（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第二章 函數(shù) 考點規(guī)范練11 函數(shù)模型及其應用

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1、考點規(guī)范練11　函數(shù)模型及其應用 基礎鞏固組 1.已知每生產100克餅干的原材料加工費為1.8元.某食品加工廠對餅干采用兩種包裝,其包裝費用、銷售價格如下表所示: 型　號 小包裝 大包裝 重量 100克 300克 包裝費 0.5元 0.7元 銷售價格 3.00元 8.4元 則下列說法中正確的是(　　) ①買小包裝實惠 ②買大包裝實惠 ③賣3小包比賣1大包盈利多 ④賣1大包比賣3小包盈利多 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案D 2.某家具的標價為132元,若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%),仍可獲利10

2、%(相對進貨價),則該家具的進貨價是(　　) A.118元 B.105元 C.106元 D.108元 答案D　 解析設進貨價為a元,由題意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.故選D. 3.某學校開展研究性學習活動,一組同學獲得的一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個是(　　) A.y=2x-2 B.y=12x C.y=log2x D.y=12(x2-1) 答案D　 解析直線是均勻分布

3、的,故選項A不符合要求;指數(shù)函數(shù)y=12x是單調遞減的,也不符合要求;對數(shù)函數(shù)y=log2x的增長是緩慢的,也不符合要求;將表中數(shù)據(jù)代入選項D中的函數(shù),基本符合要求. 4.(2018河南豫南豫北高三第二次聯(lián)考)古代數(shù)學名著《九章算術》中的“盈不足”問題知兩鼠穿垣.今有垣厚5尺,兩鼠對穿.大鼠日一尺,小鼠亦一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問:何日相逢?題意是:由垛厚五尺(舊制長度單位,1尺=10寸)的墻壁,大小兩只老鼠同時從墻的兩面,沿一直線相對打洞.大鼠第一天打進1尺,以后每天的速度為前一天的2倍;小鼠第一天也打進1尺,以后每天的速度是前一天的一半.它們多久可以相遇?(　　) A.3617天

4、 B.3717天 C.3817天 D.3917天 答案A　 解析由于前兩天大鼠打1+2尺,小鼠打1+12尺,因此前兩天兩鼠共打3+1.5=4.5尺. 第三天,大鼠打4尺,小鼠打14尺,因此第三天相遇. 設第三天,大鼠打y尺,小鼠打0.5-y尺, 則y4=0.5-y14,解得y=817,因為第三天大鼠速度是4尺,故第三天進行了8174=217天,所以共進行2+217=3617天. 故選A. 5.(2018衡水金卷)已知某服裝廠生產某種品牌的衣服,銷售量q(x)(單位:百件)關于每件衣服的利潤x(單位:元)的函數(shù)解析式為q(x)=1260x+1,0

5、≤180,則當該服裝廠所獲效益最大時,x為(　　) A.20 B.60 C.80 D.40 答案C　 解析設該服裝廠所獲效益為f(x)(單位:元),則f(x)=100xq(x)=126000xx+1,0

6、(x)>0,f(x)單調遞增,當80≤x≤180時, f'(x)<0,f(x)單調遞減,所以當x=80時,f(x)有最大值240000.故選C. 6.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為m. 答案20　 解析設DE=x,MN=y,由三角形相似得: x40=ADAB=ANAM=40-y40, 即x40=40-y40,即x+y=40, 由基本不等式可知x+y=40≥2xy, S=x·y≤400,當x=y=20時取等號, 所以當邊長x為20m時面積最大. 7.某企業(yè)投入100萬元購入一套設備,該設備每年的運轉費用是0.5萬

7、元,此外每年都要花費一定的維護費,第一年的維護費為2萬元,由于設備老化,以后每年的維護費都比上一年增加2萬元.為使該設備年平均費用最低,該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為　　　　　.? 答案10　 解析設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為x,設備年平均費用為y,則x年后的設備維護費用為2+4+…+2x=x(x+1),所以x年的平均費用為y=100+0.5x+x(x+1)x=x+100x+1.5,由基本不等式得y=x+100x+1.5≥2x·100x+1.5=21.5,當且僅當x=100x,即x=10時取等號.故為使該設備年平均費用最低,該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為10. 8.用一根長為12 m的鋁合金條做

8、一個“目”字形窗戶的框架(不計損耗),要使這個窗戶通過的陽光最充足,則框架的長與寬分別為　　　　　.? 答案3 m,1.5 m　 解析設窗戶的長與寬分別為xm,ym,根據(jù)題意得2x+4y=12,窗戶的面積S=xy=(6-2y)·y=-2y2+6y=-2y-322+92(0

9、① B.①② C.①③ D.①②③ 答案A　 解析由甲、乙兩圖知,進水速度是出水速度的12,所以0點到3點不出水,3點到4點也可能一個進水口進水,一個出水口出水,但總蓄水量降低,4點到6點也可能兩個進水口進水,一個出水口出水,一定正確的是①. 10.(2018北京門頭溝一模)某電力公司在工程招標中是根據(jù)技術、商務、報價三項評分標準進行綜合評分的,按照綜合得分的高低進行綜合排序,綜合排序高者中標.分值權重表如下: 總分 技術 商務 報價 100% 50% 10% 40% 技術標、商務標基本都是由公司的技術、資質、資信等實力來決定的.報價表則相對靈活,報價表的評分方法是

