【考點(diǎn)訓(xùn)練】換元法解一元二次方程-1

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1、 【考點(diǎn)訓(xùn)練】換元法解一元二次方程-1 　 一、選擇題（共5小題） 1．（2016?羅平縣校級模擬）方程x2+8x+9=0配方后，下列正確的是（　?。? A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7 2．（2014?始興縣校級模擬）已知a，b為實(shí)數(shù)，（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，則代數(shù)式a2+b2的值為（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．3或﹣2 3．（2015秋?盧龍縣期中）已知實(shí)數(shù)a、b滿足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）=8，則a2+b2的值為（　?。? A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2 4．（2

2、014秋?沈丘縣校級期末）若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，則x+y的值是（　?。? A．2 B．3 C．﹣2或3 D．2或﹣3 5．（2014秋?鄧州市校級期末）如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值為（　?。? A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3 　 二、填空題（共5小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值） 6．（2016春?蕭山區(qū)期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，則x2+y2=　　　?。? 7．（2016?磴口縣校級二模）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，則x2+y2=　　　?。? 8．（2013秋?蘇州期末）已知（x2+y2

3、+1）（x2+y2+2）=6，則x2+y2的值為　　　　． 9．（2014春?鶴崗校級期末）若（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，則x2+y2=　　　　． 10．（2015?呼和浩特）若實(shí)數(shù)a、b滿足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，則a+b=　　　?。? 　 三、解答題（共16小題）（選答題，不自動判卷） 11．（2011秋?西吉縣校級期中）閱讀材料：為了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我們可以將x2﹣1視為一個整體，然后設(shè)x2﹣1=y，（x2﹣1）2=y2， 則原方程可化為y2﹣5y+4=0① 解得y1=1，y2=4． 當(dāng)y=1時，x2﹣1=1，

4、x2=2，∴x=± 當(dāng)y=4時，x2﹣1=4，x2=5，∴x=± ∴原方程的解為：x1= 解答問題：仿造上題解方程：x4﹣6x2+8=0． 12．（2013秋?詔安縣期中）解下列方程 ①x2﹣8x+9=0 ②（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0． 13．（2012秋?新都區(qū)期末）閱讀材料：x4﹣6x2+5=0是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的通常解法是：設(shè)x2=y，那么x4=y2，于是方程變?yōu)閥2﹣6y+5=0①，解這個方程，得y1=1，y2=5，當(dāng)y1=1時，x2=1，x=±1，當(dāng)y=5時，x2=5，x=±，所以原方程有四個根x1=1，x2=﹣1，x3=，x4= （1）

5、在由原方程得到方程①的過程中，利用　　　　法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了　　　　的教學(xué)思想． （2）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0． 14．（2011秋?安寧市校級期中）解方程：（x+2）2﹣3（x+2）+2=0． 15．（2015秋?咸陽校級月考）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值． 16．（2015秋?微山縣校級期中）為解方程x4﹣5x2+4=0，我們可以將x2視為一個整體，然后設(shè)x2=y，則x4=y2， 原方程化為y2﹣5y+4=0．① 解得y1=1，y2=4 當(dāng)y=1時，x2=1．∴x=±1 當(dāng)y=4時，x2=4，∴x=±2． ∴

6、原方程的解為x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2 解答問題： （1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用　　　　法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了　　　　的數(shù)學(xué)思想． （2）解方程：（x2﹣2x）2+x2﹣2x﹣6=0． 17．（2008秋?鄭州校級期末）閱讀下面的解題過程：解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24=0 解：把4x﹣1視為一個整體，設(shè)4x﹣1=y 則原方程可化為：y2﹣10y+24=0 解之得：y1=6，y2=4，∴4x﹣1=6或4x﹣1=4 ∴x1=，x2=這種解方程的方法叫換元法． 請仿照上例，用換元法解方程：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10=0

7、 18．（2012春?潁上縣校級期中）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2=0 19．（2011秋?榮昌縣期中）（換元法）解方程：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0 解：設(shè)x2﹣3x=y則原方程可化為y2﹣2y﹣8=0 解得：y1=﹣2，y2=4當(dāng)y=﹣2時，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1 當(dāng)y=4時，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1 ∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1， 根據(jù)以上材料，請解方程：（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0． 20．（2013?長汀縣一模）閱讀下面材料：解答問題 為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+

