2020版高考數(shù)學(理)一輪總復習層級快練第八章 立體幾何 作業(yè)53 含解析

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1、 題組層級快練?(五十三) 1.(2019·?廣東五校協(xié)作體診斷考試)設(shè)?m,n?是兩條不同的直線,α?,β?是兩個不同的平面,下列 命題中正確的是( ) A.若?α⊥β,m?α?,n?β?,則?m⊥n C.若?m⊥n,m?α?,n?β?,則?α⊥β B.若?m⊥α,m∥n,n∥β?,則?α⊥β D.若?α∥β,m?α?,n?β?,則?m∥n 答案 B 解析 A?項,若?α⊥β,m?α,n?β,則?m∥n?與?m,n?與異面直線均有可能,不正確;C?項,若 m⊥n,m?α,n?β,則?α,β有可能相交但不垂直,不

2、正確;D?項,若?α∥β,m?α,n?β, 則?m,n?有可能是異面直線,不正確,故選?B. b??c α β 2.設(shè)?a,?,?是三條不同的直線,?,?是兩個不同的平面,則?a⊥b?的一個充分不必要條件是( ) A.a(chǎn)⊥c,b⊥c C.a(chǎn)⊥α?,b∥α B.α⊥β,a?α?,b?β D.a(chǎn)⊥α?,b⊥α 答案 C 解析 對于?C,在平面?α?內(nèi)存在?c∥b,因為?a⊥α,所以?a⊥c,故?a⊥b;A,B?中,直線?a,b?可能 是平行直線,相交直線,也可能是異面直線;D?中一定推出?a∥b. 3.(2019·?江西南

3、昌模擬)如圖,在四面體?ABCD?中,已知?AB⊥AC,BD⊥AC,那 么?D?在平面?ABC?內(nèi)的射影?H?必在( ) A.直線?AB?上 C.直線?AC?上 B.直線?BC?上 D.△ABC?內(nèi)部 答案 A 解析 由?AB⊥AC,BD⊥AC,又?AB∩BD=B,則?AC⊥平面?ABD,而?AC?平面?ABC,則平面 ABC⊥平面?ABD,因此?D?在平面?ABC?內(nèi)的射影?H?必在平面?ABC?與平面?ABD?的交線?AB?上,故 選?A. 4.(2019·?江西臨安一中期末?)三棱柱?ABC-A1B1C1?中,側(cè)棱

4、?AA1?垂直于底面 A1B1C1,底面三角形?A1B1C1?是正三角形,E?是?BC?的中點,則下列敘述正確的是 ( ) ①CC1?與?B1E?是異面直線; ②AE?與?B1C1?是異面直線,且?AE⊥B1C1; ③AC⊥平面?ABB1A1; ④A1C1∥平面?AB1E. A.② C.①④ B.①③ D.②④ 答案 A 解析 對于①,CC1,B1E?都在平面?BB1C1C?內(nèi),故錯誤;對于②,AE,B1C1?為在兩個平行平面中 且不平行的兩條直線,底面三角形?ABC?是正三角形,E?是?BC?中點,所以?AE⊥BC,又?

5、B1C1∥BC, 故?AE⊥B1C1,故正確;對于③,上底面?ABC?是一個正三角形,不可能存在?AC⊥平面?ABB1A1, 故錯誤;對于④,A1C1?所在的平面與平面?AB1E?相交,且?A1C1?與交線有公共點,故錯誤.故選?A. 5.(2019·?福建泉州質(zhì)檢)如圖,在下列四個正方體?ABCD-A1B1C1D1?中,E,F(xiàn),G?均為所在棱的中 點,過?E,F(xiàn),G?作正方體的截面,則在各個正方體中,直線?BD1?與平面?EFG?不垂直的是( ) 答案 D 解析 如圖,在正方體中,E,F(xiàn),G,M,N,Q?均為所在棱的中點,且六點

6、 共面,直線?BD1?與平面?EFMNQG?垂直,并且?A?項,B,C?中的平面與這個平 面重合,滿足題意.對于?D?項中圖形,由于?E,F(xiàn)?為?AB,A1B1?的中點,所以 EF∥BB1,故∠B1BD1?為異面直線?EF?與?BD1?所成的角,且?tan∠B1BD1=?2, 即∠B1BD1?不為直角,故?BD1?與平面?EFG?不垂直,故選?D. 6.(2019·?保定模擬)如圖,在正四面體?P-ABC?中,D,E,F(xiàn)?分別是?AB,BC, CA?的中點,下面四個結(jié)論不成立的是( ) A.BC∥平面?PDF B.DF⊥平面?PAE C.平面?PDF⊥平面?P

7、AE D.平面?PDE⊥平面?ABC 答案 D 解析 因?BC∥DF,DF?平面?PDF,BC?平面?PDF,所以?BC∥平面?PDF,A?成立;易證?BC⊥平 面?PAE,BC∥DF,所以結(jié)論?B,C?均成立;點?P?在底面?ABC?內(nèi)的射影為△ABC?的中心,不在中 位線?DE?上,故結(jié)論?D?不成立. 7.已知直線?PA?垂直于以?AB?為直徑的圓所在的平面,C?為圓上異于?A,B?的任一點,則下列關(guān)系中 不正確的是( ) A.PA⊥BC C.AC⊥PB B.BC⊥平面?PAC D

