2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專題一 第2講 不等式與線性規(guī)劃

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1、 第2講 不等式與線性規(guī)劃 考情解讀 1.在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題.基本不等式主要考查求最值問題,線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題.2.多與集合、函數(shù)等知識交匯命題,以選擇、填空題的形式呈現(xiàn),屬中檔題. 1.四類不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集. (2)簡單分式不等式的解法 ①變形?>0(<0)?

2、f(x)g(x)>0(<0); ②變形?≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)簡單指數(shù)不等式的解法 ①當(dāng)a>1時,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); ②當(dāng)0ag(x)?f(x)1時,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且f(x)>0,g(x)>0; ②當(dāng)0logag(x)?f(x)0,g(x)>0. 2.五個重要不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a2+b2≥2ab(a、b∈R

3、). (3)≥(a>0,b>0). (4)ab≤()2(a,b∈R). (5) ≥≥≥(a>0,b>0). 3.二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃 (1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念:線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等. (2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟:①畫出可行域;②根據(jù)線性目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解;③求出目標函數(shù)的最大值或者最小值. 4.兩個常用結(jié)論 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件是 熱點一 一元二次不等式的解法 例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<

4、0的解集為,則f(10x)>0的解集為(  ) A.{x|x<-1或x>-lg 2} B.{x|-1-lg 2} D.{x|x<-lg 2} (2)已知函數(shù)f(x)=(x-2)(ax+b)為偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞增,則f(2-x)>0的解集為(  ) A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-24} D.{x|00.(2)利用f(x)是偶函數(shù)求b,再解f(2-x)>0. 答案 (1)D (2)C 解析 (1)由已知條件0<

5、10x<,解得x0. f(2-x)>0即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4. 故選C. 思維升華 二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,也是高考的熱點,“三個二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.  (1)不等式≤0的解集為(  ) A.(-,1] B.[-,1] C.(-∞,-)∪[1,+∞) D.(-∞,

6、-]∪[1,+∞) (2)已知p:?x0∈R,mx+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0.若p∧q為真命題,則實數(shù)m的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2) B.[-2,0) C.(-2,0) D.[0,2] 答案 (1)A (2)C 解析 (1)原不等式等價于(x-1)(2x+1)<0或x-1=0,即-

7、某項研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù),單位:輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=. ①如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為________輛/時; ②如果限定車型,l=5,則最大車流量比①中的最大車流量增加________輛/時. (2)(2013·山東)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時,+-的最大值為(  ) A.0 B.1 C. D.3 思維啟迪 (1)把所給l值代入,分子分母同除以v,構(gòu)造基本不等式的形式求最值;

8、(2)關(guān)鍵是尋找取得最大值時的條件. 答案 (1)①1 900?、?00 (2)B 解析 (1)①當(dāng)l=6.05時,F(xiàn)= =≤==1 900. 當(dāng)且僅當(dāng)v=11 米/秒時等號成立,此時車流量最大為1 900輛/時. ②當(dāng)l=5時,F(xiàn)==≤==2 000. 當(dāng)且僅當(dāng)v=10 米/秒時等號成立,此時車流量最大為2 000 輛/時.比①中的最大車流量增加100 輛/時. (2)由已知得z=x2-3xy+4y2,(*) 則==≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號,把x=2y代入(*)式,得z=2y2, 所以+-=+-=-2+1≤1, 所以當(dāng)y=1時,+-的最大值為1. 思維升華 在利用

9、基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.  (1)若點A(m,n)在第一象限,且在直線+=1上,則mn的最大值為________. (2)已知關(guān)于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,則實數(shù)a的最小值為(  ) A.1 B. C.2 D. 答案 (1)3 (2)B 解析 (1)因為點A(m,n)在第一象限,且在直線+=1上,所以m,n>0,且+=1. 所以·≤()2(當(dāng)且僅當(dāng)==,即m=,n=2時,取等號).所

