混沌的本質(zhì)特征與混沌概念的界定.doc

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1、混沌的本質(zhì)特征與混沌概念的界定 張本祥 孫博文 混沌理論是非線性科學(xué)的核心部分，它的理論及應(yīng)用價值很大，但是迄今為止，對混沌概念還沒有公認(rèn)的嚴(yán)格的定義，我們認(rèn)為，對混沌概念的界定應(yīng)從混沌現(xiàn)象的本質(zhì)特征入手，從數(shù)學(xué)和物理兩個層次上考察，才有可能得出正確的完整的結(jié)論，本文將從運動學(xué)角度討論混沌的本質(zhì)特征——有界、非周期和敏感初條件，并籍此嘗試對混沌概念的界定。 一、從混沌的Li—Yorke定義看數(shù)學(xué)混沌的本質(zhì)特征 現(xiàn)代科學(xué)意義上的混沌是個難以精確定義的概念，不同領(lǐng)域的科學(xué)家往往對其做出不同的定義。1975年李天巖(Tianyan—Li

2、)和約克(Yorke)給出了混沌的一個數(shù)學(xué)定義，這也是第一次賦予混沌這個詞以嚴(yán)格的科學(xué)意義，混沌的李—約克定義如下： 設(shè)連續(xù)自映射f： ，I是R中的一個閉區(qū)間，如果存在不可數(shù)集合S I滿足 (1)S不包含周期點。 (2)任給X1，X2 S (Xl X2)有 ＞0 ＝0 這里 ，表示t重函數(shù)關(guān)系。 （3）任給X1 S及f的任意周期點P I有 ＞0 則稱f在s上是混沌的[1]。 由李—約克的定義可見，他們是用三個方面的本質(zhì)特征來對混沌進行刻劃的： (一)非周期 在李—約克對混沌映射的定義中，稱f在S上是混沌的，

3、所依據(jù)的三個條件中的兩條是對非周期的刻劃：第(1)條表明混沌軌道排除了所有階的周期點，第(3)條意味著混沌軌道與任意的周期軌道都不具有漸近關(guān)系，而是原則上可區(qū)分的。它們實際上是從周期性角度對非周期性進行的刻劃。我們可以這樣來理解混沌軌道的非周期性：如果我們在無限精確的數(shù)學(xué)層次上跟蹤一條混沌軌道，我們經(jīng)歷的相點永遠(yuǎn)沒有重復(fù)的，而且整條混沌軌道雖然在任意有限長的一段可能與某條周期軌道無限接近，但是無限長的整條混沌軌道將與其產(chǎn)生有限大小的偏離，即在t→∞時，任意的混沌軌道與任意的周期軌道必然具有距離有限(非無限小)的相點。這樣當(dāng)我們要確定某個混沌軌道上的相點時，只能跟蹤軌道的全過程，而不可能利用任何

4、具周期意義的、有可壓縮性質(zhì)的所謂規(guī)律來準(zhǔn)確預(yù)測。 (二)敏感初條件 李—約克定義中的第(2)條實際上就是對混沌軌道所具有的“敏感初條件”的描述，即距離的下確界為0的無限接近的兩條軌道，其上確界卻是有限的，大于0的，由符號動力學(xué)對一維拋物線滿映射的刻劃，[2]我們也可以看到，分別代表兩條混沌軌道的兩個無限接近的符號序列，即兩個無限精確條件下才可區(qū)分的無理數(shù)，意味著在無限次迭代后，最后會有宏觀層次上(對主體而言)的可區(qū)分的差別：L(左)、C(中)、R(右)，相點的L、C、R是在有限精確條件下，對主體來說的可區(qū)分性。就是說，在1／2n的分辨率下，差值大于1／2n的兩個初值，經(jīng)