8、.PC⊥BC 答案 C 解析 AB?為直徑,C?為圓上異于?A,B?的一點,所以?AC⊥BC.因為?PA⊥平面?ABC,所以?PA⊥BC. 因為?PA∩AC=A,所以?BC⊥平面?PAC,從而?PC⊥BC.故選?C. , E 8.如圖,在三棱錐?D-ABC?中,若?AB=CB?AD=CD,?是?AC?的中點,則下列命題中正確的是( ) A.平面?ABC⊥平面?ABD B.平面?ABD⊥平面?BCD C.平面?ABC⊥平面?BDE,且平面?ACD⊥平面?BDE D.平面?ABC⊥平面?ACD,且

9、平面?ACD⊥平面?BDE 答案 C 解析 因為?AB=CB,且?E?是?AC?的中點,所以?BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于?DE∩BE=E,于 是?AC⊥平面?BDE.因為?AC?平面?ABC,所以平面?ABC⊥平面?BDE.又?AC?平面?ACD,所以平面 ACD⊥平面?BDE.故選?C. 9.(2019·?滄州七校聯(lián)考)如圖所示,已知六棱錐?P-ABCDEF?的底面是正六邊形,PA⊥平面?ABC. 則下列結(jié)論不正確的是( ) A.CD∥平面?PAF C.CF∥平面?PAB B.DF⊥平面?

10、PAF D.CF⊥平面?PAD 答案 D B 解析 A?中,∵CD∥AF,AF?面?PAF,CD?面?PAF,∴CD∥平面?PAF?成立;?中,∵六邊形?ABCDEF 為正六邊形,∴DF⊥AF.又∵PA⊥面?ABCDEF,∴DF⊥平面?PAF?成立;C?中,CF∥AB,AB?平 面?PAB,CF?平面?PAB,∴CF∥平面?PAB;而?D?中?CF?與?AD?不垂直,故選?D. D 10.(2019·?重慶秀山高級中學期中)如圖,點?E?為矩形?ABCD?邊?CD?上異于點?C,?的動點,將△ADE 沿?AE?翻折成△SAE,使得平面?SA

11、E⊥平面?ABCE,則下列說法中正確的有( ) ①存在點?E?使得直線?SA⊥平面?SBC;②平面?SBC?內(nèi)存在直線與?SA?平行;③平面?ABCE?內(nèi)存在直 線與平面?SAE?平行;④存在點?E?使得?SE⊥BA. A.1?個 C.3?個 B.2?個 D.4?個 答案 A 解析 ①若直線?SA⊥平面?SBC,則?SA⊥SC,又?SA⊥SE,SE∩SC=S,∴SA⊥平面?SEC,又平 面?SEC∩平面?SBC=SC,∴點?S,E,B,C?共面,與已知矛盾,故①錯誤;②∵平面?SBC∩直線

12、 SA=S,故平面?SBC?內(nèi)的直線與?SA?相交或異面,故②錯誤;③在平面?ABCD?內(nèi)作?CF∥AE,交 AB?于點?F,由線面平行的判定定理,可得?CF∥平面?SAE,故③正確;④若?SE⊥BA,過點?S?作 SF⊥AE?于點?F,∵平面?SAE⊥平面?ABCE,平面?SAE∩平面?ABCE=AE,∴SF⊥平面?ABCE,∴ SF⊥AB,又?SF∩SE=S,∴AB⊥平面?SEC,∴AB⊥AE,與∠BAE?是銳角矛盾,故④錯誤. 11.(2019·?泉州模擬)點?P?在正方體?ABCD-A1B1C1D1?的面對角線?BC1?上運動,給出下列命題:

13、 3 =OD=1,故?O?為所求外接球的球心,故半徑?r=1,體積?V=??πr3=??π. 答案??? 2 ①三棱錐?A-D1PC?的體積不變; ②A1P∥平面?ACD1; ③DB⊥BC1; ④平面?PDB1⊥平面?ACD1. 其中正確的命題序號是________. 答案 ①②④ 解析 對于①,VA-D1PC=VP-AD1C?點?P?到面?AD1C?的距離,即為線?BC1?與面?AD1C?的距離, 為定值故①正確,對于②,因為面?A1C1B∥面?AD1C,所以線?A1P∥面?AD1C,故②正確,對于③, DB?與?BC1?成?60°角,

14、故③錯.對于④,由于?B1D⊥面?ACD1,所以面?B1DP⊥面?ACD1,故④正確. 12.(2019·?山西太原一模)已知在直角梯形?ABCD?中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2, 將直角梯形?ABCD?沿?AC?折疊成三棱錐?D-ABC,當三棱錐?D-ABC?的體積取最大值時,其外接 球的體積為________. 4 答案 π 解析 當平面?DAC⊥平面?ABC?時,三棱錐?D-ABC?的體積取最大值.此時易知?BC⊥平面?DAC, ∴BC⊥AD,又?AD⊥DC,∴AD⊥平面?BCD,∴AD⊥BD,取?AB?的中點?O,易得?OA=OB

