《數(shù)學(xué)物理方法》課程七.ppt

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主講教師:冉揚強,,,,,,數(shù)學(xué)物理方法,課程七,第五章殘數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)殘數(shù)第二節(jié)利用殘數(shù)計算實積分,主要內(nèi)容(1)、殘數(shù)的概念及殘數(shù)定理(2)、求殘數(shù)的方法(3)、利用殘數(shù)定理求復(fù)變積分(4)、利用殘數(shù)定理求某些實變積分,重點和難點重點:殘數(shù)定理及殘數(shù)的求法；利用殘數(shù)定理計算復(fù)變函數(shù)積分和實變函數(shù)積分難點:殘數(shù)的求法；殘數(shù)定理計算實變積分的方法,第五章殘數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)殘數(shù)一、殘數(shù)的定義及殘數(shù)定理1、定義哥西定理告訴我們，如被積函數(shù)在圍線c所圍閉區(qū)域上解析，則積分，但如果在該區(qū)域上有奇點a(孤立奇點)，則積分一般說來不再為0.如：，這里為函數(shù)的一階極點.設(shè)a為的孤立奇點，在以a為心，半徑為R的無心鄰,,,,,,,,域，即在內(nèi)把展成羅朗級數(shù)：羅朗級數(shù)的項的系數(shù)就這樣具有特別重要的地位，稱它為在a的殘數(shù),,,,,,,,,,,,,,(或余數(shù)或留數(shù))，記著或這樣：2、殘數(shù)(留數(shù))定理設(shè)在圍線c所包圍的區(qū)域D上除點外解析，并且在c上每點也解析，則二、殘數(shù)的求法1、設(shè)a為的n階極點，則,,,,,,,2、當a為的一階極點，則3、設(shè),,在點a解析,且，而a為的一階0點(即)，則,,,,,,,,,,,例1.求在的殘數(shù)解：例2.計算解:，是的,,,,,,,,,,,,三階極點,故例3.計算解:在單位圓周內(nèi),以z=0為孤立奇點.則:,,,,,,,,,,,,,,,三、無窮遠點的殘數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點的某無心鄰域內(nèi)解析，則稱點為的孤立奇點.,,,,,,,,,,,,定義：設(shè)為的一個孤立奇點，則稱：為在點的殘數(shù)，記為是指沿c的反方向（順時針方向），這正是點的正方向.無窮遠點的殘數(shù)等于在的羅朗展式中的系數(shù)的反號。定理：如果在閉平面上只有有限個孤立奇點(包括無窮遠點在內(nèi))則在各點的殘數(shù)的總和為0.,,,,,,,,,,,,例５.計算積分：解：求被積函數(shù)的奇點，令或得當時，解析，故無窮遠處也是其奇點，所以,,,,,,,,,,,,,第二節(jié)利用殘數(shù)計算實積分把實變積分聯(lián)系于復(fù)變回路積分的要點如下：定積分的積分區(qū)間可以看作是復(fù)數(shù)平面上的實軸上的一段，于是，或者利用自變數(shù)的變換把變成某個新的復(fù)數(shù)平面上的回路，這樣就可以應(yīng)用留數(shù)定理了；或者另外補上一段曲線，使和合成回路l,l包圍著,,,,,,,,,,,,區(qū)域B，這樣一、計算(類型１)被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式.作變量代換：,,,,,,,,,,例1、計算積分解：,,,,,,,,的模為：在單位圓內(nèi)，而單極點的模為:在單位圓外。,,,,,,,,,,,二、計算1、引理：設(shè)沿圓弧(R充分大，)上連續(xù)，且在上一致成立，則,,,,,,,,,,,,特別地，當則：2、(類型2)若(1)在實軸上沒奇點;(2)在上半平面除有限個奇點外是解析的;(3)當在實軸上或上半平面時：一致地，則：,,,,,,,例11設(shè)，計算解：在上半平面的奇點為：,,,,,,,,,,,3、(類型３)計算條件：(i).為偶函數(shù)，為奇函數(shù)(ii).,在實軸上沒有奇點，在上半平面除有限個奇點外是解析的。,,,,,,,,,,(iii).當在上半平面或?qū)嵼S上時，和一致地，則例13計算積分解：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,