北師大八年級上《第1章勾股定理》單元測試(二)含答案解析

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1、《第1章 勾股定理》 　 一、選擇題 1．分別有下列幾組數(shù)據(jù)：①6、8、10 ②12、13、5 ③17、8、15 ④4、11、9，其中能構(gòu)成直角三形的有（　?。? A．4組 B．3組 C．2組 D．1組 2．已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（　?。? A．25 B．14 C．7 D．7或25 3．如圖，帶陰影的矩形面積是（　?。┢椒嚼迕祝? A．9 B．24 C．45 D．51 4．下列三角形中，不是直角三角形的是（　?。? A．三角形三邊分別是9，40，41 B．三角形三內(nèi)角之比為1：2：3 C．三角形三內(nèi)角中有兩個角互余 D．三角形三邊之比為2：

2、3：4 5．為迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備召開新年晚會，小劉搬來一架高2.5米的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到2.4米高的墻上，則梯腳與墻角距離應(yīng)為（　?。? A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米 6．如果三角形一個內(nèi)角等于另外兩個內(nèi)角之和，那么這個三角形是（　?。? A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能 7．直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其斜邊上的高為（　?。? A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm 8．如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF

3、，則△ABE的面積為（　?。? A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2 　 二、填空： 9．如圖，正方形B的面積是　?。? 10．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，求四邊形ABCD的面積　?。? 11．一根旗桿在離地面12米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部5米處．旗桿折斷之前有　　米． 12．一艘輪船以16km/h的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口以30km/h的速度向東南方向航行，它們離開港口半小時后相距　　 km． 13．如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了　　步路（

4、假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草． 14．在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=　?。? 　 三、解答題： 15．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520m，該河流的寬度為多少？ 16．新中源陶瓷廠某車間的人字形屋架為等腰△ABC，AC=BC=13米，AB=24米．求AB邊上的高CD的長度？ 17．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，請你根據(jù)所學(xué)的知識 （1）求△

5、ABC的面積． （2）判斷△ABC是什么形狀？并說明理由． 18．如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是多少？ 19．小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高． 20．如圖所示，折疊長方形一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知BC=10厘米，AB=8厘米． （1）求BF與FC的長． （2）求EC的長． 　 《第1章 勾股定理》 參考答案與試題解析 　 一、選擇

6、題 1．分別有下列幾組數(shù)據(jù)：①6、8、10 ②12、13、5 ③17、8、15 ④4、11、9，其中能構(gòu)成直角三形的有（　　） A．4組 B．3組 C．2組 D．1組 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行逐一解答即可． 【解答】解：①62+82=100=102，符合勾股定理的逆定理； ②52+122=132，符合勾股定理的逆定理； ③82+152=172，符合勾股定理的逆定理； ④42+92≠112，不符合勾股定理的逆定理； 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形

7、就是直角三角形． 　 2．已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（　　） A．25 B．14 C．7 D．7或25 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進(jìn)行討論解答． 【解答】解：分兩種情況：（1）3、4都為直角邊，由勾股定理得，斜邊為5； （2）3為直角邊，4為斜邊，由勾股定理得，直角邊為．∴第三邊長的平方是25或7， 故選D． 【點(diǎn)評】本題利用了分類討論思想，是數(shù)學(xué)中常用的一種解題方法． 　 3．如圖，帶陰影的矩形面積是（　?。┢椒嚼迕祝? A．9 B．24 C．45 D．51

8、 【考點(diǎn)】幾何體的表面積；勾股定理． 【分析】根據(jù)勾股定理先求出直角邊的長度，再根據(jù)長方形的面積公式求出帶陰影的矩形面積． 【解答】解：∵ =15厘米， ∴帶陰影的矩形面積=15×3=45平方厘米． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理和長方形的面積公式． 　 4．下列三角形中，不是直角三角形的是（　?。? A．三角形三邊分別是9，40，41 B．三角形三內(nèi)角之比為1：2：3 C．三角形三內(nèi)角中有兩個角互余 D．三角形三邊之比為2：3：4 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】分別討論四個選項(xiàng)是否滿足勾股定理的逆定理或者有一個角是直角即可，若滿足則是直角三角形，否則不是．

9、 【解答】解：對于A：92+402=412，滿足勾股定理的逆定理，所以該三角形是直角三角形； 對于B：設(shè)三個內(nèi)角為x，2x，3x則，x+2x+3x=180°，x=30°．此時三個內(nèi)角分別為30°、60°、90°，即有一個角是直角，所以該三角形是直角三角形； 對于C：三角形三內(nèi)角中有兩個互余，即另外一個角是90°，所以該三角形是直角三角形； 對于D：設(shè)該三角形的三邊為2x、3x、4x則（2x）2+（3x）2=13x2≠（4x）2=16x2，不滿足勾股定理，也沒有角為直角，所以不是直角三角形． 故選D． 【點(diǎn)評】本題主要考查利用直角三角形的性質(zhì)證明該三角形是直角三角形的能力，只要滿足勾

