北師版八年級教全套講義.doc

《北師版八年級教全套講義.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《北師版八年級教全套講義.doc（80頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

______________________________________________________________________________________________________________ 數(shù)學 八年級 e諾克教育 18829233056 -可編輯修改- 目錄 勾股定理 ---------------------------------------------------------------------- 2 勾股定理的綜合 ------------------------------------------------------------ 6 平方根-------------------------------------------------------------------------- 10 二次根式的化簡與計算 ---------------------------------------------------- 14 立方根 ------------------------------------------------------------------------ 18 位置與坐標 ------------------------------------------------------------------- 23 一次函數(shù)及其圖象 ---------------------------------------------------------- 29 一次函數(shù)綜合----------------------------------------------------------------- 37 一次函數(shù)綜習題 ------------------------------------------------------------ 40 二元一次方程組 ----------------------------------------------------------------- 50 數(shù)據分析的基礎認識 ------------------------------------ 60 數(shù)據分析檢測題----------------------------------------- 65 平行線的證明------------------------------------------ 70 勾股定理 a b c 【知識要點】 1．勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 即。 2．一銳角為30°或45°的直角三角形的性質 a b c 45° a b c 30° 3．解題技巧。 （1）利用勾股定理解題一定要找準斜邊、直角邊。 （2）作輔助線構造直角三角形解題。 （3）30°、45°銳角的直角三角形三邊的比例關系。 （4）數(shù)形結合的實際問題，運用點到直線距離最短、兩點間線段最短，空間圖形展開成平面圖形等知識點。 【典型例題】 A 81 C 225 B a c b 例1 求下圖中字母所代表的正方形的面積。 A B 400 225 a b c C SA= SB= a= ；b= ；c= 。 a= ；b= ；c= 。 從中發(fā)現(xiàn)：（1）三個正方形的面積之間有什么關系？ （2）三個正方形圍成的直角三角形三邊長度之間有什么關系？ 例2 已知如圖，∠ABD=∠C=90°，AC=BC，∠DAB=30°，AD=12，求BC的長。 C D B A C B D A 例3 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，AB=1.6，求AD的長。 60° D C B A 例4 如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求BC和AD的長。 A B C 例5 如圖，已知在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求S△ABC。 A A1 B1 B C 例6 如圖，一架長2.5m的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為0.7m，若梯子的頂端沿墻下滑0.4m。那么梯足將外移多少米？ M C D N A · · B 例7 如圖，一塊磚寬AN=5cm，長ND=10cm，CD上的點B距地面的高BD=8cm，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，要爬行的最短路線是多少？ 【課堂練習】 一、填空題 1．