列；
定義變形法：驗(yàn)證是否滿足；
等差中項(xiàng)法：為等差數(shù)列；
通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列；
前n項(xiàng)和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列．
（五）等差數(shù)列的性質(zhì)是每年高考的熱點(diǎn)之一，利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解可使題目減少運(yùn)算量，題型以填空題為主，難度不大，屬中低檔題.
應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)的注意點(diǎn)：
（1）熟練掌握等差數(shù)列性質(zhì)的實(shí)質(zhì)
等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公
4、式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問(wèn)題.
（2）應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問(wèn)題的關(guān)鍵
尋找項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如若，則
，需要當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立，再比如只有當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn中的n為奇數(shù)時(shí)，才有Sn=na中成立.
（六）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題
（1）二次函數(shù)法：
，由二次函數(shù)的最大值、最小值的知識(shí)及知，當(dāng)n取最接近的正整數(shù)時(shí)，取得最大（?。┲担珣?yīng)注意，最接近的正整數(shù)有1個(gè)或2個(gè)．
注意：自變量n為正整數(shù)這一隱含條件.
（2）通項(xiàng)公式法：
求使()成立時(shí)最大的n值即可．
5、一般地，等差數(shù)列中，若，且，則
①若為偶數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最大；
②若為奇數(shù)，則當(dāng)或時(shí)，最大．
（3）不等式法：由，解不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確定n的值和的最大值．
1．【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，則的所有值為____________.
【答案】3，4
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，且，，成等比?shù)列，
所以，即，
解得或.
所以或.
故答案為3，4.
2．【江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】等差數(shù)列中，，前項(xiàng)的和，則的值為____________.
【答案】
【解析】由題得.
故答案
6、為.
3．【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的值為____________.
【答案】24
【解析】因?yàn)?，所以?32，即11＝132，所以＝12，
又，所以＝18，
因?yàn)?，所以?4.
故答案為24.
4．【江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港））2019屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】在等差數(shù)列中，若，，則的前6項(xiàng)和的值為____________.
【答案】
【解析】依題意，得，
化簡(jiǎn)，得，解得，
所以＝.
故答案為.
5．【江蘇省南通市2019屆高三年級(jí)階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題】設(shè)等差數(shù)列的公差為，其
7、前項(xiàng)和為，若，，則的值為____________.
【答案】
【解析】由，2S12=S2+10，
得，解得d=﹣10．
故答案為﹣10．
6．【北京市人大附中2019屆高三高考信息卷（三）數(shù)學(xué)試題】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是____________.
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由a1＝1，S2＞S3，得2+d＞3+3d，即2d＜﹣1，d．
不妨取d＝﹣1，可得an＝1﹣（n﹣1）＝﹣n+2．
故答案為an＝﹣n+2（答案不唯一）．
7．【江蘇省2019屆高三第二學(xué)期聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的值為_
8、___________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?
所以，
又因?yàn)椋?
所以，
所以，，
所以.
故答案為.
8．【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，且，則實(shí)數(shù)的最大值為____________.
【答案】
【解析】，
則，
∵，∴令，
因此，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)有最大值，最大值為.
故答案為.
9．【鹽城市2019屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題】若數(shù)列的首項(xiàng)，且，則=____________.
【答案】
【解析】由，
得且
所以，
即是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
則=n+1，從
9、而.
故答案為.
10．【江蘇省無(wú)錫市錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2019屆高三12月月考數(shù)學(xué)試題】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則=____________.
【答案】19
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則，
所以，
又也為等差數(shù)列，所以，
所以d=2，
所以.
故答案為19.
11．【江蘇省南京金陵中學(xué)、海安高級(jí)中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，，若對(duì)任意n，都有≤成立，則正整數(shù)k的值為____________.
【答案】10
【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，，
兩式相減，得3d＝－9，所以d＝－3，
由等差中項(xiàng)得，即，解得：＝29，
所以＝，
當(dāng)n＝時(shí)，取得最大值，但n是正整數(shù)，
所以，當(dāng)n＝10時(shí)，取得最大值，
對(duì)任意n，都有≤成立，顯然k＝10.
故答案為10.
12．【河南省焦作市2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)】記首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.
【答案】
【解析】由，得.
因?yàn)?，所以?
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
（1）當(dāng)時(shí)，由得.
因?yàn)?，所?
（2）當(dāng)時(shí)，由得.
因?yàn)?，所?
綜上所述，的取值范圍是.
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（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題08 等差數(shù)列（含解析）