8、4=0，我們可以將（x2﹣1）看作一個整體，然后設(shè)x2﹣1=y，那么原方程可化為y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．當(dāng)y=1時，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；當(dāng)y=4時，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解為x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣． 上述解題方法叫做換元法；請利用換元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0． 21．（2009?中山）小明用下面的方法求出方程2﹣3=0的解，請你仿照他的方法求出下面另外兩個方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中． 方程 換元法得新方程 　解新方程 檢驗(yàn) 求原方程的解 2﹣3=0 令=t，則2

9、t﹣3=0 t= t=＞0 =，所以x= x﹣2+1=0 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 x+2+=0 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 22．（2015?遂寧）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題． 計(jì)算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）． 令++=t，則 原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t =t+﹣t2﹣t﹣t+t2 = 問題： （1）計(jì)算 （1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）； （2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7． 23．（2012秋?太原

10、期中）請同學(xué)們認(rèn)真閱讀下面材料，然后解答問題． 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0 解：設(shè)y=x2﹣1 則原方程化為：y2﹣5y+4=0 ①∴y1=1 y2=4 當(dāng)y=1時，有x2﹣1=1，即x2=2∴x=± 當(dāng)y=4時，有x2﹣1=4，即x2=5∴x=± ∴原方程的解為：x1=﹣x2=x3=﹣x4= 解答問題： （1）填空：在由原方程得到①的過程中，利用　　　　法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了　　　　的數(shù)學(xué)思想． （2）解方程（x2﹣3）2﹣3（x2﹣3）=0． 24．（2012秋?南雄市期中）閱讀下面的例題，解方程（x﹣1）2﹣5|x﹣1|﹣6=0，解方程x2﹣

11、|x|﹣2=0； 解：原方程化為|x|2﹣|x|﹣2=0．令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0 解得：y1=2y2=﹣1 當(dāng)|x|=2，x=±2；當(dāng)|x|=﹣1時（不合題意，舍去） ∴原方程的解是x1=2，x2=﹣2． 25．（2013秋?源城區(qū)校級期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń猓? （1）（x+4）2=5（x+4） （2）2x2﹣10x=3． 26．（2015秋?太倉市期中）閱讀下面的材料，回答問題： 解方程x4﹣5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是： 設(shè)x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．

12、 當(dāng)y=1時，x2=1，∴x=±1； 當(dāng)y=4時，x2=4，∴x=±2； ∴原方程有四個根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的過程中，利用　　　　法達(dá)到　　　　的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0． 　 【考點(diǎn)訓(xùn)練】換元法解一元二次方程-1 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共5小題） 1．（2016?羅平縣校級模擬）方程x2+8x+9=0配方后，下列正確的是（　?。? A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7 【解答】解：x2

13、+8x+9=0， x2+8x=﹣9， x2+8x+42=﹣9+42， （x+4）2=7， 故選：A． 　 2．（2014?始興縣校級模擬）已知a，b為實(shí)數(shù)，（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，則代數(shù)式a2+b2的值為（　?。? A．2 B．3 C．﹣2 D．3或﹣2 【解答】解：設(shè)a2+b2=x， 原方程變形為，x2﹣x﹣6=0， 解得x=3或﹣2， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2=3， 故選B． 　 3．（2015秋?盧龍縣期中）已知實(shí)數(shù)a、b滿足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）=8，則a2+b2的值為（　?。? A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4

14、或2 【解答】解：設(shè)a2+b2=x， 原方程變?yōu)椋簒2﹣2x=8， x2﹣2x﹣8=0， （x﹣4）（x+2）=0， 解得：x1=4，x2=﹣2， 因?yàn)槠椒胶褪欠秦?fù)數(shù)， 所以a2+b2的值為4； 故選B． 　 4．（2014秋?沈丘縣校級期末）若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，則x+y的值是（　　） A．2 B．3 C．﹣2或3 D．2或﹣3 【解答】解：設(shè)t=x+y，則原方程可化為：t（1﹣t）+6=0 即﹣t2+t+6=0 t2﹣t﹣6=0 ∴t=﹣2或3，即x+y=﹣2或3 故選C 　 5．（2014秋?鄧州市校級期末）如果（x+2y）2+3（x+2

15、y）﹣4=0，那么x+2y的值為（　?。? A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3 【解答】解：設(shè)x+2y=a，則原方程變形為a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或a=1．故選C． 　 二、填空題（共5小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值） 6．（2016春?蕭山區(qū)期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，則x2+y2=　4?。? 【解答】解：設(shè)t=x2+y2（t≥0），則原方程可化為：t（t﹣1）﹣12=0， 即t2﹣t﹣12=0， ∴（t﹣4）（t+3）=0， ∴t=4，或t=﹣3（不合題意，舍去）， ∴x2+y2=4． 故答案是：4． 　 7．（2016?磴口縣