在△ABC中，∠C=90°，三內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若a=5，b=12，則c= ；若b=7，c=9，則a= . 2．三角形的三個內角之比為1：2：3，它的最大邊長為a，那么它的最小邊是 。 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，三內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若c=10，a：b=3：4，則a= ， b= 。 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，三內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若∠A=30°，a：b：c= ；∠A=45°，a：b：c= 。 5．如果直角三角形有一個銳角為30°，那么它的三條邊長的比（由小到大）是 。 6．若一個等邊三角形的高是cm，則它的一邊長為 cm，周長為 cm，面積為 cm2。 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，較大直角邊的長為，則AB= ，斜邊上的高 。 8．在Rt△ABC中，一條直角邊為6，斜邊上的高是3，則兩個銳角為 、 。 9．若三角形的三個內角之比是1:2:3，最短邊長為10cm，則其他兩邊長為 、 。 二、選擇題 1．若直角三角形三邊長為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長為（ ） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=10，則BC邊上中線AD的長為（ ） A．12 B．13 C．15 D．17 3．以直角三角形ABC的斜邊AB為斜邊另作一個直角三角形ABD，如果BC=15，AC=20，AD=7，則BD=（ ） A．13 B．15 C．24 D．25 4．直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊乘積的2倍，這個三角形有一個銳角是（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 5．如圖所示，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=26，BD=10，DC=7，則AC=（ ） ） A．12 B．16 C．24 D．25 6．直角三角形的兩邊為5和12，則第三邊長為（ ） A．10 B．13 C．15 D．以上答案都不對 三、解答題 1．由四個完全相同的直角三角形拼得一個大正方形，如圖所示，已知直角三角形兩條直角邊分別是7厘米和5厘米，求大正方形的面積。（用兩種方法解答）。 2．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=3，AB=4，BC=12，求CD的長。 3．一艘輪船以16海里/小時的速度離開港口向東南航行，另一艘輪船在同時同地以12海里/小時的速度向西南方向航行，它們離開港口一個半小時后相距多遠？ 4．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，CD=6，求BD，AC的長。 5．如圖，在垂直于地面的墻上2m處的A點斜放一個長2.5m的梯子，由于不小心，梯子在墻上下滑0.8m，求梯子在地面上滑出的距離BB′的長度。（精確到0.1m） 6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，AC=12cm，CD⊥AB，D為垂足，求CD的長。 A D C B E F 7．如圖，將正方形ABCD折疊兩次，第一次折痕為AC，第二次折痕為AE，且點D落在AC上的F處，設正方形的邊長為1，求DE的長。 8．在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，點O是△ABC的內角平分線的交點，求O點到各邊的距離及∠AOB的度數(shù)。 勾股定理的綜合 【知識要點】 1．熟悉常見的勾股數(shù)。 （3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）…… 2．勾股定理的逆定理：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的應分別為a、b、c，若，則△ABC為直角三角形，∠C=90° 3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個三角形是直角三角形。 4．解題技巧。 （1）任意兩個正整數(shù)m和n（m>n），若，，則就是滿足的一組勾股數(shù)。 （2）判斷一個三角形是否是直角三角形，首先確定最大邊，然后驗證與是否相等。 （3）三角形三邊滿足一定的代數(shù)關系，通過化簡代數(shù)式、方程解題。 （4）圖形折疊問題，注意被折疊部分的全等關系。 （5）運用勾股定理和勾股定理的逆定理證明三角形邊的關系的代數(shù)式。 【典型例題】 例1 如圖所示，已知正方形ABCD中，E是BC邊的中點，F(xiàn)在CD上，且DF=3CF，A B C D E F 求證：AE⊥EF 例2 判斷以下各組線段為邊能否組成直角三角形。 （1）9、41、40； （2）5、5、5 （3）、、； （4）、、 （5）、、 （6） 例3 若a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，試判定三角形的形狀。 例4 如圖所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF邊上中線DG=8cm。求證：△DEF是等腰三角形。 D E F G A B C D 例5 如圖所示，在△ABC中，D是BC上一點，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求△ABC的面積。 例6 在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BE平分∠ABC，交AC于D點，CE⊥BE于點E。求證：。 例7、若△ABC的三邊長a、b、c滿足條件，，判斷△ABC的形狀。 【課堂練習】 一、填空題 1、 在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=3，b=4，則c=＿＿＿＿；（2）若b=8，c=17，則a=_______; 2．在△ABC中，若其三條邊的長度分別為9、12、15，則以兩個這樣的三角形所拼成 的長方形的面積是＿＿＿＿。 3、△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，則AD=＿＿＿。 4、有一長70㎝，寬50㎝，高50㎝的長方體盒子，A點處有一只螞蟻，想吃到B點 D B C A 處的食物，它爬行的最近距離是 厘米。 5．一直角三角形兩條邊長分別是12和5，則第三邊長為 6．已知甲乙同時從A出發(fā)，甲往東走了8km，乙往南走了6km，則兩人相距 。 7．如圖4：在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的 池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴 子所經過的距離相等，則這棵樹高_____________米。 8．一根旗桿在離地面9 m處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12 m的地面上，旗桿在折斷之前高度 為 。 二.選擇題 1、一個直角三角形,兩直角邊長分別為3和4,下列說法正確的是( ) A. 斜邊長為25; B. 三角形的周長為25; C. 斜邊長為5; D. 三角形面積為20. 2、圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側面移動到BC的中點S的最短距離是 （ ） A． B． C． D． 3、下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是( ) A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15. 4、將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù), 得到的三角形是( ) A. 鈍角三角形; B. 銳角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形. 5、如圖5,一個無蓋的圓柱紙盒：高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃,要爬行的最短路程(取3)是( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.無法確定. 6、適合下列條件的△ABC中, 直角三角形的個數(shù)為( ) ①②∠A=450;③∠A=320, ∠B=580; ④⑤ A. 2個; B. 3個; C. 4個; D. 5個. 7．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC =6cm，BC =8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于 （ ） （A） 2cm （B） 3 cm （C） 4 cm （D） 5 cm A B E F D C 8. 如圖：長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（　） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2 三，解答題 A B D C 1、在四邊形ABCD中，∠A=600，∠B=∠D=900，BC=2，CD=3，求AB 2．