【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標系與參數(shù)方程學(xué)案 理 新人教A版
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1、 學(xué)案75 坐標系與參數(shù)方程 導(dǎo)學(xué)目標:1.了解坐標系的有關(guān)概念,理解簡單圖形的極坐標方程.2.會進行極坐標方程與直角坐標方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程,會進行參數(shù)方程與普通方程的互化,并能進行簡單應(yīng)用. 自主梳理 1.極坐標系的概念 在平面上取一個定點O,叫做極點;自極點O引一條射線Ox,叫做________;再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個____________. 設(shè)M是平面上任一點,極點O與點M的距離OM叫做點M的________,記為ρ;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點M的
2、________,記為θ.有序數(shù)對(ρ,θ)叫做點M的__________,記作(ρ,θ). 2.極坐標和直角坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,設(shè)M是平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是(x,y),極坐標為(ρ,θ),則它們之間的關(guān)系為x=__________,y=__________.另一種關(guān)系為:ρ2=__________,tan θ=______________. 3.簡單曲線的極坐標方程 (1)一般地,如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標適合方程φ(ρ,θ)=0,并且坐標適合方程φ(ρ,θ)=0的點都在曲線上,那么方程φ(
3、ρ,θ)=0叫做曲線的____________. (2)常見曲線的極坐標方程 ①圓的極坐標方程 ____________表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓; ____________表示圓心在(r,)半徑為|r|的圓; ________表示圓心在極點,半徑為|r|的圓. ②直線的極坐標方程 ____________表示過極點且與極軸成α角的直線; ____________表示過(a,0)且垂直于極軸的直線; ____________表示過(b,)且平行于極軸的直線; ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)表示過(ρ0,θ0)且與極軸成α角的直線方程. 4.常見曲線的
4、參數(shù)方程 (1)直線的參數(shù)方程 若直線過(x0,y0),α為直線的傾斜角,則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程,其中參數(shù)l有明顯的幾何意義. (2)圓的參數(shù)方程 若圓心在點M(a,b),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為0≤α<2π. (3)橢圓的參數(shù)方程 中心在坐標原點的橢圓+=1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)). (4)拋物線的參數(shù)方程 拋物線y2=2px(p>0)的參數(shù)方程為 自我檢測 1.(2010·北京)極坐標方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的圖形是( ) A.兩個圓 B.兩條直線 C.一個圓和一條射線 D.一條直線和一條射線 2.(2010·湖南
5、)極坐標方程ρ=cos θ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是( ) A.圓、直線 B.直線、圓 C.圓、圓 D.直線、直線 3.(2010·重慶)直線y=x+與圓心為D的圓(θ∈[0,2π))交于A、B兩點,則直線AD與BD的傾斜角之和為( ) A.π B.π C.π D.π 4.(2011·廣州一模)在極坐標系中,直線ρsin(θ+)=2被圓ρ=4截得的弦長為________. 5.(2010·陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρsin θ=1,則直線l與圓
6、C的交點的直角坐標為________________. 探究點一 求曲線的極坐標方程 例1 在極坐標系中,以(,)為圓心,為半徑的圓的方程為________. 變式遷移1 如圖,求經(jīng)過點A(a,0)(a>0),且與極軸垂直的直線l的極坐標方程. 探究點二 極坐標方程與直角坐標方程的互化 例2 (2009·遼寧)在直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立坐標系.曲線C的極坐標方程為ρcos=1,M、N分別為C與x軸,y軸的交點. (1)寫出C的直角坐標方程,并求M、N的極坐標; (2)設(shè)MN的中點為P,求直線OP的極坐
7、標方程. 變式遷移2 (2010·東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標系下,已知圓O:ρ=cos θ+sin θ和直線l:ρsin(θ-)=, (1)求圓O和直線l的直角坐標方程; (2)當θ∈(0,π)時,求直線l與圓O公共點的一個極坐標. 探究點三 參數(shù)方程與普通方程的互化 例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程: (1);(2);(3). 變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程,并作出曲線的草圖. (1)(θ為參數(shù)); (2) (t為參數(shù)).