10、股定理的逆定理或者有一個角為直角都可證明是直角三角形． 　 5．為迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備召開新年晚會，小劉搬來一架高2.5米的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到2.4米高的墻上，則梯腳與墻角距離應(yīng)為（　　） A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】仔細(xì)分析題意得：梯子、地面、墻剛好形成一直角三角形，梯高為斜邊，利用勾股定理解此直角三角形即可． 【解答】解：梯腳與墻角距離： =0.7（米）． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵． 　 6．如果三

11、角形一個內(nèi)角等于另外兩個內(nèi)角之和，那么這個三角形是（　?。? A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和已知條件可得：這個三角形中有一個內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的；又因?yàn)橥饨桥c它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，可得一個內(nèi)角一定是90°，即可判斷此三角形的形狀． 【解答】解：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，又一個內(nèi)角也等于另外兩個內(nèi)角的和， 由此可知這個三角形中有一個內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)， ∴有一個內(nèi)角一定是90°，故這個三角形是直角三角形． 故選B．

12、【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是利用外角和內(nèi)角的關(guān)系，比較簡單． 　 7．直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其斜邊上的高為（　?。? A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm 【考點(diǎn)】勾股定理；三角形的面積． 【分析】先根據(jù)勾股定理可求出斜邊．然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答． 【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為5cm，12cm， ∴斜邊==13cm， 設(shè)斜邊上的高為h，則直角三角形的面積=×5×12=×13?h， ∴h=cm． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的運(yùn)用及直角三角形的面積的求法

13、，屬中學(xué)階段常見的題目，需同學(xué)們認(rèn)真掌握． 　 8．如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（　?。? A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【分析】首先根據(jù)翻折的性質(zhì)得到ED=BE，再設(shè)出未知數(shù)，分別表示出線段AE，ED，BE的長度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的長度，進(jìn)而求出AE的長度，就可以利用面積公式求得△ABE的面積了． 【解答】解：∵長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合， ∴ED=BE， 設(shè)AE=xcm，則ED=BE=（9﹣x）c

14、m， 在Rt△ABE中， AB2+AE2=BE2， ∴32+x2=（9﹣x）2， 解得：x=4， ∴△ABE的面積為：3×4×=6（cm2）． 故選：A． 【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的翻折變換和學(xué)生的空間想象能力，解題過程中應(yīng)注意折疊后哪些線段是重合的，相等的，如果想象不出哪些線段相等，可以動手折疊一下即可． 　 二、填空： 9．如圖，正方形B的面積是　144?。? 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出AC、AD的長，根據(jù)勾股定理求出CD的長，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算即可． 【解答】解：由正方形的面積公式可知， AC=13，AD=5， 由勾股定理

15、得，DC==12， 則CD2=144， ∴正方形B的面積是144， 故答案為：144． 【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2． 　 10．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，求四邊形ABCD的面積　12?。? 【考點(diǎn)】勾股定理；三角形的面積；正方形的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題． 【分析】由圖可得出四邊形ABCD的面積=網(wǎng)格的總面積﹣四個角的四個直角三角形的面積，該網(wǎng)格是5×5類型的且邊長都是1的小正方形，面積為5×5；四個角的四個直角三角形的直角邊分別為：1、2；4、3；3、2；3、2；根據(jù)直角三角形的

16、面積等于×兩直角邊的乘積，分別求出四個直角三角形的面積，進(jìn)而求出四邊形ABCD的面積． 【解答】解：由題意可得： 四邊形ABCD的面積=5×5﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×3﹣×2×3=12， 所以，四邊形ABCD的面積為12． 故答案為12． 【點(diǎn)評】本題主要考查求不規(guī)則圖形面積的能力，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形得出：四邊形ABCD的面積=網(wǎng)格的總面積﹣四個角的四個直角三角形的面積，求出四邊形ABCD的面積． 　 11．一根旗桿在離地面12米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部5米處．旗桿折斷之前有　25　米． 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)題意，可以知道兩直角邊的長度，從而構(gòu)造直角

17、三角形，根據(jù)勾股定理就可求出斜邊的長． 【解答】解：∵52+122=169， ∴=13（m）， ∴13+12=25（米）． ∴旗桿折斷之前有25米． 故答案為：25． 【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用．培養(yǎng)同學(xué)們利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵． 　 12．一艘輪船以16km/h的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口以30km/h的速度向東南方向航行，它們離開港口半小時后相距　17　 km． 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，且東北和東南的夾角為90°，根據(jù)題目中給出的半小時后和速度可以計(jì)算AC，BC的

18、長度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的長． 【解答】解：作出圖形，因?yàn)闁|北和東南的夾角為90°，所以△ABC為直角三角形． 在Rt△ABC中，AC=16×0.5km=8km， BC=30×0.5km=15km． 則AB=km=17km 故答案為 17． 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中確定△ABC為直角三角形，并且根據(jù)勾股定理計(jì)算AB是解題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了　8　步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草． 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【

