高考沖刺 數(shù)形結(jié)合的思想

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BatchDoc Word文檔批量處理工具 高考沖刺 數(shù)形結(jié)合的思想 【高考展望】 在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)捷、靈活特點(diǎn)的多是填空小題。 從近三年新課標(biāo)高考卷來(lái)看，涉及數(shù)形結(jié)合的題目略少，預(yù)測(cè)今后可能有所加強(qiáng)。因?yàn)閷?duì)數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是新課標(biāo)高考明確的一個(gè)命題方向。 1．?dāng)?shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，借助圖形來(lái)研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化?！皵?shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。 2．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查”，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能。 3．“對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括的考查，考查時(shí)要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合”，用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好數(shù)形結(jié)合思想打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。 4．函數(shù)的圖象、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是 “以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了 “數(shù)形結(jié)合”的知識(shí)平臺(tái)。 5．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過(guò)程中，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬(wàn)事休”。 【知識(shí)升華】 縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。是通過(guò)“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究其對(duì)應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，是解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。 具體地說(shuō)，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問(wèn)題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。 選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過(guò)程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。 1．高考試題對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個(gè)方面： （1）集合問(wèn)題中Venn圖（韋恩圖）的運(yùn)用； （2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用； （3）函數(shù)圖象的應(yīng)用； （4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用； （5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。 2. 數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題常有以下幾種： (1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍； (2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍； (3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系； (4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式； (5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題； (6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題； (7)構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)； (8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等． 3．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)，要遵循三個(gè)原則： （1）等價(jià)性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系所帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)； （2）雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)； （3）簡(jiǎn)單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線為佳。 4．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個(gè)途徑： （1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解，如解析幾何； （2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解； （3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。 5.常見(jiàn)的“以形助數(shù)”的方法有： (1)借助于數(shù)軸、文氏圖，樹(shù)狀圖，單位圓； (2)借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景； (3)借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識(shí)解決問(wèn)題，如點(diǎn)，直線，斜率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對(duì)解決代數(shù)問(wèn)題都有重要作用，應(yīng)充分予以重視.。 【典型例題】 類型一、數(shù)軸、韋恩圖在集合中的應(yīng)用 【例1】設(shè)集合A={x|1＜x＜4}，集合B ={x|-2x-3≤0}, 則A∩（）=（ ） A．(1,4) B．(3,4) C．.(1,3) D．(1,2)∪（3,4） 【思路點(diǎn)撥】先求出集合B，再利用數(shù)軸畫(huà)圖求解。 【答案】B； 【解析】B ={x|-2x-3≤0}=，A∩（）={x|1＜x＜4}=。故選B. 【總結(jié)升華】不等式型集合的交、并集通常可以利用數(shù)軸進(jìn)行，解題時(shí)注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意。 舉一反三： 【變式1】設(shè)全集則（ ） A． B．　　?。茫　　?Ｄ． 【答案】B； 【解析】畫(huà)出韋恩圖，可知。 【變式2】設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D； 【解析】由可知或者，在同一坐標(biāo)系中做出平面區(qū)域如圖，由圖象可知的區(qū)域?yàn)殛幱安糠郑鶕?jù)對(duì)稱性可知，兩部分陰影面積之和為圓面積的一半，所以面積為，選D. 類型二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問(wèn)題 【例2】已知，，若的最小值記為，寫(xiě)出的表達(dá)式。 【思路點(diǎn)撥】 依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定在上的增減情況，進(jìn)而可以明確在何處取最小值。 