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2013屆高三理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力提升卷
數(shù)列的綜合應(yīng)用問題
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2012·鎮(zhèn)海模擬)設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1＜a2＜a3是遞增數(shù)列”的
( )．
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．在等差數(shù)列{an}中，若a1，a2 011為方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a2＋a1 006＋a2 010＝
( )．
A．10 B．15 C．20 D．40
3．(2012·汕頭質(zhì)量測評(píng))已知正項(xiàng)組成的等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和
2、為100，那么a6·a15的最大值為
( )．
A．25 B．50 C．100 D．不存在
4．(2012·運(yùn)城教學(xué)檢測)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，過點(diǎn)P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直線的斜率為3n－2，則a2＋a4＋a5＋a9的值等于
( )．
A．52 B．40 C．26 D．20
5．(2012·杭州二模)已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，存在兩項(xiàng)am，an(m，n∈N*)使得＝4a1，且a7＝a6＋2a5，則＋的最小值是
( )．
A. B. C. D.
二、填空題(每小題5分，共15分)
3、6．為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校200名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖．由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到4.9之間的學(xué)生數(shù)為b，則a，b的值分別為________．
7．(2012·福州質(zhì)檢)在等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝，a4＝(1＋2x)dx，則公比q為________．
8．(2012·東北三校二模)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(n∈N*)在直線x－y＋1＝0上，若函數(shù)f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，且n≥2)，函數(shù)f(n)的最小值是_______
4、_．
三、解答題(本題共3小題，共35分)
9．(11分)(2012·泰安一模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，滿足a2＝5，a4＝13.數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn，且Tn＋bn＝3.
(1)求數(shù)列{an}及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若cn＝an·bn，試比較cn與cn＋1的大小．
10．(12分)首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.
(1)證明：若a1為奇數(shù)，則對(duì)一切n≥2，an都是奇數(shù)；
(2)若對(duì)一切n∈N*都有an＋1＞an，求a1的取值范圍．
11．(12分)(2011·山東)等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的
5、某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nln an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
參考答案
訓(xùn)練11 數(shù)列的綜合應(yīng)用問題
1．C [“a1＜a2＜a3”?“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”．]
2．B [由題意，知a1＋a2 011＝a2＋a2 010＝2a1 006＝10，所以a2＋a1 006＋a2 010＝15，故選B.]
6、
3．A [S20＝＝10(a1＋a20)＝100，故a6＋a15＝a1＋a20＝10，a6·a15≤（）2＝25.]
4．B [由題意得，＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5，因此數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故選B.]
5．A [記等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，依題意有a5q2＝a5q＋2a5，由a5≠0，得q2－q－2＝0，解得q＝2，
又(a1·2m－1)·(a1·2n－1)＝16a，
即2m＋n－2＝24，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，
∴＋＝（＋）(m＋n)
7、＝[5＋（＋）]≥
(5＋4)＝.]
6．解析 第一組的頻數(shù)為：0.1×0.1×200＝2，
第二組的頻數(shù)為：0.3×0.1×200＝6，
故第三組的頻數(shù)為：18，第四組的頻數(shù)為：54.
∴a＝＝0.27.后五組的頻數(shù)共有：200－80＝120.
又后六組成等差數(shù)列，所以第七組的頻數(shù)為24，第五、六組的頻數(shù)共為78，故b＝54＋78＝132.
答案 0.27,132
7．解析 ∵a4＝＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q3＝＝27，∴q＝3.
答案 3
8．解析 由題意知，an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝1，an＝n，當(dāng)n≥
8、2時(shí)，f(n)＝＋＋＋…＋，∵f(n＋1)－f(n)＝＋＋＋…＋－（＋＋＋…＋）＝＋－＝－＞0，∴f(2)＜f(3)＜…，∴[f(n)]min＝f(2)＝＋＝.
答案
9．解 (1)∵a2＝5，a4＝13，∴a4＝a2＋2d，即13＝5＋2d.
∴d＝4，∴a1＝1，∴an＝4n－3.
又Tn＋bn＝3，∴Tn＋1＋bn＋1＝3，
∴2bn＋1－bn＝0，即bn＋1＝bn.
∵b1＋b1＝3，∴b1＝，
∴數(shù)列{bn}為首項(xiàng)是，公比是的等比數(shù)列，
∴bn＝（）n－1＝.
(2)cn＝anbn＝，∴cn＋1＝，
cn＋1－cn＝－＝.
①當(dāng)n＝1時(shí)，cn＋1－cn＞0，∴
9、cn＋1＞cn；
②當(dāng)n≥2(n∈N*)時(shí)，cn＋1－cn＜0，∴cn＋1＜cn.
10．(1)證明 已知a1是奇數(shù)，假設(shè)ak＝2m－1是奇數(shù)，其中m為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇數(shù)．
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何n∈N*，an都是奇數(shù)．
(2)解 法一 由an＋1－an＝(an－1)·(an－3)知，an＋1＞an當(dāng)且僅當(dāng)an＜1或an＞3.
另一方面，若0＜ak＜1，則0＜ak＋1＜＝1；
若ak＞3，則ak＋1＞＝3.
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，0＜a1＜1?0＜an＜1，?n∈N*，a1＞3?an＞3，?n∈N*.
綜上所述，對(duì)一切n∈N*都有an＋1＞an的
10、充要條件是0＜a1＜1或a1＞3.
法二 由a2＝＞a1，得a－4a1＋3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3.an＋1－an＝－＝，
因?yàn)閍1＞0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an與an－an－1同號(hào)．
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，?n∈N*，an＋1－an與a2－a1同號(hào)．
因此，對(duì)一切n∈N*都有an＋1＞an的充要條件是0＜a1＜1或a1＞3.
11．解 (1)當(dāng)a1＝3時(shí)，不合題意；
當(dāng)a1＝2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝6，a3＝18時(shí)，符合題意；
當(dāng)a1＝10時(shí)，不合題意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.
所以公比q＝3.故an＝2·3n－1.
(2)因?yàn)閎
11、n＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.
所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋·ln 3
＝3n－ln 3－ln 2－1.
綜上所述，Sn＝
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