高考數(shù)學(xué)壓軸題小題.doc

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高考數(shù)學(xué)壓軸題小題 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共6小題） 1．已知f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 則f（x+2）=﹣f（x），則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)， ∵f（1）=2， ∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0， 則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0， 則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故選：C． 　 2．）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120，則C的離心率為（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）， 直線AP的方程為：y=（x+a）， 由∠F1F2P=120，|PF2|=|F1F2|=2c，則P（2c，c）， 代入直線AP：c=（2c+a），整理得：a=4c， ∴題意的離心率e==． 故選：D． 　 3．設(shè)D是函數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f（x）是定義在D上的函數(shù)，若f（x）的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，f（1）的可能取值只能是（　?。? A． B． C． D．0 【解答】解：由題意得到：?jiǎn)栴}相當(dāng)于圓上由12個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合． 我們可以通過(guò)代入和賦值的方法當(dāng)f（1）=，，0時(shí)，此時(shí)得到的圓心角為，，0，然而此時(shí)x=0或者x=1時(shí)，都有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此只有當(dāng)x=，此時(shí)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)滿足一個(gè)x只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此答案就選：B． 故選：B． 　 4．已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足﹣4?+3=0，則|﹣|的最小值是（　?。? A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣ 【解答】解：由﹣4?+3=0，得， ∴（）⊥（）， 如圖，不妨設(shè)， 則的終點(diǎn)在以（2，0）為圓心，以1為半徑的圓周上， 又非零向量與的夾角為，則的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)O的兩條射線y=（x＞0）上． 不妨以y=為例，則|﹣|的最小值是（2，0）到直線的距離減1． 即． 故選：A． 　 5．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（　?。? A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1 【解答】解：∵由題意可知S在底面ABCD的射影為正方形ABCD的中心． 過(guò)E作EF∥BC，交CD于F，過(guò)底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N， 連接SN， 取AB中點(diǎn)M，連接SM，OM，OE，則EN=OM， 則θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO． 顯然，θ1，θ2，θ3均為銳角． ∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO， ∴θ1≥θ3， 又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM， ∴θ3≥θ2． 故選：D． 　 6．函數(shù)y=2|x|sin2x的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：根據(jù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=2|x|sin2x，得到：函數(shù)的圖象為奇函數(shù)， 故排除A和B． 當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)的值也為0， 故排除C． 故選：D． 　 二．填空題（共9小題） 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為　2?。? 【解答】解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）到一條漸近線y=x的距離為c， 可得：=b=， 可得，即c=2a， 所以雙曲線的離心率為：e=． 故答案為：2． 　 8．若函數(shù)f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的和為　﹣3　． 【解答】解：∵函數(shù)f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)， ∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞）， ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0， 函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)，舍去； ②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解為x＞， ∴f（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）遞增， 又f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)， ∴f（）=﹣+1=0，解得a=3， f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]， f′（x）＞0的解集為（﹣1，0）， f（x）在（﹣1，0）上遞增，在（0，1）上遞減， f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0， ∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1， ∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的和為： f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3． 　 9．已知a＞0，函數(shù)f（x）=．若關(guān)于x的方程f（x）=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是?。?，8）?。? 【解答】解：當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax， 得x2+ax+a=0， 得a（x+1）=﹣x2， 得a=﹣， 設(shè)g（x）=﹣，則g′（x）=﹣=﹣， 由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此時(shí)遞增， 由g′（x）＜0得x＜﹣2，此時(shí)遞減，即當(dāng)x=﹣2時(shí)，g（x）取得極小值為g（﹣2）=4， 當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax， 得x2﹣ax+2a=0， 得a（x﹣2）=x2，當(dāng)x=2時(shí)，方程不成立， 當(dāng)x≠2時(shí)，a= 設(shè)h（x）=，則h′（x）==， 由h′（x）＞0得x＞4，此時(shí)遞增， 由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此時(shí)遞減，即當(dāng)x=4時(shí)，h（x）取得極小值為h（4）=8， 要使f（x）=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解， 則由圖象知4＜a＜8， 故答案為：（4，8） 　 10．已知橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為　??；雙曲線N的離心率為　2　． 【解答】解：橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)， 可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)（c，0），正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1）， 解得e=． 同時(shí)，雙曲線的漸近線的斜率為，即， 可得：，即， 可得雙曲線的離心率為e==2． 故答案為：；2． 　 11．已知實(shí)數(shù)x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，則+的最大值為　+?。? 【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1），=（x2，y2）， 由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=， 可得A，B兩點(diǎn)在圓x2+y2=1上， 且?=11cos∠AOB=， 即有∠AOB=60， 即三角形OAB為等邊三角形， AB=1， +的幾何意義為點(diǎn)A，B兩點(diǎn) 到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和， 顯然A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行， 可設(shè)AB：x+y+t=0，（t＞0）， 由圓心O到直線AB的距離d=， 可得2=1，解得t=， 即有兩平行線的距離為=， 即+的最大值為+， 故答案為：+． 　 12．已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，則a=　6?。? 【解答】解：函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（p，），Q（q，）． 則：， 整理得：=1， 解得：2p+q=a2pq， 由于：2p+q=36pq， 所以：a2=36， 由于a＞0， 故：a=6． 故答案為：6 　 13．已知λ∈R，函數(shù)f（x）=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f（x）＜0的解集是　{x|1＜x＜4}?。艉瘮?shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是?。?，3]∪（4，+∞）?。? 【解答】解：當(dāng)λ=2時(shí)函數(shù)f（x）=，顯然x≥2時(shí)，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2時(shí)，不等式f（x）＜0化為：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，綜上，不等式的解集為：{x|1＜x＜4}． 函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)， 函數(shù)f（x）=的草圖如圖： 函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則1＜λ≤3或λ＞4． 故答案為：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）． 　 14．已知點(diǎn)P（0，1），橢圓+y2=m（m＞1）上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=　5　時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大． 【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 由P（0，1），=2， 可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1）， 即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3， 又x12+4y12=4m， 即為x22+y12=m，① x22+4y22=4m，② ①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m， 可得y1﹣2y2=﹣m， 解得y1=，y2=， 則m=x22+（）2， 即有x22=m﹣（）2==， 即有m=5時(shí)，x22有最大值4， 即點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大． 故答案為：5． 　 15．從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成　1260　個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．（用數(shù)字作答） 【解答】解：從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字有種方法， 從2，4，6，0中任取2個(gè)數(shù)字不含0時(shí)，有種方法， 可以組成=720個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)； 含有0時(shí)，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540， 故一共可以組成1260個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)． 故答案為：1260． 　 三．解答題（共2小題） 16．設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x． （1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值； （2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在區(qū)間[﹣π，π]上的解． 【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）為偶函數(shù)， ∴f（﹣x）=f（x）， ∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f（）=+1， ∴asin+2cos2（）=a+1=+1， ∴a=， ∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1， ∵f（x）=1﹣， ∴2sin（2x+）+1=1﹣， ∴sin（2x+）=﹣， ∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z， ∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z， ∵x∈[﹣π，π]， ∴x=或x=或x=﹣或x=﹣ 　 17．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P（﹣，﹣）． ∴x=﹣，y=，r=|OP|=， ∴sin（α+π）=﹣sinα=； （Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1， 得，， 又由sin（α+β）=， 得=， 則cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=， 或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=． ∴cosβ的值為或． 　 第12頁(yè)（共12頁(yè)）