已知，如圖，折疊長方形（四個角都是直角，對邊相等）的一邊AD使點D落在BC邊的點F處，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的長 A B C D 3 、已知△ABC中，AD是高，AB+DC=AC+BD，求證：AB=AC。 4、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P為BC上任意一點。求證：BP2+CP2=2AP2 A B C P 5．已知直角三角形周長為24，面積為24，求各邊之長。 6．如圖所示，在△ABC中，AB=9，AC=6，AD⊥BC于點D，M為AD上任一點，求MB2－MC2的值。 數(shù)的開方——平方根 【知識要點】 1．平方根的概念 如果一個數(shù)的平方等于，即，那么這個數(shù)叫做的平方根，也叫二次方根。即若，則就稱為的平方根。 2．平方根的性質 ①一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)； ②零有一個平方根，它是零本身； ③負數(shù)沒有平方根。 3．平方根的表示方法： 一個正數(shù)的正的平方根，用符號“”表示，叫做被開方數(shù)，2叫做根指數(shù)；正數(shù)的負平方根用符號“”表示，根指數(shù)是2時，通常略去不寫，所以這兩個平方根記作。 4．算術平方根：正數(shù)的正的平方根，也叫做的算術平方根，記作（），0的平方根叫做0的算術平方根。因此，0的算術平方根為0，即。 5．平方根的求法：①利用定義；②利用計算器；③利用估算法。 6．開平方：求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方，開平方與平方互為逆運算。 7．開平方的小數(shù)點移動規(guī)律：如果被開方數(shù)的小數(shù)點，向右或向左每移動兩位，它的平方根的小數(shù)點就相應地向右或向左移動一位。 【典型例題】 例1 ∵ ∴（ ） A．； B．； C．； D．。 例2 求下列各數(shù)的平方根：，，，。 例3 （1）的平方根是 ，算術平方根是 ； （2）的平方根是 ，算術平方根是 ； （3）（-2．345）2的平方根是 ，算術平方根是 。 例4（1）的平方根為（ ） A．沒有平方根 B． C．0 D．1 （2）的平方根為（ ） A． B．沒有平方根 C．0或沒有平方根 D．0 （3）一個自然數(shù)的一個平方根是，那么緊跟它后面的一個自然數(shù)的平方根是（ ） A． B． C． D． 例5 已知， ① 求和的值； ② 若=0．4858，求的值； ③ 若，求的值。 例6 解下列方程 （1） 144=25 （2） -100 例7 求中的值 【課堂練習】 1．（1）求下列各數(shù)的平方根和算術平方根 ① ； ② 0．0001； ③ ； ④ 0 （2）求下列各式的值 ① ； ② ； ③ 2．求下列各數(shù)的平方根 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 3．填空 （1）9的平方根是 ，9的算術平方根是 （2）81的負的平方根是 ； （3） ， ； （4）平方根是的數(shù)是 ； （5）的平方根是 ； （6）的平方根是 ； （7）平方根是它本身的數(shù)是 ； （8）若，則 。 4．選擇題 （1）下列結果錯誤的有（ ） ① ； ② 的算術平方根是4； ③ 的算術平方根是； ④ 的平方根是 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 （2）下列語句寫成式子正確的是（ ） A．7是49的算術平方根，即； B．7是的算術平方根，即； C．是49的平方根，即； D．是7的算術平方根，即 5．下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，求出它的平方根；如果沒有，請說明理由。 （1）； （2）0； （3）； （4）； （5）-52； （6）。 6．設為有理數(shù)，判斷下列說法是否正確 （1）如果存在平方根，則；（ ） （2）如果有兩個平方根，則；（ ） （3）如果沒有平方根，則；（ ） （4）如果，則的平方根也大于0。（ ） 7．已知，則= ，= ，= 。 8．求下列各式中的值： （1） （2） （3） 9．分別求的值。 （1）a=3，b=2； （2），； （3）a=1，b=－1； （4）， 10．已知a、b、c是△ABC的三邊，并且有，根據下列已知條件，求未知邊。 （1）已知，，求a； （2）已知a=3，b=4，求c； （3）已知a=8，c=17，求b。 11．已知=0，求a、b的值。 12．已知，求x與y的值。 13．已知：， （1）求x與y的值； （2）求x+y的平方根。 14．若，求的值。 15．若，求的值。 16．計劃用100塊地板磚來鋪設面積為16m2的客廳，求所需要的正方形地板磚的邊長。 17．已知，求的算術平方根。 二次根式的化簡與計算 【重難點提示】 1．