高中數(shù)學(xué)必修3同步練習(xí)與單元檢測(cè)第二章 統(tǒng)計(jì) 2.1.3

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2.1.3　分層抽樣 課時(shí)目標(biāo)　1.理解分層抽樣的概念.2.掌握分層抽樣的使用條件和操作步驟，會(huì)用分層抽樣法進(jìn)行抽樣． 1．分層抽樣的概念 在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣． 2．分層抽樣的適用條件 分層抽樣盡量利用事先所掌握的各種信息，并充分考慮保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，這對(duì)提高樣本的代表性非常重要．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法． 一、選擇題 1．有40件產(chǎn)品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，現(xiàn)從中抽出8件進(jìn)行質(zhì)量分析，問應(yīng)采取何種抽樣方法(　　) A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)表法 C．系統(tǒng)抽樣 D．分層抽樣 答案　D 2．某城市有學(xué)校700所．其中大學(xué)20所，中學(xué)200所，小學(xué)480所，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取一個(gè)容量為70的樣本，進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查，則應(yīng)抽取中學(xué)數(shù)為(　　) A．70 B．20 C．48 D．2 答案　B 解析　由于＝10，即每10所學(xué)校抽取一所， 又因中學(xué)200所，所以抽取200÷10＝20(所)． 3．某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品的數(shù)量之比依次為3∶4∶7，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，樣本中A型號(hào)產(chǎn)品有15件，那么樣本容量n為(　　) A．50 B．60 C．70 D．80 答案　C 解析　由分層抽樣方法得：×n＝15， 解得n＝70. 4．下列問題中，最適合用分層抽樣方法抽樣的是(　　) A．某電影院有32排座位，每排有40個(gè)座位，座位號(hào)是1～40.有一次報(bào)告會(huì)坐滿了聽眾，報(bào)告會(huì)結(jié)束以后為聽取意見，要留下32名聽眾進(jìn)行座談 B．從10臺(tái)冰箱中抽出3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查 C．某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8 000畝，丘陵12 000畝，平地24 000畝，洼地4 000畝，現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計(jì)全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量 D．從50個(gè)零件中抽取5個(gè)做質(zhì)量檢驗(yàn) 答案　C 解析　A的總體容量較大，宜采用系統(tǒng)抽樣方法；B的總體容量較小，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法比較方便；C總體容量較大，且各類田地的產(chǎn)量差別很大，宜采用分層抽樣方法；D與B類似． 5．要從其中有50個(gè)紅球的1 000個(gè)球中，采用按顏色分層抽樣的方法抽取100個(gè)進(jìn)行分析，則應(yīng)抽取紅球的個(gè)數(shù)為(　　) A．5個(gè) B．10個(gè) C．20個(gè) D．45個(gè) 答案　A 解析　由題意知每＝10(個(gè))球中抽取一個(gè)，現(xiàn)有50個(gè)紅球，應(yīng)抽?。?(個(gè))． 6．某小學(xué)三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生270人，其中一年級(jí)108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要用抽樣方法抽取10人形成樣本，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1,2，…，270，如果 抽得號(hào)碼有下列四種情況： ①5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ②7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ③30,57,84,111,138,165,192,219,246,270； ④11,38,60,90,119,146,173,200,227,254； 其中可能是由分層抽樣得到，而不可能是由系統(tǒng)抽樣得到的一組號(hào)碼為(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 答案　D 解析　按照分層抽樣的方法抽取樣本，一、二、三年級(jí)抽取的人數(shù)分別為：，，，即4人，3人，3人；不是系統(tǒng)抽樣即編號(hào)的間隔不同，觀察①、②、③、④知：①④符合題意，②是系統(tǒng)抽樣，③中三年級(jí)人數(shù)為4人，不是分層抽樣． 二、填空題 7．某農(nóng)場(chǎng)在三種地上種玉米，其中平地210畝，河溝地120畝，山坡地180畝，估計(jì)產(chǎn)量時(shí)要從中抽取17畝作為樣本，則平地、河溝地、山坡地應(yīng)抽取的畝數(shù)分別是________． 答案　7,4,6 解析　應(yīng)抽取的畝數(shù)分別為210×＝7,120×＝4,180×＝6. 8．將一個(gè)總體分為A、B、C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2.若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取________個(gè)個(gè)體． 答案　20 解析　由題意可設(shè)A、B、C中個(gè)體數(shù)分別為5k,3k,2k，所以C中抽取個(gè)體數(shù)為×100＝20. 9．某工廠生產(chǎn)A、B、C、D四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2∶3∶5∶1.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)有16件，那么此樣本的容量n為________． 答案　88 解析　在分層抽樣中，每一層所抽的個(gè)體數(shù)的比例與總體中各層個(gè)體數(shù)的比例是一致的．所以，樣本容量n＝×16＝88. 三、解答題 10．某小學(xué)有1 800名學(xué)生，6個(gè)年級(jí)中每個(gè)年級(jí)的人數(shù)大致相同，男女生的比例也大致相同，要從中抽取48名學(xué)生，測(cè)試學(xué)生100米跑的成績(jī)．