5、n次迭代后，其符號序列中至少會有一個符號不同，進一步地，李—約克的定義也表明混沌軌道中的相點與無理數(shù)對應(yīng)，無理數(shù)的最后(實際上不存在最后)數(shù)字不同，就是不同的數(shù)，但這兩個“最后”數(shù)字不同的無理數(shù)代表了無限精確的情況，反映的是個無限過程，在這個無限過程下，數(shù)學(xué)上的混沌具有對初始條件的敏感依賴性。 (三)有界 在李—約克定義中，“有界”(即有確定的邊界)是作為定義的前提條件出現(xiàn)的，它設(shè)定了f是從I到 (I R)的映射，而I是R中的一個閉區(qū)間，這表明f把I映射回I，所有的相點不能超越I的確定邊界，這個“有界”的前提條件的設(shè)定是必要的，如果沒有這個限制條件，就不能保證系統(tǒng)是混沌的，例如

6、：映射f：Xn+1＝f(Xn)＝Xn2，當(dāng)X1＞1時，f會很快使Xn超越I的邊界而趨于∞，這時Xn的整個序列或說軌道X1，X2，…Xn，…X∞顯然仍具有非周期、敏感初條件等混沌的本質(zhì)特征，但是它的演化過程是發(fā)散的，不會形成混沌吸引子?？梢?，“有界”是混沌的不可或缺的必要條件和本質(zhì)特征之一。 二、有限性條件下物理混沌的本質(zhì)特征 從李—約克給出的混沌的數(shù)學(xué)定義可見，其(2)(3)條都是在t→∞情況下的結(jié)論，也就是說，數(shù)學(xué)混沌是與無窮過程相聯(lián)系的，這意味著不僅映射的次數(shù)t是無限的，而且相點的值的精確度也可以是無限的。然而我們知道，現(xiàn)實世界是有限的，有限性及其結(jié)果蘊含

7、于一切事物之中，在相應(yīng)的方面規(guī)定著一切事物的性質(zhì)。[3]在真實的物理世界中，不僅映射的次數(shù)t是有限的，而且相點的值的精確度也是有限的。那么，李—約克的數(shù)學(xué)混沌所具有的三個本質(zhì)特征，是否仍是有限性制約下的物理混沌的本質(zhì)特征呢?或者說，有限的現(xiàn)實系統(tǒng)的混沌是否仍具有這三個本質(zhì)特征呢?下面我們就分別來討論。 (一)有界 從物理上說，一般地我們所研究的和能研究的都是本質(zhì)上的回歸行為，其現(xiàn)實的測度空間總有確定的邊界，而無界的本質(zhì)上的非回歸行為則沒有一般意義，也就是說，任何一個現(xiàn)實系統(tǒng)的狀 態(tài)變量的值不可能是絕對的無窮大，只能是局限于確定范圍內(nèi)的有限值，因而是有界的。

8、再者，雖然混沌現(xiàn)象的主要特征是它的不穩(wěn)定性方面，但是它也有穩(wěn)定性的一方面，實際上混沌是局部不穩(wěn)定與整體穩(wěn)定這一對矛盾的統(tǒng)一體，它的整體穩(wěn)定性是混沌現(xiàn)象的一個重要方面，是混沌系統(tǒng)所具有的穩(wěn)定機制的反映。還以拋物線滿映射為例，它實際上就相當(dāng)于特定的拉伸與折疊變換(拉伸一倍，再對折)，其中拉伸操作使系統(tǒng)敏感初條件，導(dǎo)致了混沌行為的不穩(wěn)定方面，而折疊操作卻使系統(tǒng)的取值空間減小一半，把相點始終限制于最初的映射區(qū)間內(nèi)，它導(dǎo)致了混沌的穩(wěn)定性方面。可見，具回歸行為的現(xiàn)實物理系統(tǒng)的穩(wěn)定機制及表觀上的整體穩(wěn)定性就是物理上的“有界”，“有界”也是物理混沌的一個本質(zhì)特征。 (二)非周期 在精確

