衍生金融工具復(fù)習(xí).docx

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付息票債券的遠(yuǎn)期價(jià)格偏高時(shí)的套利機(jī)會(huì) 市場(chǎng)情況 一年后交割的附息票債券遠(yuǎn)期合約的價(jià)格為930美元。債券的即期價(jià)格為900美元。預(yù)期債券在6個(gè)月后12個(gè)月后各支付40美元的利息。6個(gè)月期和12個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)利率分別為9%和10%。 套利機(jī)會(huì) 遠(yuǎn)期價(jià)格偏高，套利者可以： 1. 即期借900美元，買入一份債券。 2. 賣空一份債券的遠(yuǎn)期合約。 在即期所借900美元中，其中38.24美元以9%的年利率借入6個(gè)月，另外861.76美元以10%的年利率借入一年。首次利息支付40美元正好用來償還6個(gè)月期38.24美元貸款的本金和利息。一年之后，收到了第二次利息40美元，根據(jù)遠(yuǎn)期合約條款賣出債券收到930美元。861.76美元的貸款到期共需償還本金和利息952.39美元。該策略凈盈利為： 操作 賣空 買入 借入 合計(jì) 付息票債券的遠(yuǎn)期價(jià)格偏低時(shí)的套利機(jī)會(huì) 市場(chǎng)情況 一年后交割的附息票債券遠(yuǎn)期合約的價(jià)格為905美元。債券的即期價(jià)格為900美元。預(yù)期債券在6個(gè)月后12個(gè)月后分別支付利息40美元。6個(gè)月期和12個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)利率分別為9%和10%。 套利機(jī)會(huì) 遠(yuǎn)期價(jià)格偏低，套利者可以： 3. 賣出一份債券。 4. 簽署一年后購買一份債券的遠(yuǎn)期合約。 賣出債券得到900美元，其中38.24美元作6個(gè)月無風(fēng)險(xiǎn)投資，另外861.76美元作一年無風(fēng)險(xiǎn)投資。此策略在6個(gè)月和12個(gè)月后分別產(chǎn)生40美元和952.39美元的現(xiàn)金流入。前面40美元用來支付6個(gè)月后的債券利息；后面952.39美元中40美元用來支付一年后的債券利息，905美元用來根據(jù)遠(yuǎn)期合約條款購回債券，即期出售債券而遠(yuǎn)期將該債券購回的策略所產(chǎn)生的凈收益為： 比簡(jiǎn)單的持有一年該債券的收益更多。 操作 買入 賣空 存銀行 合計(jì) 3.5 一種股票預(yù)計(jì)在兩個(gè)月后會(huì)每股支付1美元紅利，5個(gè)月后再支付一次。股票價(jià)格為50美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為8%（對(duì)任何到期日連續(xù)復(fù)利計(jì)息）。一位投資者剛剛持有這種股票的6個(gè)月遠(yuǎn)期合約的空頭寸。（a）遠(yuǎn)期價(jià)格為多少？遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值為多少？ （b）3個(gè)月后，股票價(jià)格為48美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率不變。遠(yuǎn)期價(jià)格和遠(yuǎn)期合約空頭頭寸的價(jià)值為多少？ （a） 股票分配股息的現(xiàn)值為： 遠(yuǎn)期價(jià)格： 因?yàn)橥顿Y者剛剛持有該頭寸，所以遠(yuǎn)期合約初始價(jià)值，且 （b）3個(gè)月后， 股票分配股息的現(xiàn)值為： 遠(yuǎn)期價(jià)格： 遠(yuǎn)期合約空頭頭寸價(jià)值： 5.31 一家銀行向企業(yè)客戶提供兩種選擇：一種是按11%的利率借入現(xiàn)金，另一種是以2%利率借入黃金（當(dāng)借入黃金時(shí)，必須以黃金形式支付利息，因此，如果今天借入100盎司，在1年后必須償還102盎司黃金）。無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年9.25%，貯存費(fèi)為每年0.5%。討論同現(xiàn)金貸款利率相比，借入黃金的利率是太高還是太低？這里兩種貸款的利率均為每年復(fù)利一次，無風(fēng)險(xiǎn)利率和貯存費(fèi)用利率均為連續(xù)復(fù)利。 設(shè)黃金價(jià)格為1000美元/盎司，并且這個(gè)客戶想借入的資金為1000000美元。該客戶既可以直接借入1000000美元現(xiàn)金，也可以借入1000盎司黃金。如果直接借入現(xiàn)金，則到期需償還10000001.11=1110000美元。如果借入1000盎司黃金，到期需償還1020盎司黃金。 由于，，根據(jù)教材公式，可得遠(yuǎn)期價(jià)格為： 通過在遠(yuǎn)期市場(chǎng)買入1020盎司黃金，該企業(yè)客戶可以鎖定借入黃金的到期償還額為： 很明顯，直接借入現(xiàn)金要優(yōu)于借入黃金（1124460>1110000）。計(jì)算結(jié)果表明，借入黃金的利率過高。