第12講彎曲內(nèi)力(Ⅰ)

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1、第12講 教學(xué)方案 ——彎曲內(nèi)力(Ⅰ) 基 本 內(nèi) 容 彎曲內(nèi)力、剪力圖與彎矩圖。 教 學(xué) 目 的 1、 掌握彎曲變形與平面彎曲等基本概念。 2、 純熟掌握用截面法求彎曲內(nèi)力。 3、 純熟列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖。 重 點(diǎn) 、 難 點(diǎn) 本節(jié)重點(diǎn)：用截面法求彎曲內(nèi)力。 本節(jié)難點(diǎn)：運(yùn)用剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖和彎矩圖。 第四章 彎曲內(nèi)力 §4-1概述 圖5-1為工程中常用的橋式起重機(jī)大梁和火車(chē)輪軸，它們都是受彎構(gòu)件。 彎曲變形：桿件在垂直于其軸線(xiàn)的載荷作用下，使原為直線(xiàn)的軸線(xiàn)變?yōu)榍€(xiàn)的變形。一

2、般將承受彎曲變形的桿件稱(chēng)為梁。 對(duì)稱(chēng)彎曲：梁的每一種橫截面至少有一根對(duì)稱(chēng)軸，這些對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)成對(duì)稱(chēng)面。所有外力都作用在其對(duì)稱(chēng)面內(nèi)時(shí)，梁彎曲變形后的軸線(xiàn)將是位于這個(gè)對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的一條曲線(xiàn)，這種彎曲形式稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)彎曲，如圖5-2所示。 對(duì)稱(chēng)彎曲是彎曲問(wèn)題中最常用的狀況。 §4-2剪力與彎矩 靜定梁：梁的所有支座反力均可由靜力平衡方程擬定。 靜定梁的基本形式有： 簡(jiǎn)支梁：一端為固定鉸支座，而另一端為可動(dòng)鉸支座的梁，如圖5-3a所示。 懸臂梁：一端為固定端，另一端為自由端的梁，如圖5-3b所示。 外伸梁：簡(jiǎn)支梁的一端或兩端伸出支座之外的梁，如圖5-3c所示?！?-3剪力與彎矩方程

3、 剪力圖與彎矩圖 如圖5-4a所示的簡(jiǎn)支梁，其兩端的支座反力 、可由梁的靜力平衡方程求得。用假想截面將梁分為兩部分，并以左段為研究對(duì)象（圖5-4b）。由于梁的整體處在平衡狀態(tài)，因此其各個(gè)部分也應(yīng)處在平衡狀態(tài)。據(jù)此，截面I―I上將產(chǎn)生內(nèi)力，這些內(nèi)力將與外力 、，在梁的左段構(gòu)成平衡力系。 由平衡方程，則 這一與橫截面相切的內(nèi)力 稱(chēng)為橫截面I―I上的剪力，它是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力。 根據(jù)平衡條件，若把左段上的所有外力和內(nèi)力對(duì)截面I―I的形心 取矩，其力矩總和應(yīng)為零，即，則 這一內(nèi)力偶矩稱(chēng)為橫截面I―I上的彎矩。它是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩。剪力和彎矩均

4、為梁橫截面上的內(nèi)力，它們可以通過(guò)梁的局部平衡來(lái)擬定。 剪力、彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力規(guī)定為正，反之為負(fù)，如圖5-5所示；使梁的下部產(chǎn)生拉伸而上部產(chǎn)生壓縮的彎矩規(guī)定為正，反之為負(fù)，如圖5-6所示。 一般狀況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化，將剪力和彎矩沿梁軸線(xiàn)的變化狀況用圖形表達(dá)出來(lái)，這種圖形分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖。畫(huà)剪力圖和彎矩圖的基本措施有二種： 1．剪力、彎矩方程法 若以橫坐標(biāo) 表達(dá)橫截面在梁軸線(xiàn)上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩可以表達(dá)為的函數(shù)，即 上述函數(shù)體現(xiàn)式稱(chēng)為梁的剪力方程和彎矩方程。根據(jù)剪力方程和彎矩方程即可畫(huà)出剪力圖和彎矩圖。

5、 畫(huà)剪力圖和彎矩圖時(shí)，一方面要建立 和 坐標(biāo)。一般取梁的左端作為 坐標(biāo)的原點(diǎn)，坐標(biāo)和 坐標(biāo)向上為正。然后根據(jù)截荷狀況分段列出和 方程。由截面法和平衡條件可知，在集中力、集中力偶和分布載荷的起止點(diǎn)處，剪力方程和彎矩方程也許發(fā)生變化，因此這些點(diǎn)均為剪力方程和彎矩方程的分段點(diǎn)。分段點(diǎn)截面也稱(chēng)控制截面。求出分段點(diǎn)處橫截面上剪力和彎矩的數(shù)值（涉及正負(fù)號(hào)），并將這些數(shù)值標(biāo)在 、坐標(biāo)中相應(yīng)位置處。分段點(diǎn)之間的圖形可根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪出。最后注明和的數(shù)值。 例4-1 簡(jiǎn)支梁受力如圖a所示。試寫(xiě)出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：（1）求支座反力 由平衡方程和分別求得 ， 運(yùn)用

6、平衡方程對(duì)所求反力進(jìn)行校核。 （2）建立剪力方程和彎矩方程 以梁的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)，如圖a所示。 因在C處分布載荷的集度發(fā)生變化，故分二段建立剪力方程和彎矩方程。 AC段： CB段： 3．求控制截面內(nèi)力，繪、圖 圖：AC段內(nèi)，剪力方程是的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線(xiàn)，故求出兩個(gè)端截面的剪力值，，，分別以a、c標(biāo)在坐標(biāo)中，連接a、c的直線(xiàn)即為該段的剪力圖。CB段內(nèi)，剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值，例如，連一水平線(xiàn)即為該段剪力圖。梁AB的剪力圖如圖b所示。 圖：AC段內(nèi)，彎矩方程是的二次函數(shù)，表白彎矩圖為二次曲線(xiàn)，求出兩個(gè)端截面的彎矩，，，分別以a、c標(biāo)在坐標(biāo)中。由剪力圖知在d點(diǎn)處，該處彎矩獲得極值。令剪力方程，解得，求得，以d點(diǎn)標(biāo)在坐標(biāo)中。據(jù)a、d 、c三點(diǎn)繪出該段的彎矩圖。CB段內(nèi)，彎矩方程是的一次函數(shù)，分別求出兩個(gè)端點(diǎn)的彎矩，以c、b標(biāo)在坐標(biāo)中，并連成直線(xiàn)。AB梁的圖如圖c所示。