9、度有限、映射次數(shù)(也即軌道長度)有限的現(xiàn)實情況下，非零的有限的精確度雖然可能平滑掉混沌軌道中相點的相應(yīng)的有限大小的差別，從而在一定程度上“抑制”了混沌軌道的非周期性，即任何有限長的一條軌道都可以用某種周期軌道來擬合，但是同一條軌道只要它延伸到足夠長(不是無限長)，它與用以擬合它的任意的周期軌道仍將產(chǎn)生足夠的偏離，使兩者成為可區(qū)分的。就是說，在有限精確條件下混沌軌道仍具有非周期性，仍意味著不重復(fù)、不可壓縮和無規(guī)律可循。如果要以有限長的混沌軌道為條件來預(yù)測任意相點的位置，即依據(jù)有周期意義的、有可壓縮性質(zhì)(能以有限反映無限)的規(guī)律來預(yù)測未來，則只能是不確定的即概率性的(條件概率小于1)，而不可能是確

10、定的、非概率性的。 (三)敏感初條件 如上文所述，數(shù)學(xué)混沌敏感初條件表現(xiàn)為在t→∞條件下，間距的下確界為0的兩條軌道，其上確界大于0。而在物理上，初始條件原則上的不精確性，加之混沌系統(tǒng)的非線性不穩(wěn)定機制的作用，使初值的不精確性被迅速放大成為宏觀層次的不確定性，這就是物理混沌的敏感初條件的特征。 1．精確度有限的初始條件 初始條件是初始時刻系統(tǒng)的狀態(tài)，雖然任何物理對象都有其自然的初始條件，但是人們所知道的初始條件原則上只能通過本質(zhì)上的測量過程獲得。由于反映著主體獲得的客體的信息的初始條件本質(zhì)上具有這種測量性質(zhì)，所以在以下幾種情況下，任何現(xiàn)實系統(tǒng)的初

11、始條件都不可能絕對精確，即初始條件有對主體而言的處于簡并狀態(tài)的不可區(qū)分的精細(xì)結(jié)構(gòu)。 (1)物理對象固有的廣延性導(dǎo)致的不精確性。物質(zhì)的存在都有一定的局域性，都要占據(jù)一定的空間、時間、能量等范圍，所以事物在其測度空間中將有非0體積，如原子能級都有一定的非0寬度。 (2)測量過程直接導(dǎo)致的不精確性。因為“測量”本質(zhì)上是主客體(測量者與被測系統(tǒng))間的一種相互作用，這種相互作用必須通過測量工具來進行，所以測量結(jié)果的精確度不可能高于測量工具的精確度。雖然可以通過提高測量工具的精確性來提高測量結(jié)果的精確性，但是原則上這種不精確性是不可能根本消除的，它是永遠(yuǎn)伴隨測量過程而存在的。[4]

12、 (3)模糊性導(dǎo)致的不精確性。模糊性是模糊集合論中的一個基本概念，主要是指客觀事物的差異在中介過渡時所呈現(xiàn)的“亦此亦彼”性，模糊性的存在是客觀的、普遍的。[5]系統(tǒng)的模糊性導(dǎo)致分辯率降低，進而使精確的相軌道描述成為不可能的或不必要的。 (4)信息的不完全性導(dǎo)致的不精確性。為獲得初始條件所進行的測量總是有一定成本的，在考慮成本的情況下，就會有信息的不完全性。因為任何相互作用都是有成本的，只有成本不受限制的時候，我們才會在所有情況下獲得完全的信息，但是現(xiàn)實中對初始條件的測量，測量主體愿意付出和所能付出的成本都是有限的。所以在某些情況下，我們不可能獲得完全的信息，而只能獲得有

13、限成本條件下的不完全的信息，不完全的信息將直接導(dǎo)致不精確性。 2．敏感初條件的意義 從穩(wěn)定性角度考慮，混沌軌道是局部不穩(wěn)定的，“敏感初條件”就是對混沌軌道的這種不穩(wěn)定性的描述。我們知道系統(tǒng)的具體動力學(xué)行為由“動力學(xué)方程+邊界條件”給出，[6]其中，動力學(xué)方程 (這里指確定性的非線性系統(tǒng))反映著該類系統(tǒng)的運動規(guī)律，邊界條件代表著系統(tǒng)所處的具體環(huán)境，包括時間上的初始條件和空間上的邊界條件。如果廣義地把邊界理解為初始時刻系統(tǒng)的狀態(tài)，那么系統(tǒng)的動力學(xué)描述就成為：“動力學(xué)方程+初始條件”，從而可以說，任何系統(tǒng)的具體行為都是由其動力學(xué)方程和初始條件共同決定的，初始條件是個不可或缺的