那么多高的利率是合理的呢？假定R是借入黃金的利率，那么到期該企業(yè)客戶需償還黃金數(shù)為1000（1+R）盎司，根據(jù)上面的遠(yuǎn)期價(jià)格，則借款成本為： 因此借入黃金的利率比合理利率高出1.31個(gè)百分點(diǎn)。 老師課上做法： 所以應(yīng)該選擇直接借入現(xiàn)金。 3.10 瑞士和美國(guó)按連續(xù)復(fù)利計(jì)息的兩個(gè)月期的年利率分別為3%和8%。瑞士法郎的即期價(jià)格為0.65美元。兩個(gè)月后交割的期貨合約的期貨價(jià)格為0.66美元。問存在什么樣的套利機(jī)會(huì)？ 理論上期貨價(jià)格： 所以實(shí)際的期貨價(jià)格被高估，套利者可以通過借入美元買入瑞士法郎同時(shí)賣出瑞士法郎期貨合約進(jìn)行套利。 3.11、一家公司持有價(jià)值為2000萬美元、的股票組合。該公司想利用標(biāo)普500期貨來對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。股指期貨的當(dāng)前水平是1080，每一份期貨合約是關(guān)于250美元乘股指。什么樣的對(duì)沖可以使風(fēng)險(xiǎn)最小化？公司怎么做才可以將組合的β值降低到0.6？ 應(yīng)賣空的合約數(shù)量 近似為整數(shù)，應(yīng)賣空的合約數(shù)為89份。如果欲將組合的β值降低到0.6，應(yīng)賣空的合約數(shù)為前者的一半，即應(yīng)賣空44份合約。 3.12假定今天是7月16日，一家公司持有價(jià)值1億美元的股票組合，組合的，這家公司希望用CME的12月標(biāo)普500股指期貨組合在7月16日至11月16日之間變化的由1.2變成0.5.當(dāng)前股指期貨價(jià)格為1000，每一份期貨合約的規(guī)模是250美元與股指的乘積。（a）公司應(yīng)做什么樣的交易？（b）假如公司改變初衷而想將投資組合的由1.2增加到1.5，公司應(yīng)持有什么樣的頭寸？ （a）公司應(yīng)賣出的期貨合約的數(shù)量： （b）公司應(yīng)買入的期貨合約的數(shù)量： 3.13、標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)=200，股票組合的價(jià)值=204萬美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率=10%，指數(shù)紅利收益率=4%，股票組合的β=1.5.假設(shè)利用4個(gè)月有效期的標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期貨合約對(duì)沖股票組合在未來3個(gè)月的風(fēng)險(xiǎn)。一份指數(shù)期貨合約的價(jià)值等于指數(shù)乘以500美元。則目前的期貨價(jià)格應(yīng)該為： 于是期貨合約價(jià)格美元。由 假設(shè)指數(shù)在3個(gè)月內(nèi)變?yōu)?80，期貨的價(jià)格為： 賣空股票指數(shù)期貨合約可獲利美元 在股票指數(shù)上的損失為10%，指數(shù)每年支付4%的股利，即每3個(gè)月為1%。如果將股利考慮在內(nèi)，投資者在3個(gè)月內(nèi)獲得的指數(shù)收益為—9%。無風(fēng)險(xiǎn)利率大約為每3個(gè)月2.5%。由組合的β=1.5。得到股票組合的期望收益率為： 在3個(gè)月末，股票組合的價(jià)值（包含股利）為： 美元 套期保值者的頭寸期望值（包含在指數(shù)期貨上的盈利）： 美元 當(dāng)一個(gè)變量增加而其他變量保持不變時(shí)，對(duì)于股票期權(quán)價(jià)格的影響 變量 歐式看漲 歐式看跌 美式看漲 美式看跌 當(dāng)前股票價(jià)格 ＋ － ＋ － 執(zhí)行價(jià)格 － ＋ － ＋ 時(shí)間期限 ？ ？ ＋ ＋ 波動(dòng)率 ＋ ＋ ＋ ＋ 無風(fēng)險(xiǎn)利率 ＋ － ＋ － 股息數(shù)量 － ＋ － ＋ 期權(quán)價(jià)格的上限與下限 期權(quán)類型 上下限 無股息股票美式看漲 無股息股票歐式看漲 無股息股票美式看跌 無股息股票歐式看跌 歐式看漲看跌平價(jià)關(guān)系 美式期權(quán)看漲看跌關(guān)系 考慮股息歐式看漲期權(quán)下限 考慮股息歐式看跌期權(quán)下限 支付股息平價(jià)關(guān)系 考慮股息時(shí)的應(yīng)為貼現(xiàn)值 歐式看跌看漲期權(quán)不滿足平價(jià)關(guān)系時(shí)的套利機(jī)會(huì) 相對(duì)看跌期權(quán)價(jià)格而言看漲期權(quán)價(jià)格太低 市場(chǎng)情況 某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報(bào)價(jià)，股票價(jià)格為31美元，3個(gè)月期無風(fēng)險(xiǎn)利率為年利率10%，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是30美元，3個(gè)月后到期。 