19、分析】直接利用勾股定理得出AB的長，再利用AC+BC﹣AB進(jìn)而得出答案． 【解答】解：由題意可得：AB==10（m）， 則AC+BC﹣AB=14﹣10=4（m）， 故他們僅僅少走了：4×2=8（步）． 故答案為：8． 【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵． 　 14．在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=　4　． 【考點(diǎn)】勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】規(guī)律型． 【分析】運(yùn)用勾股定理可知，每兩個相鄰的

20、正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答． 【解答】 解：觀察發(fā)現(xiàn)， ∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°， ∴∠BAC=∠EBD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴BC=ED， ∵AB2=AC2+BC2， ∴AB2=AC2+ED2=S1+S2， 即S1+S2=1， 同理S3+S4=3． 則S1+S2+S3+S4=1+3=4． 故答案為：4． 【點(diǎn)評】運(yùn)用了全等三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理．注意發(fā)現(xiàn)兩個小正方形的面積和正好是之間的正方形的面積． 　 三、解答題： 15．如圖，某人

21、欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520m，該河流的寬度為多少？ 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】從實(shí)際問題中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【解答】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，運(yùn)用勾股定理求得AB===480m， 答：該河流的寬度為480m． 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，是實(shí)際問題但比較簡單． 　 16．新中源陶瓷廠某車間的人字形屋架為等腰△ABC，AC=BC=13米，AB=24米．求AB邊上的高CD的長度？ 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形ABC，CD是高，則易得△ACD是直

22、角三角形．利用勾股定理即可得出CD的長． 【解答】解：∵等腰三角形ABC，CD⊥AB， ∴AD=BD=AB=12m， ∵AC=BC=13m， ∴CD==5m． 答：AB邊上的高CD的長度是5米． 【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的簡單應(yīng)用，根據(jù)已知得出AD=BD=12米是解題關(guān)鍵． 　 17．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，請你根據(jù)所學(xué)的知識 （1）求△ABC的面積． （2）判斷△ABC是什么形狀？并說明理由． 【考點(diǎn)】勾股定理；三角形的面積；勾股定理的逆定理． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】（1）用長方形的面積減去三個小三角形的面積

23、即可求出△ABC的面積． （2）根據(jù)勾股定理求得△ABC各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定，從而不難得到其形狀． 【解答】解：（1）△ABC的面積=4×8﹣1×8÷2﹣2×3÷2﹣6×4÷2=13． 故△ABC的面積為13； （2）∵正方形小方格邊長為1 ∴AC==，AB==，BC==2， ∵在△ABC中，AB2+BC2=13+52=65，AC2=65， ∴AB2+BC2=AC2， ∴網(wǎng)格中的△ABC是直角三角形． 【點(diǎn)評】考查了三角形的面積，勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則三角形ABC是直角

24、三角形． 　 18．如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是多少？ 【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題． 【分析】先將長方體沿CF、FG、GH剪開，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一個平面內(nèi)，連接AB；或?qū)㈤L方體沿DE、EF、FC剪開，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一個平面內(nèi)，連接AB，然后分別在Rt△ABD與Rt△ABH，利用勾股定理求得AB的長，比較大小即可求得需要爬行的最短路程． 【解答】解：將長方體沿CF、FG、GH剪開，向右翻折，使面FCHG和面AD

25、CH在同一個平面內(nèi)， 連接AB，如圖1， 由題意可得：BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm， 在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：AB==15cm； 將長方體沿DE、EF、FC剪開，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一個平面內(nèi)， 連接AB，如圖2， 由題意得：BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm， 在Rt△ABH中，根據(jù)勾股定理得：AB==10cm， 則需要爬行的最短距離是15cm． 連接AB，如圖3， 由題意可得：BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm， 在Rt△AB′B中，根據(jù)勾股定理得：AB==5cm

26、， ∵15＜10＜5， ∴則需要爬行的最短距離是15cm． 【點(diǎn)評】此題考查了最短路徑問題，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展為平面圖形，利用勾股定理的知識求解． 　 19．小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高． 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的長，即旗桿的高． 【解答】解：設(shè)旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+1）m 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2 ∴x2+52=（x

27、+1）2 解得x=12 ∴AB=12 ∴旗桿的高12m． 【點(diǎn)評】此題考查了學(xué)生利用勾股定理解決實(shí)際問題的能力． 　 20．如圖所示，折疊長方形一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知BC=10厘米，AB=8厘米． （1）求BF與FC的長． （2）求EC的長． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；勾股定理的應(yīng)用；矩形的性質(zhì)． 【分析】（1）由圖形翻折變換的性質(zhì)可知，AD=AF=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC=12厘米可得出FC的長度； （2）將CE的長設(shè)為x，得出DE=10﹣x=EF，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：（

28、1）∵△ADE折疊后的圖形是△AFE， ∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF． ∵AD=BC=10cm， ∴AF=AD=10cm． 又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理，得AB2+BF2=AF2 ∴82+BF2=102， ∴BF=6cm， ∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm． （2）設(shè)EC的長為xcm，則DE=（8﹣x）cm． 在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理，得：FC2+EC2=EF2， ∴42+x2=（8﹣x）2， 即16+x2=64﹣16x+x2， 化簡，得16x=48， ∴x=3， 故EC的長為3cm． 【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．