14、因素，但不是唯一的因素，它要和動力學(xué)方程一起才能完全描述系統(tǒng)的動力學(xué)行為。 初始條件的不精確性在具有指數(shù)放大作用的動力學(xué)方程即非線性機制的作用下，只需經(jīng)歷一個有限過程(而不是無限過程)，就可被放大成宏觀層次上的(對主體來說有意義的)不確定性，這就是物理混沌所具有的本質(zhì)特征之一——敏感初條件的意義。 三、混沌概念的界定 我們認(rèn)為對任何一個科學(xué)概念的界定，都應(yīng)該是有主體、有原則、有本質(zhì)特征的，三個要素缺一不可，所以在首先討論了混沌的本質(zhì)特征后，這里將討論混沌的主體和界定混沌概念的原則，最后給出對混沌概念的界定。 (一)混沌行為的主體 有界、非周

15、期、敏感初條件是混沌行為或狀態(tài)所具有的本質(zhì)特征，那么是不是一切具有這些特征的行為或狀態(tài)都可看作是混沌呢?即混沌行為的主體是什么呢?我們認(rèn)為，應(yīng)把混沌行為的主體限定為“確定性的非線性系統(tǒng)”，因為：一方面，在嚴(yán)格的科學(xué)意義上被仔細(xì)研究過的混沌系統(tǒng)都是確定性的非線性系統(tǒng)，另一方面，把那些機理不清的復(fù)雜行為當(dāng)做混沌來處理是不嚴(yán)格和不充分的。 1．確定性。是指具有因果關(guān)系的完全決定論的情況，用概率論的語言講，就是當(dāng)事件A與事件B存在著因果關(guān)系時，在事件B出現(xiàn)的條件下，A一定出現(xiàn)，條件概率P(A／B)=1。[7] 2．非線性。是相對于線性而言的，它可以從兩個方面來表述，其一是疊加原理不成立

16、，其二是物理變量間的函數(shù)關(guān)系不是直線，函數(shù)的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方[8]，非線性是動力系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的必要條件。 3．確定性的非線性系統(tǒng)。顧名思義，是指具有確定的非線性機制的系統(tǒng)，在物理上它有一定的不變的非線性物理機制，在數(shù)學(xué)上可以表示成一定的非線性數(shù)學(xué)模型(如非線性微分方程、非線性映射關(guān)系等)。任何一個系統(tǒng)抽象為數(shù)學(xué)模型后，它主要包括三類要素：控制參量、狀態(tài)變量和控制參量與狀態(tài)變量間的關(guān)系即機制，我們所認(rèn)為的確定性系統(tǒng)是指這三類要素都明確的系統(tǒng)，即由確定的數(shù)學(xué)方程描述的，其中沒有未知的、不確定的機制和隨機項的系統(tǒng)?；煦缋碚摳嬖V我們，在沒有噪聲和外界擾動情況下，確

17、定性的非線性系統(tǒng)只有三種非過渡性的穩(wěn)態(tài)行為，即穩(wěn)定的周期行為、不穩(wěn)定的周期行為、非周期行為，這第三種行為就是我們討論的混沌行為。 (二)界定混沌概念的原則 由于混沌理論還有一些重要的基本問題沒有解決，同時不同領(lǐng)域的研究者從各自角度依各自的需要進行定義，所以至今對混沌還沒有一個嚴(yán)格的、普適的定義，在眾多的對混沌的描述中，有的嚴(yán)格一些，有的寬泛一些，但可以說都是不完備的、有缺陷的，并且有些定義之間是相互矛盾的。為了擺脫“混沌概念的概念混沌”狀態(tài)，使人們對混沌的本質(zhì)特征有一個明晰化的統(tǒng)一的認(rèn)識，我們認(rèn)為對混沌概念的界定，無論是動力機制上的刻劃，還是運動學(xué)上的描述，都應(yīng)遵循這樣

