《數(shù)學(xué)物理方法》課程七.ppt

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主講教師:冉揚(yáng)強(qiáng),,,,,,數(shù)學(xué)物理方法,課程七,第五章殘數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)殘數(shù)第二節(jié)利用殘數(shù)計(jì)算實(shí)積分,主要內(nèi)容(1)、殘數(shù)的概念及殘數(shù)定理(2)、求殘數(shù)的方法(3)、利用殘數(shù)定理求復(fù)變積分(4)、利用殘數(shù)定理求某些實(shí)變積分,重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):殘數(shù)定理及殘數(shù)的求法；利用殘數(shù)定理計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分和實(shí)變函數(shù)積分難點(diǎn):殘數(shù)的求法；殘數(shù)定理計(jì)算實(shí)變積分的方法,第五章殘數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)殘數(shù)一、殘數(shù)的定義及殘數(shù)定理1、定義哥西定理告訴我們，如被積函數(shù)在圍線c所圍閉區(qū)域上解析，則積分，但如果在該區(qū)域上有奇點(diǎn)a(孤立奇點(diǎn))，則積分一般說來不再為0.如：，這里為函數(shù)的一階極點(diǎn).設(shè)a為的孤立奇點(diǎn)，在以a為心，半徑為R的無心鄰,,,,,,,,域，即在內(nèi)把展成羅朗級數(shù)：羅朗級數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)就這樣具有特別重要的地位，稱它為在a的殘數(shù),,,,,,,,,,,,,,(或余數(shù)或留數(shù))，記著或這樣：2、殘數(shù)(留數(shù))定理設(shè)在圍線c所包圍的區(qū)域D上除點(diǎn)外解析，并且在c上每點(diǎn)也解析，則二、殘數(shù)的求法1、設(shè)a為的n階極點(diǎn)，則,,,,,,,2、當(dāng)a為的一階極點(diǎn)，則3、設(shè),,在點(diǎn)a解析,且，而a為的一階0點(diǎn)(即)，則,,,,,,,,,,,例1.求在的殘數(shù)解：例2.計(jì)算解:，是的,,,,,,,,,,,,三階極點(diǎn),故例3.計(jì)算解:在單位圓周內(nèi),以z=0為孤立奇點(diǎn).則:,,,,,,,,,,,,,,,三、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某無心鄰域內(nèi)解析，則稱點(diǎn)為的孤立奇點(diǎn).,,,,,,,,,,,,定義：設(shè)為的一個孤立奇點(diǎn)，則稱：為在點(diǎn)的殘數(shù)，記為是指沿c的反方向（順時針方向），這正是點(diǎn)的正方向.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù)等于在的羅朗展式中的系數(shù)的反號。定理：如果在閉平面上只有有限個孤立奇點(diǎn)(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi))則在各點(diǎn)的殘數(shù)的總和為0.,,,,,,,,,,,,例５.計(jì)算積分：解：求被積函數(shù)的奇點(diǎn)，令或得當(dāng)時，解析，故無窮遠(yuǎn)處也是其奇點(diǎn)，所以,,,,,,,,,,,,,第二節(jié)利用殘數(shù)計(jì)算實(shí)積分把實(shí)變積分聯(lián)系于復(fù)變回路積分的要點(diǎn)如下：定積分的積分區(qū)間可以看作是復(fù)數(shù)平面上的實(shí)軸上的一段，于是，或者利用自變數(shù)的變換把變成某個新的復(fù)數(shù)平面上的回路，這樣就可以應(yīng)用留數(shù)定理了；或者另外補(bǔ)上一段曲線，使和合成回路l,l包圍著,,,,,,,,,,,,區(qū)域B，這樣一、計(jì)算(類型１)被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式.作變量代換：,,,,,,,,,,例1、計(jì)算積分解：,,,,,,,,的模為：在單位圓內(nèi)，而單極點(diǎn)的模為:在單位圓外。,,,,,,,,,,,二、計(jì)算1、引理：設(shè)沿圓弧(R充分大，)上連續(xù)，且在上一致成立，則,,,,,,,,,,,,特別地，當(dāng)則：2、(類型2)若(1)在實(shí)軸上沒奇點(diǎn);(2)在上半平面除有限個奇點(diǎn)外是解析的;(3)當(dāng)在實(shí)軸上或上半平面時：一致地，則：,,,,,,,例11設(shè)，計(jì)算解：在上半平面的奇點(diǎn)為：,,,,,,,,,,,3、(類型３)計(jì)算條件：(i).為偶函數(shù)，為奇函數(shù)(ii).,在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面除有限個奇點(diǎn)外是解析的。,,,,,,,,,,(iii).當(dāng)在上半平面或?qū)嵼S上時，和一致地，則例13計(jì)算積分解：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,