15、=OC 4 4 3 3 13.(2019·?遼寧大連雙基測試)如圖所示,∠ACB=90°,DA⊥平面?ABC,AE⊥DB 交?DB?于?E,AF⊥DC?交?DC?于?F,且?AD=AB=2,則三棱錐?D-AEF?體積的最 大值為________. 6 解析 因為?DA⊥平面?ABC,所以?DA⊥BC,又?BC⊥AC,DA∩AC=A,所以?BC⊥平面?ADC, 所以?BC⊥AF,又?AF⊥CD,BC∩CD=C,所以?AF⊥平面?DCB,所以?AF⊥EF,AF⊥DB,又?DB⊥AE, AE∩AF=A,所以?DB⊥平面?AEF,所以?DE?為三棱

16、錐?D-AEF?的高.因為?AE?為等腰直角三角形 ABD?斜邊上的高,所以?AE=???2,設(shè)?AF=a,F(xiàn)E=b,則△AEF?的面積?S=??ab≤??·???? =??×??= ,所以三棱錐?D-AEF?的體積?V≤??×??×???2=?? (當且僅當?a=b=1?時等號成立). 1 1?a2+b2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 3 2 6 14.如圖所示,在四棱錐?P-ABCD?中,PA⊥底面?ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E?是?PC?的中點,求證: (1)CD⊥AE; (2)P

17、D⊥平面?ABE. 答案 (1)略 (2)略 證明 (1)∵PA⊥底面?ABCD, ∴CD⊥PA. 又?CD⊥AC,PA∩AC=A, 故?CD⊥平面?PAC,AE 平面?PAC. 故?CD⊥AE. (2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60°,故?PA=AC. ∵E?是?PC?的中點,故?AE⊥PC. 由(1)知?CD⊥AE,由于?PC∩CD=C, 從而?AE⊥平面?PCD,故?AE⊥PD. 易知?BA⊥PD,故?PD⊥平面?ABE. 15.(2019·?安徽馬鞍山一模)如圖①,在直角梯形?ABCD?中,AB⊥BC,BC∥A

18、D,AD=2AB=4, BC=3,E?為?AD?的中點,EF⊥BC,垂足為?F.沿?EF?將四邊形?ABFE?折起,連接?AD,AC,BC, 得到如圖②所示的六面體?ABCDEF.若折起后?AB?的中點?M?到點?D?的距離為?3. 答案?? (1)略? (2) (1)求證:平面?ABFE⊥平面?CDEF; (2)求六面體?ABCDEF?的體積. 8 3 解析 (1)如圖,取?EF?的中點?N,連接?MN,DN,MD. 根據(jù)題意可知,四邊形?ABFE

19、?是邊長為?2?的正方形, 又∵DC∥AB,DC=??AB, ∴MN⊥EF. 由題意,得?DN=?DE2+EN2=?5,MD=3, ∴MN2+DN2=22+(?5)2=9=MD2, ∴MN⊥DN,∵EF∩DN=N,∴MN⊥平面?CDEF. 又?MN?平面?ABFE,∴平面?ABFE⊥平面?CDEF. (2)連接?CE,則?V?六面體?ABCDEF=V?四棱錐?C-ABFE+V?三棱錐?A-CDE. 由(1)的結(jié)論及?CF⊥EF,AE⊥EF,得 CF⊥平面?ABFE,AE⊥平面?CDEF, 1 4 ∴V?四棱錐?C-ABFE=3·S?正方形?

20、ABFE·CF=3, 1 4 V?三棱錐?A-CDE=3·S△CDE·AE=3, 4 4 8 ∴V?六面體?ABCDEF=3+3=3. 16.(2019·?濰坊質(zhì)檢)直四棱柱?ABCD-A1B1C1D1?中,底面?ABCD?是直角梯形, ∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2. (1)求證:AC⊥平面?BB1C1C; (2)在?A1B1?上是否存在一點?P,使得?DP?與平面?BCB1?和平面?ACB1?都平行?證明你的結(jié)論. 答案 (1)略 (2)P?為?A1B1?的中點時,DP?與平面?BCB1?和平面?ACB1?都平行. 解析 (1

21、)∵直四棱柱?ABCD-A1B1C1D1?中,BB1⊥平面?ABCD,∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2, ∴AC=?2,∠CAB=45°. ∴BC=?2.∵BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC. 又?BB1∩BC=B,BB1?平面?BB1C1C, BC?平面?BB1C1C,∴AC⊥平面?BB1C1C. (2)存在點?P,P?為?A1B1?的中點. 1 由?P?為?A1B1?的中點,有?PB1∥AB,且?PB1=2AB. 1 2 ∴DC∥PB1,且?DC=PB1. ∴四邊形?DCB1P?為平行四邊形,從而?CB1∥DP. 又?CB1?平面?ACB1,DP?平面?ACB1, ∴DP∥平面?ACB1.同理,DP∥平面?BCB1.

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