10、以·≤,即mn≤3, 所以mn的最大值為3. (2)2x+=2(x-a)++2a ≥2·+2a=4+2a, 由題意可知4+2a≥7,得a≥, 即實數(shù)a的最小值為,故選B. 熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題 例3 (2013·湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行,A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛.則租金最少為(  ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 思維啟迪 通過設(shè)變量將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃

11、問題. 答案 C 解析 設(shè)租A型車x輛,B型車y輛時租金為z元, 則z=1 600x+2 400y, x、y滿足 畫出可行域如圖 直線y=-x+過點A(5,12)時縱截距最小, 所以zmin=5×1 600+2 400×12=36 800, 故租金最少為36 800元. 思維升華 (1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型:一是求最值;二是求區(qū)域面積;三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍.(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域,再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)的最優(yōu)解.(3)對于應(yīng)用問題,要準確地設(shè)出變量,確定可行域和目標函數(shù).  (1)已知實數(shù)x,y滿足約束

12、條件,則w=的最小值是(  ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 (2)(2013·北京)設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0,y0),滿足x0-2y0=2,求得m的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 答案 (1)D (2)C 解析 (1)畫出可行域,如圖所示. w=表示可行域內(nèi)的點(x,y)與定點P(0,-1)連線的斜率,觀察圖形可知PA的斜率最小為=1,故選D. (2)當(dāng)m≥0時,若平面區(qū)域存在,則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限,平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點P(x0,y0)滿足x0-2y0=2,因此m<0. 如圖所示的陰影部分為不等式組表示

13、的平面區(qū)域. 要使可行域內(nèi)包含y=x-1上的點,只需可行域邊界點 (-m,m)在直線y=x-1的下方即可,即m<-m-1,解得m<-. 1.幾類不等式的解法 一元二次不等式解集的端點值是相應(yīng)一元二次方程的根,也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標,即二次函數(shù)的零點;分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)來解;以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化. 2.基本不等式的作用 二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能,常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題.解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等

14、式的結(jié)構(gòu)特點,選擇好利用基本不等式的切入點,并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景,如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧,改變原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件.利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件,三個條件缺一不可. 3.線性規(guī)劃問題的基本步驟 (1)定域——畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域,注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應(yīng); (2)平移——畫出目標函數(shù)等于0時所表示的直線l,平行移動直線,讓其與平面區(qū)域有公共點,根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解,注意要熟練把握最常見的幾類目標函數(shù)的幾何意義; (3)求值——利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標,代入目標

15、函數(shù),求出最值. 真題感悟 1.(2014·山東)已知實數(shù)x,y滿足ax B.ln(x2+1)>ln(y2+1) C.sin x>sin y D.x3>y3 答案 D 解析 因為0y.采用賦值法判斷,A中,當(dāng)x=1,y=0時,<1,A不成立.B中,當(dāng)x=0,y=-1時,ln 1

16、數(shù)a的取值范圍是________. 答案 [1,] 解析 畫可行域如圖所示,設(shè)目標函數(shù)z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,則a>0,數(shù)形結(jié)合知,滿足即可,解得1≤a≤.所以a的取值范圍是1≤a≤. 押題精練 1.為了迎接2014年3月8日的到來,某商場舉行了促銷活動,經(jīng)測算某產(chǎn)品的銷售量P萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用x萬元滿足P=3-,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本(10+2P)萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為(4+)萬元/萬件.則促銷費用投入 萬元時,廠家的利潤最大?(  ) A.1 B.1.5 C.2 D.3 答案 A

17、 解析 設(shè)該產(chǎn)品的利潤為y萬元,由題意知,該產(chǎn)品售價為2×()萬元,所以y=2×()×P-10-2P-x=16--x(x>0),所以y=17-(+x+1)≤17-2=13(當(dāng)且僅當(dāng)=x+1,即x=1時取等號),所以促銷費用投入1萬元時,廠家的利潤最大,故選A. 2.若點P(x,y)滿足線性約束條件點A(3,),O為坐標原點,則·的最大值為________. 答案 6 解析 由題意,知=(3,),設(shè)=(x,y),則·=3x+y. 令z=3x+y, 如圖畫出不等式組所表示的可行域, 可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點B時,z取得最大值. 由解得即B(1,),故z的最大值為3×1+×=6