歐式看漲期權(quán)價(jià)格：3美元 歐式看跌期權(quán)價(jià)格：2.25美元 策略 1、購買看漲期權(quán) 2、出售看跌期權(quán) 3、賣空一股股票 結(jié)果 這個(gè)策略給出的初試現(xiàn)金流為：31-3+2.25=30.25美元。將這筆資金按無風(fēng)險(xiǎn)利率投資3個(gè)月，3個(gè)月末本息為：美元。3個(gè)月末，有如下兩種可能性： 1、如果股票價(jià)格大于30美元，投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。即按照30美元價(jià)格購買一份股票，平倉空頭，獲利31.02-30=1.02美元。 2、如果股票價(jià)格小于30美元，該投資者的對(duì)手執(zhí)行看跌期權(quán)。即投資者按照30美元的價(jià)格購買一份股票，平倉空頭，獲利31.02-30=1.02美元。 操作 買入看漲 賣出看跌 賣空股票 存入銀行 合計(jì) 1、.2、 6、執(zhí)行價(jià)格為20美元，3個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)，售價(jià)都為3美元。無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，股票現(xiàn)價(jià)為19美元，預(yù)計(jì)1個(gè)月后發(fā)放紅利1美元。說明投資者存在什么樣的套利機(jī)會(huì)？ 根據(jù)看漲期權(quán)平價(jià)關(guān)系： 這個(gè)值高于3美元，說明看跌期權(quán)被低估。套利方法：買入看跌期權(quán)和股票，同時(shí)賣出看漲期權(quán)。 8.8、一個(gè)無紅利支付股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格為4美元。股票價(jià)格為31美元，執(zhí)行價(jià)格為30美元，3個(gè)月后到期。無風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。請(qǐng)推出相同股票、相同執(zhí)行價(jià)格、相同到期日的美式看跌期權(quán)的價(jià)格上下限。 美式看跌看漲期權(quán)存在如下關(guān)系： 在本題中： 即： 8.6、執(zhí)行價(jià)格為30美元，6個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為2美元。標(biāo)的股票價(jià)格為29美元，2個(gè)月后和5個(gè)月后分紅利0.5美元。期限結(jié)構(gòu)為水平，無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%。執(zhí)行價(jià)格為30美元，6個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為多少？ 根據(jù)看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系： 移項(xiàng)得： 在本題中： 9.3假設(shè)執(zhí)行價(jià)格為30美元和35美元的看跌期權(quán)成本分別為4美元和7美元，怎樣用期權(quán)構(gòu)造牛市價(jià)差期權(quán)和熊市價(jià)差期權(quán)？作出表格說明這兩個(gè)期權(quán)的收益和盈虧狀況 可以通過購買執(zhí)行價(jià)格為30美元的看跌期權(quán)和賣出執(zhí)行價(jià)格為35美元的看跌期權(quán)構(gòu)建牛市差價(jià)，該策略初始現(xiàn)金流為3美元，收益和盈虧如下表所示： 股票價(jià)格 收益 盈虧 可以通過賣出執(zhí)行價(jià)格為30美元的看跌期權(quán)和買入執(zhí)行價(jià)格為35美元的看跌期權(quán)構(gòu)建熊市差價(jià)，該策略初始成本為3元，收益和盈虧如下表： 股票價(jià)格 收益 盈虧 9.4、三個(gè)同一股票上具有同樣期限的看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)格分別為55美元、60美元和65美元，這3種期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格分別為3美元、5美元和8美元。解釋如何構(gòu)造蝶式差價(jià)。用表來說明這一策略的盈利形式。股票在什么價(jià)位時(shí)，這一交易策略會(huì)導(dǎo)致虧損。 蝶式差價(jià)的構(gòu)造方法為：購買一份執(zhí)行價(jià)格為55美元的看跌期權(quán)，購買一份執(zhí)行價(jià)格為65美元的看跌期權(quán)，同時(shí)賣出兩份執(zhí)行價(jià)格為60美元的看跌期權(quán)。初始成本為3+8-25=1美元。該交易策略的損益情況如表所示： 股票價(jià)格 收益 盈虧 當(dāng)最后的股票價(jià)格大于64或者小于56美元時(shí)，蝶式差價(jià)交易策略會(huì)導(dǎo)致?lián)p失 10.1、某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為50美元，已知兩個(gè)月后，股票的價(jià)格為53美元或者48美元。