最簡二次根式 （1）最簡二次根式要滿足以下兩個條件 ①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式。即被開方數(shù)不含有分母。 ②被開方數(shù)中不含有能開盡方的因數(shù)或因式。即被開方數(shù)中每個因數(shù)或因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2。 （2）化簡二次根式的方法 “一分解”：把被開方數(shù)的分子、分母盡量分解出一些平方數(shù)或平方式。 “二移出”：把這些平方數(shù)或平方式，用它的算術平方根代替移到根號外。 “三化去”：化去被開方數(shù)中的分母。 2．二次根式的加減法 （1）同類二次根式 幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式。 判斷幾個二次根式是否是同類二次根式：一化簡，二判斷。 （2）二次根式的加減法 先把各根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式（類似合并同類項）。 3．分母有理化 前面學過分母是單項二次根式時，與互為有理化因式。 那么兩項式的二次根式的有理化因式是與。 與互為有理化因式。 4．二次根式的混合運算 （1）運算順序：二次根式的加、減、乘（乘方）、除的運算順序與實數(shù)的運算順序類似，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的。 （2）在二次根式的混合運算中，整式和分式中的運算法則、定律、公式等仍然適用。 【典型例題】 例1 計算：（1） （2） （3）（a＞0，b＞0） 例2 計算： （1） （2） （3） （4） 例3 如果最簡根式和是同類根式，求m、n的值。 例4 計算：（1） （2） 例5 計算： （1） （2）（x＞0，y＞0） 例6 計算：① ② 【課堂練習】 一、填空題 1．下列二次根式中中的最簡二次根式有 。 2．化簡：（1），（2） （3），（4） 3．若最簡二次根式與是同類二次根式，則m= . 4．若最簡二次根式與是同類二次根式，求a、b的值 。 5．a的倒數(shù)是，則a= 。 6．已知-2＜m＜-1，化簡。 7．。 8．。 9．把的整數(shù)部分記為a，小數(shù)部分記做b，則。 10．若，則。 二、選擇題 1．化簡（a≤3）得（ ） A．3－a B．a－3 C． D． 2．在中，最簡二次根式的個數(shù)是（ ） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個。 3．若x＞a，則化成最簡根式得（ ） A． B． C． D． 4．下面化簡正確的是（ ） A． B． C． D． 5．下面說法正確的是（ ） A．被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式； B．與是同類二次根式 C．同類二次根式是根指數(shù)為2的根式 D．和不是同類二次根式 6．與不是同類二次根式的是（ ） A． B． C． D． 7．的值（ ） A．4 B． C． D． 8．計算的結果是（ ） A． B． C． D． 9．下列計算結果正確的是（ ） A． B． C． D． 10．若x＞0，y＜0，則等于（ ） A． B． C． D． 三、化簡 1．（a≥0，b≥0） 2．（a＞0） 3．（a≥0，b≥0） 4．（b＞a＞0） 5．（b＞1） 6．（m＞n＞0） 7．（x＞y） 四、計算 1． 2． 3． 4． 5． 6． 立方根 【知識要點】 1．立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于a，這個數(shù)就叫做a的立方根（也稱作a的三次方根）。即：若，則x稱為a的立方根，記作，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)。 2．立方根的性質：（1）任何數(shù)都有立方根，且只有一個立方根（這與平方根的性質不同）。 （2）正數(shù)有一個正的立方根，負數(shù)有一個負的立方根，0的立方根是0。 （3）求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方。開立方與立方互為逆運算。 3．開立方的小數(shù)點移動規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點向右或向左每移動三位，則立方根的小數(shù)點就向右或向左移動一位。 4．n次方根的定義：如果一個數(shù)的n次方等于a，這個數(shù)叫做a的n次方根。 5．n次方根的性質：（1）正數(shù)的偶次方根有兩個，它們是互為相反數(shù)；負數(shù)沒有偶次方根； （2）任何數(shù)a的奇次方根只有一個，且與a同正負； （3）0的任何次方根為0。 【典型例題】 例1 （1）求下列各數(shù)的平方根及立方根： ① ②729 ③ （2）求下列各式的值： ① ② ③ 例2 = ；= ；= 。 