【解析】由于， 所以拋物線的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上， ①當(dāng)，即時(shí)，在[t，t+1]上單調(diào)遞增（如圖①所示）， ∴當(dāng)x=t時(shí)，最小，即。 ②當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，在上遞增（如圖②）。 ∴當(dāng)時(shí)，最小，即。 ③當(dāng)，即時(shí)，在[t，t+1]上單調(diào)遞減（如圖③）。 ∴當(dāng)x=t+1時(shí)，最小，即， 圖① 圖② 圖③ 綜合①②③得 。 【總結(jié)升華】通過(guò)二次函數(shù)的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。應(yīng)特別注意，對(duì)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，應(yīng)抓住對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行討論解決。首先確定其對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定在閉區(qū)間上的增減情況，然后再確定在何處取最值。 舉一反三： 【變式1】已知函數(shù)在0≤x≤1時(shí)有最大值2，求a的值。 【解析】∵， ∴拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是，如圖所示： （1） （2） （3） （1）當(dāng)a＜0時(shí)，如圖（1）所示， 當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即。 ∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。 （2）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，如圖（2）所示， 當(dāng)x=a時(shí)，y有最大值，即。 ∴a2―a+1=2，解得。 ∵0≤a≤1，∴不合題意。 （3）當(dāng)a＞1時(shí)，如圖（3）所示。 當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，即?！郺=2。 綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2 【變式2】已知函數(shù)。 （Ⅰ）寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè)，求在[0，a]上的最大值。 【解析】 如圖： （1）的單調(diào)增區(qū)間：，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2） （2）當(dāng)a≤1時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)，。 例3. （2015 重慶校級(jí)模擬）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)， f（x）=， 則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零點(diǎn)之和為（　　） A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1 【思路點(diǎn)撥】函數(shù)F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為：在同一坐標(biāo)系內(nèi)y=f（x），y=a的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 作出兩函數(shù)圖象，考查交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合方程思想，及零點(diǎn)的對(duì)稱性，根據(jù)奇函數(shù)f（x）在x≥0時(shí)的解析式，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象及其對(duì)稱性，求出答案． 【答案】A 【解析】∵當(dāng)x≥0時(shí)， f（x）=； 即x∈[0，1）時(shí)，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]； x∈[1，3]時(shí)，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]； x∈（3，+∞）時(shí)，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）； 畫(huà)出x≥0時(shí)f（x）的圖象， 再利用奇函數(shù)的對(duì)稱性，畫(huà)出x＜0時(shí)f（x）的圖象，如圖所示； 則直線y=a，與y=f（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，則方程f（x）﹣a=0共有五個(gè)實(shí)根， 最左邊兩根之和為﹣6，最右邊兩根之和為6， ∵x∈（﹣1，0）時(shí)，﹣x∈（0，1）， ∴f（﹣x）=（﹣x+1）， 又f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x）， ∴中間的一個(gè)根滿足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a， 解得x=1﹣2a， ∴所有根的和為1﹣2a．故選A． 【總結(jié)升華】這類題“萬(wàn)變不離其宗”只需掌握基本初等函數(shù)的圖像及其圖像變換口訣再配合函數(shù)性質(zhì)即可輕松解決. 舉一反三： 【變式】（2016 渭南一模）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當(dāng)﹣1≤x≤0時(shí)，f（x）=﹣x2，若直線y=﹣x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（　?。? A．2k﹣（k∈Z） B．2k+（k∈Z） C．2k或2k﹣（k∈Z） D．2k或2k+（k∈Z） 【答案】D 【解析】∵f（x+2）=f（x）． ∴函數(shù)的周期是2， 若0≤x≤1，則﹣1≤﹣x≤0， 則f（﹣x）=﹣x2， ∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)， ∴f（﹣x）=﹣x2=f（x）， 即f（x）=﹣x2，0≤x≤1， 作出函數(shù)f（x）的圖象如圖： 作出直線y=﹣x+m， 在一個(gè)周期[﹣1，1]內(nèi)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣1）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)m=0， 當(dāng)直線與y=﹣x2相切時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)， 由﹣x2=﹣x+m得x2﹣x+m=0， 由判別式△=0，即1﹣4m=0， 得m=， ∵函數(shù)的周期是2k， ∴m=2k或2k+（k∈Z），故選D． 【變式2】設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ） （A）函數(shù)有極大值和極小值 （B）函數(shù)有極大值和極小值 （C）函數(shù)有極大值和極小值 （D）函數(shù)有極大值和極小值 【答案】D； 【解析】由圖象可知當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，函數(shù)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，函數(shù)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，函數(shù)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，函數(shù)遞增.所以函數(shù)有極大值，極小值,選D. 類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問(wèn)題 【例4】若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 【思路點(diǎn)撥】將方程的左右兩邊分別看作兩個(gè)函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡(jiǎn)化運(yùn)算。 【解析】畫(huà)出和的圖象， 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，即時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。 