10、:基準價的基準分是68分,若報價每高于基準價1%,則在基準分的基礎上扣0.8分,最低得分48分;若報價每低于基準價1%,則在基準分的基礎上加0.8分,最高得分為80分.若報價低于基準價15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基礎上扣0.8分.在某次招標中,若基準價為1 000(萬元).甲、乙兩公司綜合得分如下表: 公司 技術 商務 報價 甲 80分 90分 A甲分 乙 70分 100分 A乙分 甲公司報價為1 100(萬元),乙公司的報價為800(萬元).則甲,乙公司的綜合得分分別是(　　) A.73,75.4 B.73,80 C.74.6,76 D.74

11、.6,75.4 答案A　 解析甲公司報價為1100(萬元),比基準價1000(萬元)多100(萬元),超10%,所以得分為68-0.8×10=60,因此綜合得分為80×50%+90×10%+60×40%=73; 乙公司報價為800(萬元),比基準價1000(萬元)少200(萬元),低20%,所以得分為80-(20-15)×0.8=76,因此綜合得分為70×50%+100×10%+76×40%=75.4.故選A. 11. 加工爆米花時,爆開且不煳的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關系p=at2+bt+c(a,b,c

12、是常數(shù)),如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時間為(　　) A.3.50分鐘 B.3.75分鐘 C.4.00分鐘 D.4.25分鐘 答案B　 解析根據(jù)圖表,把(t,p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分別代入函數(shù)關系式,聯(lián)立方程組得0.7=9a+3b+c,0.8=16a+4b+c,0.5=25a+5b+c,消去c化簡得7a+b=0.1,9a+b=-0.3,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2. 所以p=-0.2t2+1.5t-2=-15t2-152t+22516+4516-2=-15t-1542+1316,所以當t=154=

13、3.75時,p取得最大值,即最佳加工時間為3.75分鐘. 12. 如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a m(0a,x>4,解得4

14、3.將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設過5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再過m min甲桶中的水只有a4 L,則m的值為(　　) A.5 B.8 C.9 D.10 答案A　 解析∵5min后甲桶和乙桶的水量相等, ∴函數(shù)y=f(t)=aent滿足f(5)=ae5n=12a, 可得n=15ln12,∴f(t)=a·12t5, 因此,當kmin后甲桶中的水只有a4L時, f(k)=a·12k5=14a,即12k5=14, ∴k=10,由題可知m=k-5=5. 14.某工廠生產某種產品固定成本為2 000萬元,并且

15、每生產一單位產品,成本增加10萬元.又知總收入K是單位產品數(shù)Q的函數(shù),K(Q)=40Q-120Q2,則總利潤L(Q)的最大值是　　　　　萬元.? 答案2 500　 解析L(Q)=40Q-120Q2-10Q-2000=-120Q2+30Q-2000=-120(Q-300)2+2500. 當Q=300時,L(Q)的最大值為2500萬元. 15.某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時,在22 ℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33 ℃的保鮮時間是　　　　　小時

16、.? 答案24　 解析由已知條件,得192=eb, 又48=e22k+b=eb·(e11k)2, ∴e11k=4819212=1412=12, 設該食品在33℃的保鮮時間是t小時, 則t=e33k+b=192e33k=192(e11k)3=192×123=24. 16. (2018上海楊浦高三數(shù)學一模)如圖所示,用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地,以墻為一邊,并用平行于一邊的籬笆隔開.設場地面積為y,垂直于墻的邊長為x,試用解析式將y表示成x的函數(shù)是　　　　　　　　　　　　,場地最大面積是　　　　　.? 答案y=x(l-3x),x∈0,l3　l212　 解析設平行于墻

17、的邊長為a, 則籬笆總長l=3x+a,即a=l-3x, ∴場地面積y=x(l-3x),x∈0,l3. y=x(l-3x)=-3x2+lx=-3x-l62+l212,x∈0,l3, ∴當且僅當x=l6時,ymax=l212. 綜上,當場地垂直于墻的邊長x為l6時,最大面積為l212. 17.將51名學生分成A,B兩組參加城市綠化活動,其中A組布置400盆盆景,B組種植300棵樹苗.根據(jù)歷年統(tǒng)計,每名學生每小時能夠布置6盆盆景或者種植3棵樹苗.設布置盆景的學生有x人,布置完盆景所需要的時間為g(x),其余學生種植樹苗所需要的時間為h(x)(單位:小時,可不為整數(shù)). (1)寫出g(x

18、),h(x)的解析式; (2)比較g(x),h(x)的大小,并寫出這51名學生完成總任務的時間f(x)的解析式; (3)應怎樣分配學生,才能使得完成總任務的時間最少? 解(1)由題意布置盆景的學生有x人,種植樹苗的學生有(51-x)人,所以g(x)=4006x=2003x(00. 當00,g(x)-h(x)>0,g(x)

19、>h(x); 當21≤x<51時,102-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)

20、衣液,去污速度特別快.已知每投放k(1≤k≤4,且k∈R)個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中,它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時間x(分鐘)變化的函數(shù)關系式近似為y=k·f(x),其中f(x)=169-x-1,0≤x≤5,11-245x2,5