例3 下列各式中值為正數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 例4 計算：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 例5 已知=，， 求（1）、、的值 （2）若，，，求x、y、z的值 例6 求下列各式中x的值。 （1） （2） （3） （4） （5） 例7 （1）的六次方根為 。 （2）的999次方根為 。 （3）－32的五次方根為 。 （4）64的六次方根為 。 （5）的六次方根為 。 （6）的9次方根為 。 （7）的平方根為 ，立方根為 ，六次方根為 。 立方根練習 1．填空題： （1）125的立方根等于 ，－125的立方根等于 。 （2）0.216的立方根等于 ，的立方根等于 。 （3）0.16的平方根等于 ，49的算術平方根等于 。 （4）平方根等于本身的數(shù)是 ，立方根等于本身的數(shù)是 。 （5）64的平方根的立方根等于 ，9的立方根可表示成 。 （6）的立方根是 ； 的立方根是 。 （7）的立方根是 ； 的立方根是 。 （8）的立方根是 的立方根是 。 （9）的立方根是 的立方根是 。 （10）= = 。 （11）= 。 2．求下列各式的值： （1） （2） （3） 3．求下列各式中的x的值： （1）； （2） （3） 4．（1）求625的4次方根；（2）求－128的7次方根；（3）求的6次方根；（4）求0.00001的5次方根。 5．的立方根是（ ） A．±4 B．±2 C．2 D．－2 6．若，，則的值為（ ） A．－10 B．0 C．0或－10 D．0，－10或10 7．若，則（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．若，那么的值是（ ） A．64 B．－27 C．－343 D．343 9．的平方根是（ ） A．－2 B．2 C． D． 10．計算下列各題 （1）； （2） （3） （4） （5） 11．如果的立方根是4，求的算術平方根。 12．已知是m的立方根，而是x的相反數(shù)，且，求 的立方根。 13．若，，求的值。 14．已知，且，求的值。 15．已知是m的立方根，而是x的相反數(shù)，且，求 的立方根。 第三章位置與坐標 【確定位置】 （1）行列定位法：在這種方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行號和列號表示平面上點的位置，在此方法中，要牢記某點的位置需要兩個互相獨立的數(shù)據，兩者缺一不可。 （2） “極坐標”定位法：運用此法需要兩個數(shù)據：方位角和距離，兩者缺一不可。 （3） 經緯定位法：它也需要兩個數(shù)據：經度和緯度。 （4） 區(qū)域定位法：只描述某點所在的大致位置。如“小明住在7號樓3層302號” （5） 在方格紙上確定物體的位置：在方格紙上，一點的位置由橫向格數(shù)與縱向格數(shù)確定，記作（橫向格數(shù)，縱向格數(shù)）或記作（水平距離，縱向距離），要注意橫格數(shù)排在前面，縱向格數(shù)排在后面。此種確定位置的方法可看作“平面直角坐標系”中坐標定位法的特例。 【同步練習】 1、下列數(shù)據不能確定物體位置的是（ ） A. 4樓8號 B. 北偏東30度 C. 希望路25號 D. 東經118度、 北緯40度 2、如左下圖是某學校的平面示意圖，如果用（2，5）表示校門的位置，那么圖書館的位置如何表示？圖中（10，5）處表示哪個地點的位置？ 3、如右上圖，雷達探測器測得六個目標A、B、C、D、E、F，目標C、F的位置表示為C（6，120°）、F（5，210°），按照此方法在表示目標A、B、D、E的位置時，其中表示不正確的是 （ ） A．A（5，30°） B．B（2，90°） C．D（4，240°） D．E（3，60°） 4、小明家在學校的北偏東方向，距學校1000 處，則學校在小明家的_______. 【直角坐標系】 1．平面直角坐標系： （1）在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成平面直角坐標系．通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向．水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，x軸和y軸統(tǒng)稱坐標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點．這個平面叫做坐標平面． （2）兩條坐標軸把平面分成四個部分：右上部分叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限(如圖1－5－1所示）． 2．點的坐標： （1）對于平面內任意一點P，過點P分別向x軸、y 軸作垂線，垂足在x軸y軸上對應的數(shù)a、b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標．