16、校級二模）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，則x2+y2=　6　． 【解答】解：設(shè)x2+y2=t（t≥0）．則 t2﹣5t﹣6=0，即（t﹣6）（t+1）=0， 解得，t=6或t=﹣1（不合題意，舍去）； 故x2+y2=6． 故答案是：6． 　 8．（2013秋?蘇州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，則x2+y2的值為　1?。? 【解答】解：令x2+y2=t，將原方程化為（t+1）（t+2）=6， 即（t﹣1）（t+4）=0， 解得t1=1，t2=﹣4， ∵t≥0，∴t=1， ∴x2+y2=1， 故答案為1． 　 9．（2014春?鶴崗

17、校級期末）若（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，則x2+y2=　5?。? 【解答】解：設(shè)x2+y2=t， 則原式變形為：t2﹣4t﹣5=0， ∴（t﹣2）2﹣9=0， ∴（t﹣2）2=9， ∴t=5或﹣1． ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2=5． 　 10．（2015?呼和浩特）若實(shí)數(shù)a、b滿足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，則a+b=　﹣或1?。? 【解答】解：設(shè)a+b=x，則由原方程，得 4x（4x﹣2）﹣8=0， 整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0， 分解得：（2x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣，x2=1． 則a+b的

18、值是﹣或1． 故答案是：﹣或1． 　 三、解答題（共16小題）（選答題，不自動判卷） 11．（2011秋?西吉縣校級期中）閱讀材料：為了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我們可以將x2﹣1視為一個整體，然后設(shè)x2﹣1=y，（x2﹣1）2=y2， 則原方程可化為y2﹣5y+4=0① 解得y1=1，y2=4． 當(dāng)y=1時，x2﹣1=1，x2=2，∴x=± 當(dāng)y=4時，x2﹣1=4，x2=5，∴x=± ∴原方程的解為：x1= 解答問題：仿造上題解方程：x4﹣6x2+8=0． 【解答】解：設(shè)x2=y，x4=y2，則原方程可化為y2﹣6y+8=0， 解得y1=2，y2

19、=4． 當(dāng)y=2時，， 當(dāng)y=4時，x2=4，x=±2． ∴原方程的解為：． 　 12．（2013秋?詔安縣期中）解下列方程 ①x2﹣8x+9=0 ②（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0． 【解答】解：（1）移項(xiàng)為： x2﹣8x=﹣9， 配方為： ∴x2﹣8x+16=7 ∴（x﹣4）2=7， 開平方為： x﹣4=±， ∴x1=+4，x2=﹣+4； （2）設(shè)5x﹣1=a，則原方程變形為： a2﹣3a=0， a（a﹣3）=0， ∴a1=0，a2=3． 當(dāng)5x﹣1=0，時， x1=， 當(dāng)5x﹣1=3時， x2=， ∴x1=，x2=． 　 13．（20

20、12秋?新都區(qū)期末）閱讀材料：x4﹣6x2+5=0是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的通常解法是：設(shè)x2=y，那么x4=y2，于是方程變?yōu)閥2﹣6y+5=0①，解這個方程，得y1=1，y2=5，當(dāng)y1=1時，x2=1，x=±1，當(dāng)y=5時，x2=5，x=±，所以原方程有四個根x1=1，x2=﹣1，x3=，x4= （1）在由原方程得到方程①的過程中，利用　換元　法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了　轉(zhuǎn)化　的教學(xué)思想． （2）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0． 【解答】解：（1）換元，轉(zhuǎn)化 （2）解：設(shè)x2﹣x=a，原方程可化為a2﹣4a﹣12=0， 解得a=﹣2或6， 當(dāng)a=

21、﹣2時，x2﹣x+2=0 △=（﹣1）2﹣8=﹣7＜0，此方程無實(shí)數(shù)根， 當(dāng)a=6時，即x2﹣x﹣6=0， （x﹣3）（x+2）=0， ∴x1=3，x2=﹣2 ∴原方程有兩個根x1=3，x2=﹣2． 　 14．（2011秋?安寧市校級期中）解方程：（x+2）2﹣3（x+2）+2=0． 【解答】解：令x+2=t，原方程可化為t2﹣3t+2=0， （t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2， ∴x+2=1或x+2=2， ∴x1=﹣1，x2=0． 　 15．（2015秋?咸陽校級月考）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值． 【解答】解：設(shè)a