8、 探究點四 參數(shù)方程與極坐標的綜合應(yīng)用 例4 求圓ρ=3cos θ被直線(t是參數(shù))截得的弦長. 變式遷移4 (2011·課標全國)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) M是C1上的動點,P點滿足=2,P點的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程; (2)在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線θ=與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求|AB|. 本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點:一、簡單曲線的極坐標方程可結(jié)合極坐標系中ρ和θ的具體含義求出,也可利用極坐標方程與直角坐標方程的互化得出.同
9、直角坐標方程一樣,由于建系的不同,曲線的極坐標方程也會不同.在沒有充分理解極坐標的前提下,可先化成直角坐標解決問題.二、在普通方程中,有些F(x,y)=0不易得到,這時可借助于一個中間變量(即參數(shù))來找到變量x,y之間的關(guān)系.同時,在直角坐標系中,很多比較復(fù)雜的計算(如圓錐曲線),若借助于參數(shù)方程來解決,將會大大簡化計算量.將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù),此時要注意其中的x,y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍,也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性.參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有:代入消元、加減消元、平方后相加減消元等.同極坐標方程一樣,在沒有充分理
10、解參數(shù)方程的前提下,可先化成直角坐標方程再去解決相關(guān)問題. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.在極坐標系中,與點(3,-)關(guān)于極軸所在直線對稱的點的極坐標是( ) A.(3,π) B.(3,) C.(3,π) D.(3,π) 2.曲線的極坐標方程為ρ=2cos2-1的直角坐標方程為( ) A.x2+(y-)2= B.(x-)2+y2= C.x2+y2= D.x2+y2=1 3.(2010·湛江模擬)在極坐標方程中,曲線C的方程是ρ=4sin θ,過點(4,)作曲線C的切線,則切線長為( ) A.4 B
11、. C.2 D.2 4.(2010·佛山模擬)已知動圓方程x2+y2-xsin 2θ+2·ysin(θ+)=0(θ為參數(shù)),那么圓心的軌跡是( ) A.橢圓 B.橢圓的一部分 C.拋物線 D.拋物線的一部分 5.(2010·安徽)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的方程為x-3y+2=0,則曲線C上到直線l距離為的點的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.(2010·天津)已知圓C的圓心是直線(t為參數(shù))與x軸的交點,且圓C與直線x+y+3=0相切,則圓C的方程為_
12、_______. 7.(2011·廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R),它們的交點坐標為________. 8.(2010·廣東深圳高級中學(xué)一模)在直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),若以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系,則圓C的極坐標方程為________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)(2011·江蘇)在平面直角坐標系xOy中,求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點,且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程. 10.(12分)(2010·福建)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標系(與直角坐標
13、系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程; (2)設(shè)圓C與直線l交于點A,B.若點P的坐標為(3,),求|PA|+|PB|. 11.(14分)(2010·課標全國)已知直線C1:(t為參數(shù)),圓C2:(θ為參數(shù)). (1)當α=時,求C1與C2的交點坐標; (2)過坐標原點O作C1的垂線,垂足為A,P為OA的中點,當α變化時,求P點軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線. 學(xué)案75 坐標系與參數(shù)方程 自主
14、梳理 1.極軸 極坐標系 極徑 極角 極坐標 2.ρcos θ ρsin θ x2+y2 (x≠0) 3.(1)極坐標方程 (2)①ρ=2rcos θ ρ=2rsin θ ρ=r?、讦龋溅?ρ∈R) ρcos θ=a ρsin θ=b 自我檢測 1.C 2.A 3.C 4.4 5.(-1,1),(1,1) 解析 ∵y=ρsin θ, ∴直線l的直角坐標方程為y=1. 由得x2+(y-1)2=1. 由得或 ∴直線l與圓C的交點的直角坐標為(-1,1)和(1,1). 課堂活動區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 求曲線的極坐標方程的步驟:①建立適當?shù)臉O坐標系,設(shè)P(ρ,θ)是曲線上任意一點;
15、②由曲線上的點所適合的條件,列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式;③將列出的關(guān)系式進行整理、化簡,得出曲線上的極坐標方程;④證明所得方程就是曲線的極坐標方程,若方程的推導(dǎo)過程正確,化簡過程都是同解變形,這一證明可以省略. 答案 ρ=asin θ,0≤θ<π 解析 圓的直徑為a,設(shè)圓心為C,在圓上任取一點A(ρ,θ), 則∠AOC=-θ或θ-, 即∠AOC=|θ-|. 又ρ=acos∠AOC=acos|θ-|=asin θ. ∴圓的方程是ρ=asin θ,0≤θ<π. 變式遷移1 解 設(shè)P(ρ,θ)是直線l上任意一點,OPcos θ=OA, 即ρcos θ=a,
16、故所求直線的極坐標方程為ρcos θ=a. 例2 解題導(dǎo)引 直角坐標方程化為極坐標方程比較容易,只要運用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化簡即可;而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些,解此類問題常通過變形,構(gòu)造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,進行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對方程進行變形時,方程必須同解,因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗. 解 (1)由ρcos=1得 ρ=1. 從而C的直角坐標方程為x+y=1, 即x+y=2,當θ=0時,ρ=2,所以M(2,0). 當θ=時,ρ=,所以N. (2)M點的
17、直角坐標為(2,0). N點的直角坐標為(0,). 所以P點的直角坐標為, 則P點的極坐標為, 所以直線OP的極坐標方程為θ=,ρ∈(-∞,+∞). 變式遷移2 解 (1)圓O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圓O的直角坐標方程為x2+y2=x+y, 即x2+y2-x-y=0. 直線l:ρsin(θ-)=,即ρsin θ-ρcos θ=1, 則直線l的直角坐標方程為y-x=1, 即x-y+1=0. (2)由得 故直線l與圓O公共點的一個極坐標為(1,). 例3 解題導(dǎo)引 參數(shù)方程通過消去參數(shù)化為普通方程.對于(1)直接消去參數(shù)k有困難
18、,可通過兩式相除,先降低k的次數(shù),再運用代入法消去k;對于(2)可運用恒等式(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ消去θ;對于(3)可運用恒等式()2+()2=1消去t. 另外,參數(shù)方程化為普通方程時,不僅要消去參數(shù),還應(yīng)注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致. 解 (1)兩式相除,得k=.將k=代入,得x=. 化簡,得所求的普通方程是4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得y2=2-x. 又x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程是y2=2-x,x∈[0,2]. (3)由
19、()2+()2=1,
得x2+4y2=1.