有序數(shù)對（a、b）叫做點P的坐標． （2）坐標平面內的點可以用有序實數(shù)對來表示反過來每一個有序實數(shù)對都能用坐標平面內的點來表示；即坐標平面內的點和有序實數(shù)對是一一對應關系． （3）設P（a、b），若a=0，則P在y軸上；若b=0，則P在x軸上；若a+b＝0，則P點在二、四象限兩坐標軸夾角平分線上；若a=b，則P點在一、三象限兩坐標軸夾角的平分線上． （4）設P1（a，b）、P2（c，d），若a=c，則P； P2∥y軸；若b=d，則P； P2∥x軸． 【例】如圖1－5－2所示,所在位置的坐標為（－1，－2），相所在位置的坐標為（2，2那么，"炮"所在位置的坐標為______． 【同步練習】 1、已知點P在第二象限，且到x軸的距離是2，到y(tǒng)軸的距離是3，則P點坐標為___________ 2．坐標平面內的點與___________ 是一一對應關系． 3．若點M （a,b）在第四象限，則點M（b－a,a－b）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若P（x，y）中xy=0，則P點在（ ） A．x軸上 B．y軸上 C．坐標原點 D．坐標軸上 5．若P（a,a－2）在第四象限，則a的取值范圍為（） A．－2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜0 6．如果代數(shù)式有意義，那么直角坐標系中點 A（a，b）的位置在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C第三象限 D.第四象限 7．已知M(3a－9，1－a)在第三象限，且它的坐標都是整數(shù)，則a等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．0 8．如圖 1－5－3，方格紙上一圓經過（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四點，則該圓的圓心的坐標為（ ） A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l） 9、寫出左下圖中的多邊形ABCDEF各個頂點的坐標. 10、在右上圖的平面直角坐標系中，描出下列各點：A（－5，0）， B（1，4）， C（3，3）， D（1，0）， E（3，－3）， F（1，－4）. 12、如左上圖，若點E的坐標為（－2，1），點F的坐標為（1，－1），則點G的坐標為______. 13、如右上圖，對于邊長為4的正△ABC，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，寫出各個頂點的坐標. 14、在平面直角坐標系中，下面的點在第一象限的是（ ） A. （1，2） B. （－2，3） C. （0，0） D. （－3，－2） 15、若，則點M（a，b）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16、在平面直角坐標系中，點（，）在第四象限，則的取值范圍是_________. 17、點是第三象限的點，則（ ） （A）＞0 （B）＜0 （C）＞0 （D）＜0 118、點P在第二象限，若該點到軸的距離為3，到軸的距離為1，則點P的坐標是______. 19、已知點，它到軸的距離是____，它到軸的距離是____，它到原點的距離是_____. 20、在平面直角坐標系中，點A的坐標為（－3，4），點B的坐標是（－1，－2），點O為坐標原點， 求△AOB的面積. 【對稱點的坐標】 點P（a，b）關于x軸對稱的點的坐標為（a，－b），關于y軸對稱的點的坐標為（－a，b），關于原點對稱的點的坐標為（－a，－b），反過來，P點坐標為P1（a1，b1），P1（a2，b2），若a1=a2, b1+b2=0, 則P1 、P2關于x軸對稱；若a1+a2=0， b1=b2， 則P1 、P2關于y軸對稱；若a1+a2=0， b1+b2=0， 則P1 、P2關于原點軸對稱. 【例1】已知點P（－3， 2），點A與點P關于y軸對稱，則A點的坐標為______ 【例2】矩形ABCD中的頂點A、B、C、D按順時針方向排列，若在平面直角坐標系中，B、D兩點對應的坐標分別是（2，0），（0，0），且A、C關于x軸對稱，則C點對應的坐標是（ ） A、（1， 1） B、（1，－1） C、（1，－2） D、（，－） 【同步練習】 1．點P(3，－4）關于y軸的對稱點坐標為_______，它關于x軸的對稱點坐標為_______．它關于原點的對稱點坐標為_______． 2．若P（a, 3－b）,Q(5, 2)關于x軸對稱，則a=___，b=______ 3．點（－1, 4）關于原點對稱的點的坐標是（ ） A．（－1，－4） B．（1，－4） C．（l，4） D．（4，－1） 4．在平面直角坐標系中，點P（－2，1）關于原點的對稱點在（ ） A．第一象限 B．第M象限C．第M象限 D．第四象限 5．已知點A（2，－3）它關于x軸的對稱點為A1，它關于y軸的對稱點為A2，則A1、A2的位置有什么關系？ 6．