22、2+b2=y 據(jù)題意得y2﹣y﹣6=0 解得y1=3，y2=﹣2 ∵a2+b2≥0 ∴a2+b2=3． 　 16．（2015秋?微山縣校級期中）為解方程x4﹣5x2+4=0，我們可以將x2視為一個整體，然后設(shè)x2=y，則x4=y2， 原方程化為y2﹣5y+4=0．① 解得y1=1，y2=4 當(dāng)y=1時，x2=1．∴x=±1 當(dāng)y=4時，x2=4，∴x=±2． ∴原方程的解為x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2 解答問題： （1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用　換元　法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了　轉(zhuǎn)化　的數(shù)學(xué)思想． （2）解方程：（x2﹣2x）2+x2﹣

23、2x﹣6=0． 【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 故答案為換元，轉(zhuǎn)化； （2）設(shè)x2﹣2x=t， 原方程化為t2+t﹣6=0，解得t1=﹣3，t2=2， 當(dāng)t=﹣3時，x2﹣2x=﹣3，即x2﹣2x+3=0，此方程無實(shí)數(shù)解； 當(dāng)t=2時，x2﹣2x=2，解得x1=1+，x2=1﹣， 所以原方程的解為x1=1+，x2=1﹣． 　 17．（2008秋?鄭州校級期末）閱讀下面的解題過程：解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24=0 解：把4x﹣1視為一個整體，設(shè)4x﹣1=y 則原方程可化為：y2﹣10y+2

24、4=0 解之得：y1=6，y2=4，∴4x﹣1=6或4x﹣1=4 ∴x1=，x2=這種解方程的方法叫換元法． 請仿照上例，用換元法解方程：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10=0 【解答】解：設(shè)x﹣2=y，則原方程可化為：y2﹣3y﹣10=0， 解之得：y1=5，y2=﹣2， ∴x﹣2=5或x﹣2=﹣2 ∴x1=7，x2=0． 　 18．（2012春?潁上縣校級期中）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2=0 【解答】解：設(shè)y﹣3=t，則原方程即t2+3t+2=0 解得t=﹣1或﹣2 所以y﹣2=0或y﹣1=0， 解得，y=2或y=1． 　 19．（2011秋?榮昌縣期中）（

25、換元法）解方程：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0 解：設(shè)x2﹣3x=y則原方程可化為y2﹣2y﹣8=0 解得：y1=﹣2，y2=4當(dāng)y=﹣2時，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1 當(dāng)y=4時，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1 ∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1， 根據(jù)以上材料，請解方程：（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0． 【解答】解：設(shè)2x2﹣3x=y，原方程轉(zhuǎn)化為：y2+5y+4=0（1分）， 解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分） 當(dāng)y1=﹣4時，2x2﹣3x+4=0，無實(shí)數(shù)根．（4分） 當(dāng)y2=﹣1時，2x2﹣3x

26、+1=0，解得x1=，x2=1． 故原方程根為x1=，x2=1．（6分） 　 20．（2013?長汀縣一模）閱讀下面材料：解答問題 為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我們可以將（x2﹣1）看作一個整體，然后設(shè)x2﹣1=y，那么原方程可化為y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．當(dāng)y=1時，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；當(dāng)y=4時，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解為x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣． 上述解題方法叫做換元法；請利用換元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0． 【解答】解：設(shè)x2﹣x=y，那么原方程可化為y2﹣4y﹣

27、12=0 解得y1=6，y2=﹣2 當(dāng)y=6時，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0 ∴x1=3，x2=﹣2 當(dāng)y=﹣2時，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0 ∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0 ∴方程無實(shí)數(shù)解 ∴原方程的解為：x1=3，x2=﹣2． 　 21．（2009?中山）小明用下面的方法求出方程2﹣3=0的解，請你仿照他的方法求出下面另外兩個方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中． 方程 換元法得新方程 　解新方程 檢驗(yàn) 求原方程的解 2﹣3=0 令=t，則2t﹣3=0 t= t=＞0 =，所以x= x﹣2+1=0 　令=t，則t2﹣2t+1=0　

28、 　t1=t2=1　 　t1=t2=1＞0　 　=1，所以x=1　 x+2+=0 　令=t，則t2+t=0　 　t1=0，t2=﹣1　 　t1=0≥0，t2=1＜0　 　=0，所以x=﹣2，　 【解答】解：填表如下： 方程 換元法得新方程 解新方程 檢驗(yàn) 求原方程的解 x﹣2+1=0 令=t，則t2﹣2t+1=0 t1=t2=1 t1=t2=1＞0 =1，所以x=1． x+2+=0 令=t，則t2+t=0 t1=0，t2=﹣1 t1=0≥0，t2=﹣1＜0 =0，所以x=﹣2． 　 22．（2015?遂寧）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決