無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%（連續(xù)復(fù)利）。請(qǐng)用無套利原理說明，執(zhí)行價(jià)格為49美元的2個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？ 方法一（無套利原理）：2個(gè)月結(jié)束的時(shí)候，期權(quán)的價(jià)值為4美元（如果股價(jià)為53美元）或者0美元（如果股價(jià)為48美元）。考慮一份資產(chǎn)組合的構(gòu)成： 單位股票和一份看中期權(quán)的空頭。兩個(gè)月后組合的價(jià)值或者為或者為。如果： 即資產(chǎn)組合的價(jià)值為。因此對(duì)組合來說，其收益是無風(fēng)險(xiǎn)的。組合的現(xiàn)值為：，其中為期權(quán)的價(jià)值。 因?yàn)榻M合必須以無風(fēng)險(xiǎn)的利率盈利所以： 方法二（風(fēng)險(xiǎn)中性）：直接利用公式： 其中： 有題意 所以 10.9、某個(gè)股票的現(xiàn)價(jià)為25美元。已知兩個(gè)月后，股價(jià)變?yōu)?3美元或者27美元。無風(fēng)險(xiǎn)年利率10%（連續(xù)復(fù)利）。設(shè)為2個(gè)月后股票價(jià)格。在這時(shí)收益為的期權(quán)的價(jià)值為多少？ 方法一（無套利原理）：2個(gè)月結(jié)束的時(shí)候，金融工具的價(jià)值為529美元（如果股價(jià)為23美元2323）或者729美元（如果股價(jià)為27美元2727）?？紤]一份資產(chǎn)組合的構(gòu)成： 單位股票和一份看漲期權(quán)的空頭。兩個(gè)月后組合的價(jià)值或者為或者為。如果： 即資產(chǎn)組合的價(jià)值為。因此對(duì)組合來說，其收益是無風(fēng)險(xiǎn)的。組合的現(xiàn)值為：，其中為期權(quán)的價(jià)值。 因?yàn)榻M合必須以無風(fēng)險(xiǎn)的利率盈利所以： 方法二（風(fēng)險(xiǎn)中性）：直接利用公式： 其中： 有題意 所以美元 10.5、某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為50美元。有連續(xù)2個(gè)時(shí)間步，每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)為3個(gè)月，每個(gè)單步二叉樹的股價(jià)或者上漲6%或者下跌5%。無風(fēng)險(xiǎn)利率年利率為5%（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價(jià)格為51美元，有效期為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？ 風(fēng)險(xiǎn)中性概率公式可得： 二叉樹圖如上所示 對(duì)于最高的末端節(jié)點(diǎn)（兩個(gè)向上的復(fù)合），期權(quán)收益為56.18-51=5.18美元，而在其他情況中的收益為零。因此，期權(quán)的價(jià)值為： 10.6、考慮10.5中的情況，執(zhí)行價(jià)格為51美元，有效期為6個(gè)月的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系。如果看跌期權(quán)是美式期權(quán)，在樹圖上的任何節(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行期權(quán)是否會(huì)更優(yōu)惠？ 二叉樹圖： （1）處于中間的末端節(jié)點(diǎn)，將會(huì)得到收益為51-50.35=0.65美元，處于最下面的末端節(jié)點(diǎn)，將會(huì)得到的收益為51-45.125=5.875美元。因此期權(quán)的價(jià)值為： （2）看跌-看漲期權(quán)平價(jià)關(guān)系： 看跌期權(quán)加上股票價(jià)格的值為： 看漲期權(quán)加上執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值為： 二者相等，從而驗(yàn)證了看跌-看漲期權(quán)平價(jià)關(guān)系。 （3）為了檢驗(yàn)是否值得提前執(zhí)行該期權(quán)，應(yīng)該比較從立即執(zhí)行中得到的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的收入計(jì)算出來的期權(quán)的值。在節(jié)點(diǎn)C，立即執(zhí)行的收益為51-47.5=3.5美元。因?yàn)檫@個(gè)值大于2.8664美元，期權(quán)應(yīng)該在這個(gè)節(jié)點(diǎn)執(zhí)行，而不在節(jié)點(diǎn)A或者節(jié)點(diǎn)B執(zhí)行。也就是說，在價(jià)格樹的任意節(jié)點(diǎn)上，提前執(zhí)行并不一定是最優(yōu)的。 