18、. 即·的最大值為6. (推薦時間:50分鐘) 一、選擇題 1.(2014·四川)若a>b>0,c B.< C.> D.< 答案 D 解析 令a=3,b=2,c=-3,d=-2, 則=-1,=-1, 所以A,B錯誤; =-,=-, 所以<, 所以C錯誤.故選D. 2.下列不等式一定成立的是(  ) A.lg>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 答案 C 解析 應(yīng)用基本不等式:x,y>0,≥(當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時取等號)逐個分析,注意基

19、本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件. 當(dāng)x>0時,x2+≥2·x·=x, 所以lg≥lg x(x>0),故選項A不正確; 運用基本不等式時需保證一正二定三相等, 而當(dāng)x≠kπ,k∈Z時,sin x的正負不定,故選項B不正確; 由基本不等式可知,選項C正確; 當(dāng)x=0時,有=1,故選項D不正確. 3.(2013·重慶)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a等于(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,因a>0,所以不等式的解集為(-2a,4a)

20、,即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,解得a=. 4.(2014·重慶)若log4(3a+4b)=log2,則a+b的最小值是(  ) A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4 答案 D 解析 由題意得所以 又log4(3a+4b)=log2, 所以log4(3a+4b)=log4ab, 所以3a+4b=ab,故+=1. 所以a+b=(a+b)(+)=7++ ≥7+2=7+4, 當(dāng)且僅當(dāng)=時取等號.故選D. 5.已知變量x,y滿足約束條件,則z=x+2y-1的最大值為(  ) A.9 B.8 C.7 D.6

21、 答案 B 解析 約束條件所表示的區(qū)域如圖, 由圖可知,當(dāng)目標函數(shù)過A(1,4)時取得最大值,故z=x+2y-1的最大值為1+2×4-1=8. 二、填空題 6.已知f(x)是R上的減函數(shù),A(3,-1),B(0,1)是其圖象上兩點,則不等式|f(1+ln x)|<1的解集是________. 答案 (,e2) 解析 ∵|f(1+ln x)|<1, ∴-1

22、則實數(shù)a的值為________. 答案 1 解析 畫出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示,則當(dāng)直線z=2x+3y過點A(a,a)時,z=2x+3y取得最大值5,所以5=2a+3a,解得a=1. 8.若點A(1,1)在直線2mx+ny-2=0上,其中mn>0,則+的最小值為________. 答案 + 解析 ∵點A(1,1)在直線2mx+ny-2=0上, ∴2m+n=2, ∵+=(+)=(2+++1) ≥(3+2)=+, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即n=m時取等號, ∴+的最小值為+. 三、解答題 9.設(shè)集合A為函數(shù)y=ln(-x2-2x+8)的定義域,集合B為函數(shù)y=x+的值域,集

23、合C為不等式(ax-)(x+4)≤0的解集. (1)求A∩B; (2)若C??RA,求a的取值范圍. 解 (1)由-x2-2x+8>0得-40,即x>-1時y≥2-1=1, 此時x=0,符合要求; 當(dāng)x+1<0,即x<-1時,y≤-2-1=-3, 此時x=-2,符合要求. 所以B=(-∞,-3]∪[1,+∞), 所以A∩B=(-4,-3]∪[1,2). (2)(ax-)(x+4)=0有兩根x=-4或x=. 當(dāng)a>0時,C={x|-4≤x≤},不可能C??RA; 當(dāng)a<0時,C={x|x≤-4或

24、x≥}, 若C??RA,則≥2,∴a2≤, ∴-≤a<0.故a的取值范圍為[-,0). 10.已知函數(shù)f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值,且00; (2)若z=a+2b,求z的取值范圍. (1)證明 求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù) f′(x)=ax2-2bx+2-b. 由函數(shù)f(x)在x=x1處取得極大值, 在x=x2處取得極小值, 知x1、x2是f′(x)=0的兩個根, 所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2). 當(dāng)x0, 由x-x1<0,x

25、-x2<0得a>0. (2)解 在題設(shè)下,0

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