18、兩個原則： 1. 對混沌概念的界定，要抓住混沌的本質(zhì)的、深層次的特征，而不能采用非本質(zhì)的、表面的特征，被選擇的本質(zhì)特征應(yīng)是其它非本質(zhì)特征的基礎(chǔ)和前提而不是相反。例如：隨機性、不可長期預(yù)測性和敏感初條件都是混沌的特征，但是其中敏感初條件是本質(zhì)的、深層次的特征，隨機性和不可長期預(yù)測性只是敏感初條件的結(jié)果，所以前者不能作為本質(zhì)特征被用來界定混沌概念。 2．物理刻劃與數(shù)學(xué)定義相對應(yīng)，即在有限性條件下和在無限性條件下的表述應(yīng)是統(tǒng)一的，或說是理論(本體論上的客觀混沌)與觀測(認(rèn)識論上的主觀混沌)應(yīng)是相對應(yīng)的。一方面，只在數(shù)學(xué)上定義混沌，如李—約克的定義，雖然有數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性和確定性

19、，但是由于混沌軌道中的相點是無理點，且迄今為止未能證明在整個參量空間中對應(yīng)混沌映射的參量值的總測度大于0[9]，所以不能保證這種純混沌的可觀測性。而且，由于實際觀測數(shù)據(jù)無法作到t→∞，所以也不能從有限的實際觀測數(shù)據(jù)中判斷系統(tǒng)是否是李—約克混沌。另一方面，只在物理上用可觀測的特征來定義混沌，而沒有嚴(yán)格的對應(yīng)的數(shù)字描述，則不能保證其定義的普適性、深刻性和嚴(yán)格性，因而，在一定程度上喪失了作為定義應(yīng)有的性質(zhì)。總之，我們認(rèn)為用以界定混沌的本質(zhì)特征，應(yīng)是既有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述，又是可觀測的，在理論上和觀測上都應(yīng)是有意義的，并且兩者是統(tǒng)一的、對應(yīng)的。 (三)對混沌概念的界定 綜上所述，我

20、們看到對于確定性非線性系統(tǒng)來說，無論是與無限過程相聯(lián)系的數(shù)學(xué)混沌，還是在有限性條件下的物理混沌，都具有“有界”、“非周期”和“敏感初條件”三個本質(zhì)特征，在此兩種情況下，這些特征的意義雖然不完全相同，但是它們之間有確定的對應(yīng)關(guān)系。同時，它們又都是最基本的特征，是其它非本質(zhì)特征的基礎(chǔ)。所以，可以說這三個本質(zhì)特征是滿足界定混沌概念的兩個原則的。 至此，我們認(rèn)為可以這樣來界定混沌概念，“混沌是確定性非線性系統(tǒng)的有界的敏感初條件的非周期行為”。只要能確定系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，那么行為(或狀態(tài))主體就是確定性的非線性系統(tǒng)，而且它一定具有“有界”、“敏感初條件”和“非周期”三個本質(zhì)特征；反之，任何一個確定性

21、的非線性系統(tǒng)，只要它表現(xiàn)出“有界”、“非周期”和“敏感初條件”的特征，那么就可以認(rèn)為該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。 四、推論 在對混沌作了如上的界定后，籍此我們還可得出如下幾條推論： (一)混沌是決定論的。在數(shù)學(xué)上混沌軌道雖然是非周期性的，但是它是產(chǎn)生于確定性的非線性系統(tǒng)的，是完全因果性的，依據(jù)系統(tǒng)的動力學(xué)機制和初始條件，可以完全確定混沌軌道上的任何特定相點的位置，所以在這個層次上，混沌不僅是完全因果性的，而且是可以確定性地預(yù)測的。在物理上，由于不絕對精確初始條件的介入，非線性機制對初始不確定性的放大，使系統(tǒng)表現(xiàn)出宏觀不確定性，導(dǎo)致不能進行長期的精確預(yù)測。在這個意義