29、問題． 計(jì)算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）． 令++=t，則 原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t =t+﹣t2﹣t﹣t+t2 = 問題： （1）計(jì)算 （1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）； （2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7． 【解答】解：（1）設(shè)++…+=t， 則原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t =t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t =； （2）設(shè)x2+5x+1=t， 則原方程化為：t（t+6）=7， t2+6t﹣7=0， 解得：t=﹣7或1， 當(dāng)t=1時，x

30、2+5x+1=1， x2+5x=0， x（x+5）=0， x=0，x+5=0， x1=0，x2=﹣5； 當(dāng)t=﹣7時，x2+5x+1=﹣7， x2+5x+8=0， b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0， 此時方程無解； 即原方程的解為：x1=0，x2=﹣5． 　 23．（2012秋?太原期中）請同學(xué)們認(rèn)真閱讀下面材料，然后解答問題． 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0 解：設(shè)y=x2﹣1 則原方程化為：y2﹣5y+4=0 ①∴y1=1 y2=4 當(dāng)y=1時，有x2﹣1=1，即x2=2∴x=± 當(dāng)y=4時，有x2﹣1=4，即x2=5∴x=± ∴原方程

31、的解為：x1=﹣x2=x3=﹣x4= 解答問題： （1）填空：在由原方程得到①的過程中，利用　換元　法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了　轉(zhuǎn)化　的數(shù)學(xué)思想． （2）解方程（x2﹣3）2﹣3（x2﹣3）=0． 【解答】解：（1）答案分別是：換元，轉(zhuǎn)化． （2）設(shè)y=x2﹣3，則原方程化為： y2﹣3y=0 y（y﹣3）=0 ∴y1=0，y2=3． 當(dāng)y1=0時，x2﹣3=0， ∴x1=，x2=﹣． 當(dāng)y2=3時，x2﹣3=3，x2=6， ∴x3=，x4=﹣． 因此原方程的根為：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣． 　 24．（2012秋?南雄市期中）閱讀下面的例題，解方程（x

32、﹣1）2﹣5|x﹣1|﹣6=0，解方程x2﹣|x|﹣2=0； 解：原方程化為|x|2﹣|x|﹣2=0．令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0 解得：y1=2y2=﹣1 當(dāng)|x|=2，x=±2；當(dāng)|x|=﹣1時（不合題意，舍去） ∴原方程的解是x1=2，x2=﹣2． 【解答】解：原方程化為|x﹣1|2﹣5|x﹣1|﹣6=0， 令y=|x﹣1|，原方程化成y2﹣5y﹣6=0， 解得：y1=6，y2=﹣1， 當(dāng)|x﹣1|=6， x﹣1=±6， 解得x1=7，x2=﹣5； 當(dāng)|x﹣1|=﹣1時（舍去）． 則原方程的解是x1=7，x2=﹣5． 　 25．（2013秋?源城區(qū)

33、校級期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń猓? （1）（x+4）2=5（x+4） （2）2x2﹣10x=3． 【解答】解：（1）設(shè)y=x+4則 原方程可化為y2=5y， 即y2﹣5y=0， 解得y1=5，y2=0， 當(dāng)y1=5時x1+4=5解得x1=1， 當(dāng)y2=0時x+4=0， 解得x2=﹣4， ∴x1=﹣4，x2=1； （2）2x2﹣10x=3， ∵a=2，b=﹣10，c=﹣3， ∴△=（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）=124＞0， ∴， ∴． 　 26．（2015秋?太倉市期中）閱讀下面的材料，回答問題： 解方程x4﹣5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該

34、方程的特點(diǎn)，它的解法通常是： 設(shè)x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4． 當(dāng)y=1時，x2=1，∴x=±1； 當(dāng)y=4時，x2=4，∴x=±2； ∴原方程有四個根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的過程中，利用　換元　法達(dá)到　降次　的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0． 【解答】解：（1）換元，降次 （2）設(shè)x2+x=y，原方程可化為y2﹣4y﹣12=0， 解得y1=6，y2=﹣2． 由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2． 由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0， b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此時方程無實(shí)根． 所以原方程的解為x1=﹣3，x2=2． 　 第13頁（共13頁）