又由當(dāng)曲線與曲線相切時(shí)，二者只有一個(gè)交點(diǎn)， 設(shè)切點(diǎn)，則，即，解得切點(diǎn)， 又直線過(guò)切點(diǎn)，得， ∴當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根。 誤區(qū)警示：作圖時(shí)，圖形的相對(duì)位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯(cuò)誤。 【總結(jié)升華】 1．解決這類問(wèn)題時(shí)要準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。 2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解。 3．在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)： ①要準(zhǔn)確理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征； ②要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化； ③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏； ④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化，便于問(wèn)題求解。 舉一反三： 【變式】若關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是 。 【解析】把方程左、右兩側(cè)看作兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定方程根的個(gè)數(shù)。 設(shè)（x∈－1，1） x y=k 如圖：當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根。 【例5】若方程在內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 【思路點(diǎn)撥】將方程的左右兩邊分別看作兩個(gè)函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解。 【解析】（1）原方程可化為 設(shè) 在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖象（如圖）。由原方程在（0，3）內(nèi)有唯一解，知的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，可見(jiàn)m的取值范圍是或。 舉一反三： 【變式1】若不等式logax>sin 2x (a>0，a≠1)對(duì)任意x∈都成立，則a的取值范圍為_(kāi)___________． 【解析】記y1＝logax，y2＝sin 2x，原不等式相當(dāng)于y1>y2， 作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示， 知當(dāng)y1＝logax過(guò)點(diǎn)A時(shí)，a＝， 所以當(dāng)y2. 【變式2】若0<θ<2π，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及這兩個(gè)實(shí)根的和。 【解析】將原方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及α+β的值。 設(shè)，，在同一坐標(biāo)中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象 由圖可知，當(dāng)或時(shí)，y1與y2的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)， 即對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為. ∴. 若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為， ∴. 所以這兩個(gè)實(shí)根的和為或. 且由對(duì)稱性可知，這兩個(gè)實(shí)根的和為或。 類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答 【例6】求函數(shù)的最大值和最小值 【思路點(diǎn)撥】可變形為，故可看作是兩點(diǎn)和的連線斜率的倍，只需求出范圍即可；也可以利用三角函數(shù)的有界性，反解求解。 方法一：數(shù)形結(jié)合 可看作是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓外一點(diǎn)，如圖， 由圖可知：，顯然， 設(shè)直線的方程：， ，解得， ∴ 方法二：令 ， ， ， 【總結(jié)升華】一些代數(shù)式所表示的幾何意義往往是解題的關(guān)鍵，故要熟練掌握一些代數(shù)式的幾何意義： （1）表示動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（a，b）兩點(diǎn)間的距離； （2）表示動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（a，b）兩點(diǎn)連線的斜率； （3）求ax+by的最值，就是求直線ax+by=t在y軸上的截距的最值。 舉一反三： 【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)。 （1）求的最大、最小值； （2）求的最大、最小值； （3）求x―2y的最大、最小值。 【解析】聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫(huà)出草圖，結(jié)合圖象求解。 （1）表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的距離， 由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。 ∴|OC|=2。 的最大值為2+r=2+1=3， 的最小值為2―r=2―1=1。 （2）表示點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（1，2）兩點(diǎn)連線的斜率， 設(shè)Q（1，2），，過(guò)Q點(diǎn)作圓C的兩條切線，如圖： 將整理得kx―y+2―k=0。 ∴，解得， 所以的最大值為，最小值為。 （3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系， 當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，可求得u的范圍， 最值必在直線與圓C相切時(shí)取得。這時(shí)， ∴。 ∴x―2y的最大值為，最小值為。 【變式2】求函數(shù)的最小值。 【解析】 則y看作點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（1，1）與B（3，2）距離之和 x A(1,1) A＇(1,－1) B(3,2) y 0 P 如圖，點(diǎn)A（1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A＇（1，－1）， 則即為P到A，B距離之和的最小值，∴ 【例7】已知變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 【思路點(diǎn)撥】利用約束條件畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)可行域，尋找目標(biāo)函數(shù)幾何意義求解。 【答案】A； 【解析】做出不等式所表示的區(qū)域如圖，由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最大為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線截距最大，此時(shí)最小，由，解得，此時(shí)，所以的取值范圍是，選A. 【總結(jié)升華】線性規(guī)劃是借助平面區(qū)域表示直線、不等式等代數(shù)表達(dá)式，最終借助圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題。 舉一反三： 【變式】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則的取值范圍是（ ） A． B．或 C． D．或 【解析】如圖 x y 1 由題知方程的根，一個(gè)在（0，1）之間，一個(gè)在（1，2）之間， 則 ，即 下面利用線性規(guī)劃的知識(shí)，則可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率 a b 0 (－2,1) a+b+1=0 2a+b+3=0 則 ，選C。 BatchDoc Word文檔批量處理工具