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1、專題01 集合及其運算
【母題來源一】【2019年高考江蘇】已知集合,,則 ▲ .
【答案】
【解析】由題意利用交集的定義求解交集即可.
由題意知,.
【名師點睛】本題主要考查交集的運算,屬于基礎(chǔ)題.
【母題來源二】【2018年高考江蘇】已知集合,,那么 ▲ .
【答案】{1,8}
【解析】由題設(shè)和交集的定義可知:.
【名師點睛】本題考查交集及其運算,考查基礎(chǔ)知識,難度較小.
【母題來源三】【2017年高考江蘇】已知集合,,若,則實數(shù)的值為 ▲ .
【答案】1
【解析】由題意,顯然,所以,
此時,滿足題意.
故答案為1.
【名師點睛】(1)認(rèn)
2、清元素的屬性.解決集合問題時,認(rèn)清集合中元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件.
(2)注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問題時,要注意檢驗集合中元素的互異性,否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致錯誤.
(3)防范空集.在解決有關(guān)等集合問題時,往往容易忽略空集的情況,一定要先考慮時是否成立,以防漏解.
【命題意圖】
(1)了解集合的含義.
(2)理解兩個集合的交集的含義,會求兩個簡單集合的交集.
(3)能夠正確處理含有字母的討論問題,掌握集合的交集運算和性質(zhì).
【命題規(guī)律】
這類試題在考查題型上主要以填空題的形式出現(xiàn),主要考查集合的基本運
3、算,其中集合以描述法呈現(xiàn).試題難度不大,多為低檔題,從近幾年江蘇的高考試題來看,主要的命題角度有:
(1)離散型或連續(xù)型數(shù)集間的交集運算;
(2)已知集合的交集運算結(jié)果求參數(shù).
【答題模板】
解答此類題目,一般考慮如下三步:
第一步:看元素構(gòu)成,集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵,即辨清是數(shù)集、點集還是圖形集等;
第二步:對集合化簡,有些集合是可以化簡的,先化簡再研究其關(guān)系并進行運算,可使問題簡單明了、易于解決;
第三步:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進行交、并、補等運算,常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和韋恩圖(Venn).
【方法總結(jié)】
(一)集合的基本
4、運算及其表示:
(1)交集:由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,即.
(2)并集:由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合,即.
(3)補集:由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合,即.
(二)與集合元素有關(guān)問題的解題方略:
(1)確定集合的代表元素;
(2)看代表元素滿足的條件;
(3)根據(jù)條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個數(shù).但要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.
(三)集合間的基本關(guān)系問題的解題方略:
(1)判斷集合間基本關(guān)系的方法有三種:
①列舉觀察;
②集合中元素特征法,首先確定集合中的元素是什么,弄清楚集合中元素的特征,再判斷集合間的關(guān)系
5、;
③數(shù)形結(jié)合法,利用數(shù)軸或韋恩圖求解.
(2)求集合的子集:若集合A中含有n個元素,則其子集個數(shù)為個,真子集個數(shù)為個,非空真子集個數(shù)為個.
(3)根據(jù)兩集合關(guān)系求參數(shù):已知兩集合的關(guān)系求參數(shù)時,關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系,解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析,而且經(jīng)常要對參數(shù)進行討論.注意區(qū)間端點的取舍.
注意:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在涉及集合關(guān)系時,必須優(yōu)先考慮空集的情況,否則會造成漏解.
(四)求集合的基本運算時,要認(rèn)清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合,這是正確求解集合運算的
6、兩個先決條件.
(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算,常借助Venn圖或交、并、補的定義求解;
(2)點集的運算常利用數(shù)形結(jié)合的思想或聯(lián)立方程組進行求解;
(3)連續(xù)型數(shù)集的運算,常借助數(shù)軸求解;
(4)已知集合的運算結(jié)果求集合,常借助數(shù)軸或Venn圖求解;
(5)根據(jù)集合運算結(jié)果求參數(shù),先把符號語言轉(zhuǎn)化成文字語言,然后適時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解.
1.【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】已知集合,,則集合________.
【答案】
【解析】因為集合,,
所以.
故答案為
【名師點睛】本題主要考查集合的交集,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.求解時,根據(jù)交集的概念,可直接
7、得出結(jié)果.
2.【江蘇省南通市2019屆高三模擬練習(xí)卷(四模)數(shù)學(xué)試題】已知集合,,則________.
【答案】
【解析】已知集合,,則,
故答案為:.
【名師點睛】本題考查了交集及其運算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.由集合交集的定義運算即可.
3.【江蘇省徐州市2018-2019學(xué)年高三考前模擬檢測數(shù)學(xué)試題】集合,,則中元素的個數(shù)是________.
【答案】1
【解析】中僅有,故中元素的個數(shù)為1,故填1 .
【名師點睛】本題考查集合的交集運算,屬于基礎(chǔ)題.求解時,對中元素逐個檢驗后可得中元素的個數(shù).
