第三章(1) 群表示理論基礎

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1、第三章 群表示理論基礎 第一節(jié) 分子對稱性 一、對稱元素與對稱操作 1. 對稱操作:每一次操作都能夠產生一個與原來圖形等價的圖形。 2. 對稱元素:對分子幾何圖形施行對稱操作時,所依賴的幾何要素(點、線、面及其組合)稱為對稱元素。 五種對稱元素及相應的對稱操作: 1) 恒等元素(E)—— 恒等操作(E)(操作后,分子保持完全不動) 2) 對稱軸(Cn)—— 旋轉操作(Cn,Cn2,Cn3…..Cnn-1,Cnn = E) 3) 對稱面

2、(σ)——反映操作(σ, σ2 = E) * σv、σh、σd 4) 對稱中心(i)—— 反演操作(i, i2 = E) 5) 象轉軸(非真軸)(Sn)——旋轉反映操作(Sn,Sn2,Sn3,…Snn) S1 = σh S2 = C2σh = i; Snk = Cnk(k為偶數),Snk = Cnkσh(k為奇數) 3、對稱操作的乘積   如果一個操作產生的結果和兩個或多個其他操作連續(xù)作用的結果相同,則稱這一操

3、作為其他操作的乘積。 例:對分子先后施行B和A操作,結果相當于對分子單純施行C操作,則稱C是A與B的乘積. 記為AB = C。 若AB = BA,則稱對稱操作A與B是可交換的. 二、群的基本知識 1、群的定義:一個集合G含有A、B、C、…元素,在這些元素之間定義一種運算(通常稱為“乘法”)。若滿足如下四個條件,則稱集合G為群: 1) 封閉性: 若A、B為G中任意兩個元素,且AB=C,A2 =D,則C、D仍為G中元素。 2) 締合性:G中各元素之間的運算滿足結合

4、律: (AB)C=A(BC) 3)有單位元素E,使任一元素A滿足:AE = EA = A 4)G中任意一元素A均有其逆元素A-1,A-1亦屬于G中。 A A-1 = A-1A=E * 群中元素的數目稱為群的階(h)。 例:A、整數集合:{…-3, -2, -1, 0, 1, 2 ,3…} 對“代數加法”構成一個群。 B、CH2Cl2分子(C2v群)的對稱操作的集合{E,C2,σv,σv

5、′}對“對稱操作的乘積”構成一個群。 封閉性:EC2 = C2, Eσv = σv, Eσv′ = σv′, C2σv = σv′, C2σv′ = σv, σvσv′ = C2 締合性:(C2σv)σv′ = σv′σv′ = E C2(σvσv′) = C2C2 = E 單位元素:E 逆元素:C2C2 = E, σvσv = E, σv′σv′ = E; C2-1 = C2, σv-1 = σv, σv′-1

6、 = σv′ * 逆元素為自身。 2、共軛元素和群的類 若X和A是群G中的兩個元素,且B = X-1AX,則B 仍為G中的元素(上式稱為:B是A借助于X所得的相似交換),則稱A和B為共軛元素。 類:群中相互共軛的元素的完整集合稱為群的類。 例1:C2V群(CH2Cl2){E,C2,σv,σv′} 求與C2共軛的元素: E-1C2E = C2,C2-1C2C2 = C2,σv-1C2σv = C2, σv′-1C2σv′ = C2 可見C2自成一類。

7、 同理可證:E,σv,σv′亦各自成一類。 因此C2V群共有四類,每個元素自成一類。 三、分子對稱操作群(分子點群) 1、可以證明:對于任意分子完全而不重復的對稱操作集合構成一個群,稱為分子對稱操作群(分子點群)。 2、分子點群的確立(見結構化學) 第二節(jié) 分子對稱操作的矩陣表示 一、矩陣的基本知識: 1、 定義:一些數字的矩形排列。 如: a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n (m行×n列) … …

8、 … … am1 am2 … amn 方陣:若行數 = 列數(m = n), 稱為方陣。 方陣的跡:χ= Σaii (方陣的對角元素之和) 單位矩陣(與群的單位元素對照):對角元素aii = 1,其他元素均為0的方陣(E)。 2、矩陣的乘法 1)若A的列數等于B的行數,則二者可以相乘。 A(n×h)B(h×m) = C(nm) 乘法服從結合律:(AB)C=A(BC); 一般不服從交換律:AB≠BA.