11.1、目前股票價(jià)格為50美元，假設(shè)該股票的期望收益率為18%，波動(dòng)率為30%。兩年內(nèi)此種股票價(jià)格的概率分布是什么？計(jì)算該分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（95%的置信區(qū)間）。 在本題中，,未來兩年股票價(jià)格符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布： 即： 股票價(jià)格的均值： 股票價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差： 在給定95%的置信度下，的置信區(qū)間為： 即： 股票價(jià)格在95%的置信度下的置信區(qū)間是： 即： 11.2、股票當(dāng)前的價(jià)格為50美元，假定其收益率期望為15%，波動(dòng)率為25%。在兩年內(nèi)的股票收益率（連續(xù)復(fù)利）的概率分布是什么？ 在本題中，，根據(jù)公式可得2年期連續(xù)復(fù)利的回報(bào)率的概率分布是：即，預(yù)期的價(jià)值回報(bào)率為每年11.875%，標(biāo)準(zhǔn)差為每年17.7% 11.3、某股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其中收益率期望為16%，波動(dòng)率為35%，股票的當(dāng)前價(jià)格為38美元。（1）一個(gè)該股票上具有執(zhí)行價(jià)格為40美元，期限為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)被行使的概率為多少？（b）一個(gè)該股票上具有同樣執(zhí)行價(jià)格及期限的歐式看跌期權(quán)被行使的概率為多少？ （a）要求的概率是6個(gè)月后股票價(jià)格超過40美元的概率。假設(shè)6個(gè)月后股票的價(jià)格是，則有： 即： 因?yàn)閘n40=3.689，則要求的概率為： （b）對(duì)于看跌期權(quán)，要求的概率是6個(gè)月后股票價(jià)格低于40美元的概率，同樣的方法可得其值為1-0.4968=0.5032. 11.11 考慮一個(gè)無股息股票的期權(quán)，股票價(jià)格為30美元，執(zhí)行價(jià)格為29美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年5%，波動(dòng)率為每年25%，期權(quán)期限為4個(gè)月。 （a）如果期權(quán)是歐式看漲期權(quán)，其價(jià)格為多少？ （b）如果期權(quán)是美式看漲期權(quán)，其價(jià)格為多少？ （c）如果期權(quán)是歐式看跌期權(quán)，其價(jià)格為多少？ （d）驗(yàn)證看跌—看漲期權(quán)平價(jià)關(guān)系式。 在本題中，，且有： （a） 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是： （b） 美式看漲期權(quán)的價(jià)格與歐式看漲的價(jià)格一致，也是2.52美元 （c） 歐式看跌期權(quán)的價(jià)格是： （d） 看跌-看漲期權(quán)平價(jià)關(guān)系為： 證明 證明：是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量小于的累計(jì)概率，因此，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，即： 因此， 又（由可以推導(dǎo)） 所以： 帶入原式得證。 例：考慮某個(gè)處于delta中性狀態(tài)的有價(jià)證券組合，gamma值為-5000，Vega值為-8000。假設(shè)某個(gè)可交易期權(quán)的gamma值為0.5，Vega值為2，delta值為0.6。如果購買4000個(gè)可交易期權(quán)的多頭頭寸，則可使該組合達(dá)到Vega中性狀態(tài)，但同時(shí)將使delta增加到2400，這要求出售2400個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)以維持delta中性狀態(tài)，該證券組合的gamma值也將從-5000變?yōu)?3000。為使的組合處于gamma中性和Vega中性狀態(tài)，我們假設(shè)存在第二種可交易期權(quán)，gamma值為0.8，Vega值為1.2，delta值為0.5。如果分別為證券組合中兩種可交易期權(quán)的數(shù)量，我們要求： 以上方程的解為。因此分別加入400份第一種可交易期權(quán)和6000份第二種可交易期權(quán)將使的該組合處于gamma和Vega中性狀態(tài)。加入以上兩種可交易期權(quán)頭寸后，有價(jià)證券組合的delta值為。所以仍需賣出3240份標(biāo)的資產(chǎn)以保持delta中性狀態(tài)。 方法二： delta gamma vega 組合（1） 0 -5000 -8000 期權(quán)1（） 0.6 0.5 2 期權(quán)2（） 0.5 0.8 1.2 中性（） 1 0 0