又x=≠-1,
得所求的普通方程是x2+4y2=1(x≠-1).
變式遷移3 解 (1)由y2=(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=1+2x,
得y2=2x+1.
∵-≤sin 2θ≤,∴-≤x≤.
∵-≤sin θ+cos θ≤,∴-≤y≤.
故所求普通方程為
y2=2 (-≤x≤,-≤y≤),圖形為拋物線的一部分.
圖形如圖甲所示.
(2)由x2+y2=2+2=1及x=≠0,xy=≥0知,所求軌跡為兩段圓弧x2+y2=1 (0 20、題導(dǎo)引 一般將參數(shù)方程化為普通方程,極坐標方程化成直角坐標方程解決.
解 將極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程:
ρ=3cos θ即:x2+y2=3x,
即(x-)2+y2=.即:2x-y-3=0.
所以圓心到直線的距離d==0,
即直線經(jīng)過圓心,
所以圓被直線截得的弦長為3.
變式遷移4 解 (1)設(shè)P(x,y),則由條件知M(,).
由于M點在C1上,
所以即
從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))
(2)曲線C1的極坐標方程為ρ=4sin θ,曲線C2的極坐標方程為ρ=8sin θ.
射線θ=與C1的交點A的極徑為ρ1=4sin,
射線θ=與C2的交點B的極徑為ρ2=8si 21、n.
所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
課后練習(xí)區(qū)
1.B [由于極徑不變,極角關(guān)于極軸對稱,
∴其對稱點為(3,).故選B.]
2.B [∵ρ=2cos2-1,∴ρ2=ρcos θ即x2+y2=x,
∴(x-)2+y2=.]
3.C [ρ=4sin θ化為普通方程為x2+(y-2)2=4,點(4,)化為直角坐標為(2,2),切線長、圓心到定點的距離及半徑構(gòu)成直角三角形,由勾股定理:切線長為=2,故選C.]
4.D [圓心軌跡的參數(shù)方程為
即
消去參數(shù)得y2=1+2x(-≤x≤),故選D.]
5.B [∵曲線C的方程為(θ為參數(shù)),
∴(x-2)2+(y+1)2= 22、9,而l為x-3y+2=0,
∴圓心(2,-1)到l的距離d===.又∵<3,>3,∴有2個點.]
6.(x+1)2+y2=2
解析 直線(t為參數(shù))與x軸的交點為(-1,0),故圓C的圓心為(-1,0).又圓C與直線x+y+3=0相切,∴圓C的半徑為r==,∴圓C的方程為(x+1)2+y2=2.
7.(1,)
解析 將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為+y2=1(0≤y≤1,- 23、 θ-2)2=4,整理得ρ=4sin θ.
9.解 由題設(shè)知,橢圓的長半軸長a=5,短半軸長b=3,從而c==4,所以右焦點為(4,0).將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程:x-2y+2=0.(6分)
故所求直線的斜率為,因此其方程為y=(x-4),(8分)
即x-2y-4=0.(12分)
10.解 方法一 (1)ρ=2sin θ,得x2+y2-2y=0,
即x2+(y-)2=5.(4分)
(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,得
(3-t)2+(t)2=5,即t2-3t+4=0.(6分)
由于Δ=(3)2-4×4=2>0,故可設(shè)t1,t2是上述方程的兩實根,所以
又直線 24、l過點P(3,),
故由上式及t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.(12分)
方法二 (1)同方法一.
(2)因為圓C的圓心為點(0,),半徑r=,直線l的普通方程為y=-x+3+.(8分)
由得x2-3x+2=0.
解得或(10分)
不妨設(shè)A(1,2+),B(2,1+),又點P的坐標為(3,),
故|PA|+|PB|=+=3.(12分)
11.解 (1)當α=時,C1的普通方程為y=(x-1),C2的普通方程為x2+y2=1,聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點坐標為(1,0),(,-).(7分)
(2)C1的普通方程為xsin α-ycos α-sin α=0.
A點坐標為(sin2α,-cos αsin α),
故當α變化時,P點軌跡的參數(shù)方程為
(α為參數(shù)).(9分)
P點軌跡的普通方程為(x-)2+y2=.(12分)
故P點軌跡是圓心為(,0),半徑為的圓.
(14分)
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