你認(rèn)為應(yīng)該用什么樣的方法？怎樣抽樣？為什么要用這個(gè)方法？ 解　應(yīng)該用分層抽樣的方法．因?yàn)樾W(xué)的不同年級(jí)之間，男女生之間百米跑的成績(jī)有較大差異，所以將1 800名學(xué)生按不同年級(jí)、性別分成12組，每組隨機(jī)抽取4名，一共抽取48名學(xué)生．這樣的抽樣方法可使樣本的結(jié)構(gòu)與總體的結(jié)構(gòu)保持一致． 11．某工廠有3條生產(chǎn)同一產(chǎn)品的流水線，每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別是3 000件，4 000件，8 000件．若要用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為150件產(chǎn)品的樣本，應(yīng)該如何抽樣？ 解　總體中的個(gè)體數(shù)N＝3 000＋4 000＋8 000＝15 000，樣本容量n＝150，抽樣比例為＝＝，所以應(yīng)該在第1條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3 000×＝30(件)產(chǎn)品，在第2條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4 000×＝40(件)產(chǎn)品，在第3條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取8 000×＝80(件)產(chǎn)品．這里因?yàn)槊織l流水線所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)都較多，所以，在每條流水線的產(chǎn)品中抽取樣品時(shí)，宜采用系統(tǒng)抽樣方法． 能力提升 12．某單位有技師18人，技術(shù)員12人，工程師6人，需要從這些人中抽取一個(gè)容量為n的樣本，如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，都不用剔除個(gè)體；如果樣本容量增加1，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中剔除1個(gè)個(gè)體，求樣本容量n. 解　因?yàn)椴捎孟到y(tǒng)抽樣和分層抽樣時(shí)不用剔除個(gè)體，所以n是36的約數(shù)，且是6的約數(shù)，即n又是6的倍數(shù)，n＝6,12,18或36，又n＋1是35的約數(shù)，故n只能是4,6,34，綜合得n＝6，即樣本容量為6. 13．選擇合適的抽樣方法抽樣，寫出抽樣過程． (1)有甲廠生產(chǎn)的30個(gè)籃球，其中一箱21個(gè)，另一箱9個(gè)，抽取3個(gè)． (2)有30個(gè)籃球，其中甲廠生產(chǎn)的有21個(gè)，乙廠生產(chǎn)的有9個(gè)，抽取10個(gè)． (3)有甲廠生產(chǎn)的300個(gè)籃球，抽取10個(gè)． (4)有甲廠生產(chǎn)的300個(gè)籃球，抽取30個(gè)． 解　(1)總體容量較小，用抽簽法． ①將30個(gè)籃球編號(hào)，號(hào)碼為00,01，…，29； ②將以上30個(gè)編號(hào)分別寫在完全一樣的小紙條上，揉成小球，制成號(hào)簽； ③把號(hào)簽放入一個(gè)不透明的袋子中，充分?jǐn)嚢瑁? ④從袋子中逐個(gè)抽取3個(gè)號(hào)簽，并記錄上面的號(hào)碼； ⑤找出和所得號(hào)碼對(duì)應(yīng)的籃球即可得到樣本． (2)總體由差異明顯的兩個(gè)層次組成，需選用分層抽樣法． ①確定抽取個(gè)數(shù)．因?yàn)椋?，所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取＝7(個(gè))，乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取＝3(個(gè))； ②用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球7個(gè)，乙廠生產(chǎn)的籃球3個(gè)．這些籃球便組成了我們要抽取的樣本． (3)總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機(jī)數(shù)法． ①將300個(gè)籃球用隨機(jī)方式編號(hào)，編號(hào)為000,001，…，299； ②在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)的確定一個(gè)數(shù)作為開始，如第8行第29列的數(shù)“7”開始．任選一個(gè)方向作為讀數(shù)方向，比如向右讀； ③從數(shù)“7”開始向右讀，每次讀三位，凡不在000～299中的數(shù)跳過去不讀，遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀，便可依次得到10個(gè)號(hào)碼，這就是所要抽取的10個(gè)樣本個(gè)體的號(hào)碼． (4)總體容量較大，樣本容量也較大宜用系統(tǒng)抽樣法． ①將300個(gè)籃球用隨機(jī)方式編號(hào)，編號(hào)為001,002,003，…，300，并分成30段，其中每一段包含＝10(個(gè))個(gè)體； ②在第一段001,002,003，…，010這十個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽出一個(gè)(如002)作為起始號(hào)碼； ③將編號(hào)為002,012,022，…，292的個(gè)體抽出，組成樣本 1．分層抽樣的概念和特點(diǎn) 當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時(shí)，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣． 分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)是使樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且在各層抽樣時(shí)又可靈活地選用不同的抽樣法． 2．三種抽樣方法的選擇 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣及分層抽樣的共同特點(diǎn)是在抽樣過程中每一個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)都相等，體現(xiàn)了抽樣方法的公平性和客觀性．其中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法，在系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中都要用到簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較少時(shí)，常采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，常采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)已知總體是由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常采用分層抽樣．