9、 例1: 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 1 1 = 1 1 0 1 1 0 1 1 2 3×3 3×2 3×2 例2:不服從交換律 1 2 1 1 3 3 = 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3 =

10、1 1 1 1 2 3 例3:與只有一列的矩陣相乘 1 0 1 1 4 0 1 0 2 = 2 0 1 1 3 5 1 1 0 1 2 0 1 0 無法運算!??! 3 0 1 1 例4:求方陣的跡 1 0 6 4 2 2 的跡 = (1+2+3)=6 3 5

11、 3 2) 逆矩陣(與群中逆元素概念對照) 若AA-1 = A-1A = E(單位矩陣),則A-1為A的逆矩陣。 只有方陣才有逆矩陣; 若|A| = 0, 則A為奇異矩陣,其逆矩陣無法確定; 若|A| ≠ 0,則A為非奇異矩陣,具有唯一的逆矩陣。 3)共軛矩陣(與群中共軛元素概念對照) A、B、X為三個矩陣,若A = X-1BX,則稱A與B為共軛矩陣。 * 共軛矩陣具有相等的跡。 首先要證明,若AB=C,BA=D,則C和D的跡

12、相等。 再證明:若A=X -1BX,則A和B具有相等的跡。 A的χ=X-1BX的χ=(X-1B)X的χ=X(X-1B)的χ =(XX-1)B的χ=B的χ 4)矩陣乘法的一種特例 當處理的矩陣,所有非零元素都在沿對角線的方塊中,這時矩陣乘法情況特殊,例: 1 0 0 4 1 0 4 1 0 1 2 0 2 3 0 == 8 7 0 0 0 3 0 0 1 0 0 3 *積矩陣按照乘因子矩陣完全相同的

13、形式劃分為方塊。 *積矩陣中給定方塊的元素只由乘因子中對應方塊的元素所決定。 二、對稱操作的矩陣表示 例:對稱操作對任意點位置坐標(x,y,z)的作用 1、恒等操作:單位矩陣 1 0 0 x x 0 1 0 y = y 0 0 1 z z 2、 反映 σ(xy): 1 0 0 x x 0 1 0 y = y 0

14、 0 -1 z -z σ(xz): 1 0 0 x x 0 -1 0 y = -y 0 0 1 z z σ(yz): -1 0 0 x -x 0 1 0 y = y 0 0 1 z z 3、 反演:負單位矩陣 -1 0 0 x -x

15、 0 -1 0 y = -y 0 0 -1 z -z 4、 真轉動:若定義z軸為轉動軸,矩陣的一部分應為: ? ? 0 x ? ? ? 0 y = ? 0 0 1 z z 利用三角函數: x1=rcosα y1=rsinα x2=rcos(α+θ)=rcosαcosθ-rsinαsinθ = x1cosθ-y1si

16、nθ y2=rsin(α+θ)=rsinαcosθ+rcosαsinθ = y1cosθ+x1sinθ 即 x2 = x1cosθ- y1sinθ y2 = x1sinθ+ y1cosθ 寫成矩陣形式 cosθ -sinθ x1 x2 = sinθ cosθ y1 y2 最后總矩陣方程 cosθ -sinθ 0 x1 x2 sinθ cosθ 0 y1 = y2 0 0 1 z1 z2 5、 非真轉動 逆時針轉動θ角, 再依σ(xy)反映的矩陣為: cosθ -sinθ 0 x1 x2 sinθ cosθ 0 y1 = y2 0 0 -1 z1 z2

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