22、上，系統(tǒng)的軌道既有非周期性，也有不可長期預(yù)測性及一定的不相關(guān)性，所以有充分理由認(rèn)為系統(tǒng)具有不確定性意義上的隨機性。但是不能因此就認(rèn)為混沌是非決定論的，因為在基本的、本質(zhì)層次上混沌仍是有確定的因果關(guān)系的，因而它是決定論的。 (二)混沌不僅是認(rèn)識論的存在而且是本體論的存在。在實際觀測中，由于初始條件的介入，內(nèi)外噪聲、擾動的激發(fā)，對那些即使在數(shù)學(xué)上不是混沌的情況，系統(tǒng)也可能表現(xiàn)出“有界”、“非周期”和“敏感初條件”這些混沌的本質(zhì)特征，換言之，對實際系統(tǒng)的觀測能在更多的控制參量值處觀測到正的李雅普諾夫指數(shù)、連續(xù)的功率譜、確定的分維等。這種表觀的具有“有界”、“非周期”和“敏感初條件”特征的

23、物理混沌就是認(rèn)識論上的混沌行為。由前文的論述可知，混沌不僅是這種可觀測的、認(rèn)識論上的存在，而且在本體論上即在純數(shù)學(xué)上也是客觀存在的，如：拋物線滿映射情況下，在一定區(qū)間內(nèi)一條非周期的混沌軌道中有無窮多的無理點，同時存在著無窮多條不同的混沌軌道，與混沌軌道對應(yīng)的無理點的總測度與實數(shù)的總測度相等，而與周期軌道對應(yīng)的有理點的總測度卻為0。因而，在沒有初始條件介入的純數(shù)學(xué)上的或稱本體淪上的混沌軌道也是客觀存在的，就是說，不僅在實測中可以觀測到有理的具“有界”、“非周期”和“敏感初條件”特征的混沌，而且在純數(shù)學(xué)上，客觀存在著無理的具“有界”、“非周期”和“敏感初條件”特征的混沌，所以可以說混沌不僅是認(rèn)識論

24、上的存在，而且也是本體論上的存在。 (三)混沌中的隨機性是外在的而非內(nèi)在的。在一些文獻中，混沌常被表述為“確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，[10]-[13]我們認(rèn)為這種提法有值得商榷之處。雖然混沌運動在表現(xiàn)上非常不規(guī)則，而且在實測中只能對混沌軌道進行統(tǒng)計描述，所以它被看成是隨機的，又因為這種隨機性與外界擾動、噪聲等引起的隨機性不同，所以有人又稱它為“內(nèi)在隨機性”，但是把這種表述作為混沌定義就容易產(chǎn)生這樣的錯覺即“混沌中的隨機性是確定性系統(tǒng)本身產(chǎn)生的”，從而導(dǎo)致“確定論系統(tǒng)本身可以產(chǎn)生不確定行為”的錯誤想法。我們主張“內(nèi)在”應(yīng)指非線性方程本身，指由方程描述的結(jié)構(gòu)、關(guān)系和操作。而混沌中的不確定

25、性是源于初始條件的不確定，非線性方程本身只不過對其起到一種放大作用，從而使初始條件的微小的不確定，放大成人們可以觀察到的宏觀不確定。我們知道，初始條件在一般情況下反映的是主體與客體系統(tǒng)間的關(guān)系，而不單純是客體系統(tǒng)自己的性質(zhì)，顯然它不是內(nèi)在的。所以說混沌系統(tǒng)的“內(nèi)在隨機性”，雖然不是外界干擾造成的，但也不是內(nèi)在的，是人們觀察能力有限造成的初始條件的不確定性產(chǎn)生的，因此是外在的。 綜上所述，對混沌概念的界定，源于對混沌本質(zhì)特征的把握，而混沌概念本身的正確性又可以澄清理論上許多模糊的想法，從而達到對混沌現(xiàn)象的更加深刻地理解。 參考文獻 [1][10]李京文等，《混沌理論與經(jīng)濟學(xué)》，

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