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1、1四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第三十五周 容斥原理專題簡析:容斥問題涉及到一個重要原理包含與排除原理,也叫容斥原理.即當兩個計數(shù)部分有重復(fù)包含時,為了不重復(fù)計數(shù),應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分.容斥原理:對 n 個事物,如果采用不同的分類標準,按性質(zhì) a 分類與性質(zhì) b 分類（如圖）,那么具有性質(zhì) a 或性質(zhì) b 的事物的個數(shù)=NaNbNab.NabNbNa2例 1:一個班有 48 人,班主任在班會上問:“誰做完語文作業(yè)?請舉手！”有 37 人舉手.又問:“誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)?請舉手！”有 42 人舉手.最后問:“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完?”沒有人舉手.求這個班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù).分析 完成語文
2、作業(yè)的有 37 人,完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42 人,一共有 3742=79 人,多于全班人數(shù).這是因為語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計做完語文作業(yè)的人數(shù)時算過一次,在統(tǒng)計做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時又算了一次,這樣就多算了一次.所以,這個班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有:7948=31 人.練 習(xí) 一1,五年級有 122 名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試,每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績.其中語文成績優(yōu)秀的有 65 人,數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有 87人.語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人?2,四年級一班有 54 人,訂閱小學(xué)生優(yōu)秀作文和數(shù)學(xué)大世界兩種讀物的有 13 人,訂小學(xué)生優(yōu)秀作文的有 45 人,每人至少訂一種讀物,訂數(shù)學(xué)大世界的有多少人
3、?3,學(xué)校文藝組每人至少會演奏一種樂器,已知會拉手風琴的有24 人,會彈電子琴的有 17 人,其中兩種樂器都會演奏的有 8 人.這個文藝組一共有多少人?3例 2:某班有 36 個同學(xué)在一項測試中,答對四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第一題的有 25 人,答對四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第二題的有 23人,兩題都答對的有 15 人.問多少個同學(xué)兩題都答得不對?分析與解答:已知答對四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第一題的有25 人,兩題都答對的有 15 人,可以求出只答對四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第一題的有 2515=10 人.又已知答對四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第二題的有 23 人,用只答對四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第一
4、題的人數(shù),加上答對四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對的人數(shù):1023=33 人.所以,兩題都答得不對的有3633=3 人.練 習(xí) 二1,五（1）班有 40 個學(xué)生,其中 25 人參加數(shù)學(xué)小組,23 人參加科技小組,有 19 人兩個小組都參加了.那么,有多少人兩個小組都沒有參加?2,一個班有 55 名學(xué)生,訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報的有 32 人,訂閱中國少年報的有 29 人,兩種報紙都訂閱的有 25 人.兩種報紙都沒有訂閱的有多少人?3,某校選出 50 名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽,結(jié)果 3 人兩項比賽都獲獎了,有 27 人兩項比賽都沒有獲獎.已知作文比賽獲獎4的有 14 人,問
5、數(shù)學(xué)比賽獲獎的有多少人?5例 3:某班有 56 人,參加語文競賽的有 28 人,參加數(shù)學(xué)競賽的有 27人,如果兩科都沒有參加的有 25 人,那么同時參加語文、數(shù)學(xué)兩科競賽的有多少人?分析與解答:要求兩科競賽同時參加的人數(shù),應(yīng)先求出至少參加一科競賽的人數(shù):5625=31 人,再求兩科競賽同時參加的人數(shù):282731=24 人.練 習(xí) 三1,一個旅行社有 36 人,其中會英語的有 24 人,會法語的有 18 人,兩樣都不會的有 4 人.兩樣都會的有多少人?2,一個俱樂部有 103 人,其中會下中國象棋的有 69 人,會下國際象棋的有 52 人,這兩種棋都不會下的有 12 人.問這兩種棋都會下的有多
6、少人?3,三年級一班參加合唱隊的有 40 人,參加舞蹈隊的有 20 人,既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有 14 人.這兩隊都沒有參加的有 10 人.請算一算,這個班共有多少人?6例 4:在 1 到 100 的自然數(shù)中,既不是 5 的倍數(shù)也不是 6 的倍數(shù)的數(shù)有多少個?分析與解答:從 1 到 100 的自然數(shù)中,減去 5 或 6 的倍數(shù)的個數(shù).從1 到 100 的自然數(shù)中,5 的倍數(shù)有 1005=20 個,6 的倍數(shù)有 16 個（1006=164）,其中既是 5 的倍數(shù)又是 6 的倍數(shù)（即 5 和 6的公倍數(shù)）的數(shù)有 3 個（10030=310）.因此,是 6 或 5 的倍數(shù)的個數(shù)是 16203=3
7、3 個,既不是 5 的倍數(shù)又不是 6 的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是:10033=67 個.練 習(xí) 四1,在 1 到 200 的全部自然數(shù)中,既不是 5 的倍數(shù)又不是 8 的倍數(shù)的數(shù)有多少個?2,在 1 到 130 的全部自然數(shù)中,既不是 6 的倍數(shù)又不是 5 的倍數(shù)的數(shù)有多少個?3,五（1）班做廣播操,全班排成 4 行,每行的人數(shù)相等.小華排的位置是:從前面數(shù)四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第 5 個,從后面數(shù)四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第 8 個.這個班共有多少個學(xué)生?7例 5:光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽.學(xué)校的櫥窗里展出了每個年級學(xué)生的書法作品,其中有 24 幅不是五年級的,有 22 幅不是六年級的,五、六年級參
8、展的書法作品共有 10 幅,其他年級參展的書法作品共有多少幅?分析與解答:由題意知,24 幅作品是一、二、三、四、六年級參展作品的總數(shù),22 幅是一、二、三、四、五年級參展作品的總數(shù).2422=46 幅,這是一個五、六年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數(shù),從其中去掉五、六兩個年級共參展的 10 幅作品,即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數(shù),再除以 2,即可求出其他年級參展作品的總數(shù).（242210）2=18 幅.練 習(xí) 五1,科技節(jié)那天,學(xué)校的科技室里展出了每個年級學(xué)生的科技作品,其中有 110 件不是一年級的,有 100 件不是二年級的,一、二年級參展的作品共有 32 件.其他年級參展的作品共有多少件?2,六（1）兒童節(jié)那天,學(xué)校的畫廊里展出了每個年級學(xué)生的圖畫作品,其中有 25 幅畫不是三年級的,有 19 幅畫不是四年級的,三、四兩個年級參展的畫共有 8 幅.其他年級參展的畫共有多少幅?3,實驗小學(xué)舉辦學(xué)生書法展,學(xué)校的櫥窗里展出每個年級學(xué)生的書法作品,其中有 28 幅不是五年級的,有 24 幅不是六年級的,五、8六年級參展的書法作品共有 20 幅.一、二年級參展的作品總數(shù)比三、四年級參展作品的總數(shù)少 4 幅.一、二年級參展的書法作品共有多少幅?
四年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義《容斥原理》