已知點A（2，－3）①試畫出A點關于原點O的對稱點A1；②作出點A關于一、三象限兩坐標軸夾角平分線的對稱點B，并求B點坐標． 7、點的坐標是(－3,4)，則點關于軸的對稱點的坐標是_______，關于軸的對稱點的坐標是_______，關于原點的對稱點的坐標是_______，點到原點的距離是_______. 8、如右圖，在直角坐標系中，△AOB的頂點O和B的坐標分別是O（0，0），B（6，0），且 O A B x y ∠OAB＝90°，AO＝AB，則頂點A關于軸的對稱點的坐標是 （ ） （A）（3，3） （B）（-3，3） （C）（3，-3） （D）（-3，-3） 9、△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示. （1）作出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標； （2）作出將△ABC繞點O順時針旋轉180°后的△A2B2C2； （3）求S△ABC. 10、 在如圖所示的直角坐標系中，四邊形ABCD的各個頂點的坐標分別是A（0，0），B（2，5），C（9，8），D（12，0），求出這個四邊形的面積. 一次函數(shù)及其圖象 【知識要點】 1．作出函數(shù)圖象的三大步驟 （1）列表 （2）描點 （3）連線 2．正比例函數(shù)的圖象經過原點。 3．對于，當時，y的值隨x的值的增大而增大。 當時，y的值隨x的值的增大而減小。 當時，直線與y軸的交點在x軸的上方； 當時，直線與y軸的交點在x軸的下方。 【典型例題】 例1、已知一次函數(shù)，且y隨x值增大而減小。 （1）求 a的范圍 （2）如果此一次函數(shù)又恰是正比例函數(shù)，試求a的值。 例2 當m為何值時，函數(shù)為一次函數(shù)，求這個一次函數(shù)的解析式，并求該函數(shù)圖象與x軸、y軸交點間的距離。 例3 在同一個坐標系內作直線和直線的草圖。 例4 作函數(shù)的草圖。（m<3） 例5 已知函數(shù)（1）當時，求y取值范圍。（2）當時，求x取值范圍。 例6 （1）圖像過點（1，－1），且與直線平行，求其解析式。 （2）圖像和直線在y軸上相交于同一點，且過（2，－3）點，求其解析式。 例7 求直線關于x軸成軸對稱的圖形的解析式。 例8 作出的圖像。 例9 直線與x軸交于點A（－4，0），與y軸交于點B，若點B到x軸的距離為2，求直線的解析式。 例10 氣溫隨高度的升高而下降，下降的一般規(guī)律是從地面到高空11km處，每升高1km,氣溫下降6℃，高于11km時，幾乎不再變化，設地面的氣溫為20℃，高空中xkm的氣溫為y℃。（1）當時，求x和y的關系式。（2）在坐標系中作出氣溫隨高度（包括高于11km）而變化的圖象；（3）試求在離地面4.5km及13km的高空處，氣溫分別是多少度？ 【課堂練習】 1．若是正比例函數(shù)，則k 。 2．若y與x成正比，且時，，則比例系數(shù)為 ，解析式為 。 3．函數(shù)，當m 時，y是x的一次函數(shù)，當m 時，y是x的正比例函數(shù)。 4．若一次函數(shù)的圖像經過點P（－2，－1），則k= 。 5．某音像社對外出租光盤的收費方法是：每張光盤在出租后的頭兩天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一張光盤在出租后第 n天（n是大于2的整數(shù)），應收租金 元。 6．下面由火柴棒拼出的一列圖形，第n個圖形由n個正方形組成，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)： n=4 n=3 n=2 n=1 ①第4個圖形中火柴棒的根數(shù)是 。 ②第n個圖形中火柴棒的根數(shù)是 。 7．購買單價c元的球拍n個，付出450元，應找y元，則y與n之間的關系式是 。 8．有一批物資要從A城運往B城，如果兩城的路程為500千米，車速為每小時50千米，從A城到B城所用時間為t，那么汽車與B城的距離y與t的關系是 。 9．對正比例函數(shù)y=2x和一次函數(shù)y=2x－2。 （1）填寫下表： y=2x 0 2 y=2x－2 （2）在右邊空白處的同一坐標系內作出它們的圖象； （3）y=2x的圖象的特點是 ；y=2x的圖象與y=2x－2的圖象的區(qū)別是 。 10．在同一坐標系內作出y=x，y=x，y=4x的圖象。 的圖象與x軸正方向所成的銳角最大， 的圖象與x軸正方向所成的銳角最小。 11．已知一次函數(shù)，且y隨x的增大而增大。則a的取值范圍是 。 12．如果一次函數(shù)的圖象上有一點A，且A的坐標為（2，4），則m的值為 。 13．在下列四個函數(shù)中，y的值隨x的值的增大而減小的是（ ） A．` B． C． D． 14．在一次函數(shù)中，y的值隨x的值的增大而增大，則m的范圍是（ ） A． B． C． D． 15．下面圖象中，不可能是關于x的一次函數(shù)的圖象是（ ） x y O A B x y O x O C y D O x y 16．求下列函數(shù)關系