4.【江蘇省高三泰州中學(xué)、宜興中學(xué)、梁豐2019屆
8、高三第二學(xué)期聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題】已知集合,,則集合中元素的個數(shù)為________.
【答案】4
【解析】因為集合,,
所以.
所以集合中元素的個數(shù)為4,故答案為4.
【名師點睛】本題考查并集中元素個數(shù)的求法,考查并集定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.求解本題時,首先可以通過題意得出集合以及集合所包含的元素,然后利用并集定義寫出,即可得出結(jié)果.
5.【江蘇省七市(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】已知集合,,則________.
【答案】
【解析】因為,,
所以.
【名師點睛】本題主要考查了補集的運算,直接由補集運算
9、得解.屬于基礎(chǔ)題.
6.【江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知集合,,,則________.
【答案】
【解析】由題意得:,
則,
本題正確結(jié)果為.
【名師點睛】本題考查集合的基本運算,根據(jù)并集和補集的定義,直接計算得結(jié)果.屬于基礎(chǔ)題.
7.【江蘇省揚州中學(xué)2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】已知集合,,則________.
【答案】
【解析】,函數(shù)有意義時,所以,因此.
【名師點睛】本題考查了不等式的解法、函數(shù)的定義域、集合的交集運算,解題的關(guān)鍵是正確理解集合元素的屬性特征和正確解出不等式的解集.求解時,解不等式,化簡集合的表示,求函數(shù)的定義域,化簡集合的
10、表示,然后求出.
8.【江蘇省南京金陵中學(xué)、海安高級中學(xué)、南京外國語學(xué)校2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)全集U=,集合A={1,2},B={2,4},則=________.
【答案】{3}
【解析】集合U==,且A={1,2},B={2,4},
得={1,2,4},所以={3}.
故答案為:{3}.
【名師點睛】本題考查了集合的補集運算,屬于基礎(chǔ)題.求解本題時,先求集合U和,再由補集運算即可.
9.【江蘇省蘇州市2019屆高三下學(xué)期階段測試數(shù)學(xué)試題】設(shè)集合,,若,則m =________.
【答案】3
【解析】由集合,,,得.
【名師點睛】本題主要考查了集合的交集的
11、運算與應(yīng)用,其中解答中熟記集合的交集的概念,合理運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.對于本題,根據(jù)集合A、B,以及兩集合的交集,即可確定出的值,得到答案.
10.【江蘇省如皋中學(xué)2018-2019學(xué)年高三第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題】集合,則集合A中所有元素之積為________.
【答案】0
【解析】由題意得,
所以集合A中所有元素之積為0.
故答案為0.
【名師點睛】本題考查集合的元素,解題的關(guān)鍵是正確求出不等式的解集,同時還應(yīng)注意集合運算的特征,屬于簡單題.對于本題,首先解不等式得到集合A中的元素,然后求出各元素之積即可.
11.【江蘇省揚州市2018-20
12、19學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測試題高三數(shù)學(xué)】已知集合,,則________.
【答案】
【解析】N為不等式的解集,
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即x<?1,
則M∩N={﹣2}.
故答案為.
【名師點睛】本題考查集合交集的運算,考查了指數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題.求解時,結(jié)合指數(shù)的性質(zhì),易得N,進而由集合的交集運算計算可得答案.
12.【江蘇省南京市2019屆高三上學(xué)期綜合模擬數(shù)學(xué)試題】已知集合,,則=________.
【答案】
【解析】因為,
所以=,故填.
【名師點睛】本題主要考查了集合的交集運算,化簡集合A,由交集運算即可求解.屬于中檔題.
13.【江蘇省清江中學(xué)2019屆高
13、三第二次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題】設(shè)且集合若則________.
【答案】
【解析】因為AB,所以=,=?1,所以b=?2,a=.
故答案為:.
【名師點睛】本題主要考查集合的關(guān)系,考查對數(shù)、指數(shù)方程的解法,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.
14.【江蘇省南通市2019屆高三下學(xué)期4月階段測試數(shù)學(xué)試題】設(shè)集合,,則實數(shù)=________.
【答案】1
【解析】因為集合,,,則,解得.經(jīng)檢驗,符合題意.
15.【江蘇省蘇州市2019屆高三下學(xué)期階段測試數(shù)學(xué)試題】設(shè)集合其中均為整數(shù)},則集合________.
【答案】M={0,1,3,4}
【解析】由得,則,且指數(shù)均為整數(shù),因此右邊一定為偶數(shù),則左邊,即,且,即.
為整數(shù),則為2的約數(shù),則,.故M={0,1,3,4}.
故答案為{0,1,3,4}.
【名師點睛】本題主要考查元素和集合的關(guān)系,結(jié)合集合元素是整數(shù)的關(guān)系進行推理是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,難度較大.求解時,根據(jù)2x+2y=2t,進行提取2x,得到x,y的關(guān)系,根據(jù)整數(shù)關(guān)系進行推理即可得到結(jié)論.
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