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1、第5章 有關(guān)可數(shù)性的公理
§5.1 第一與第二可數(shù)性公理
本節(jié)重點(diǎn)：
掌握滿(mǎn)足第一與第二可數(shù)性公理的空間的定義及相互間的關(guān)系；
掌握滿(mǎn)足第一與第二可數(shù)性公理的空間有關(guān)連續(xù)映射的不變性、有限可積性、可遺傳性等問(wèn)題；
掌握滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理的空間中在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)及序列的性質(zhì)；
掌握常見(jiàn)的空間哪些空間是第一可數(shù)性公理空間,哪些是第二可數(shù)性公理空間．
從§2.6節(jié)的討論可知，基和鄰域基對(duì)于確定拓?fù)淇臻g的拓?fù)浜万?yàn)證映射的連續(xù)性都有著重要的意義，它們的元素的“個(gè)數(shù)”越少，討論起來(lái)越是方便．因此我們?cè)噲D對(duì)拓?fù)淇臻g的基或鄰域基的元素“個(gè)數(shù)”加以限制，但又希望加了限制的拓
2、撲空間仍能包容絕大多數(shù)常見(jiàn)的拓?fù)淇臻g，如：歐氏空間、度量空間等．以下的討論表明，將基或鄰域基的元素的“個(gè)數(shù)”限定為可數(shù)是恰當(dāng)?shù)模?
某拓?fù)淇臻g的一個(gè)基或在某一點(diǎn)處的一個(gè)鄰域基，如果是一個(gè)可數(shù)族，我們則分別稱(chēng)之為一個(gè)可數(shù)基和一個(gè)可數(shù)鄰域基．
定義5.1.1 一個(gè)拓?fù)淇臻g如果有一個(gè)可數(shù)基，則稱(chēng)這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理的空間，或簡(jiǎn)稱(chēng)為空間．
定理5.1.1 實(shí)數(shù)空間R滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理
證明 令B為所有以有理數(shù)為它的兩個(gè)端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間構(gòu)成的族．顯然B是一個(gè)可數(shù)族．
設(shè)U是R中的一個(gè)開(kāi)集，對(duì)于每一個(gè)x∈U，存在實(shí)數(shù)>0，使得以x為中心以為半徑的球形鄰域
B（
3、x,）=(x-,x+)U
選取有理數(shù)，使得
于是我們有．這也就是說(shuō)U可以表示為B中某些成員之并．這證明了B是R的一個(gè)基．
R有可數(shù)基B，所以R滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理．
由于離散空間中的每一個(gè)單點(diǎn)子集都是開(kāi)集，而一個(gè)單點(diǎn)集不能表為異于自身的非空集合的并，因此離散空間的每一個(gè)基必定包含著它的所有單點(diǎn)子集．所以包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間是不滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理的空間．
定義5.1.2 一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則稱(chēng)這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理的空間或簡(jiǎn)稱(chēng)為空間．
定理5.1.2 每一個(gè)度量空間都滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理．
證明 設(shè)X是一個(gè)度量
4、空間，x∈X則所有以x為中心以有理數(shù)為半徑的球形鄰域構(gòu)成x處的一個(gè)可數(shù)鄰域基．
例5.1.1 不滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理的空間的例子．
設(shè)X是包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間．我們證明X在它的任一點(diǎn)處都沒(méi)有可數(shù)鄰域基．因此X不滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理．
用反證法來(lái)證明這一點(diǎn)．設(shè)X在點(diǎn)x∈X處有一個(gè)可數(shù)鄰域基ψ．則對(duì)于任何y∈X,y≠x，∵，，因此 ,將這個(gè)包含關(guān)系式的兩邊分別對(duì)于X中所有的異于x的點(diǎn)求并，可見(jiàn)
由于X是一個(gè)不可數(shù)集，因此上式的左邊是一個(gè)不可數(shù)集；由于ψ中只有可數(shù)個(gè)元素，并且每一個(gè)元素的補(bǔ)集都是可數(shù)集，因此上式的右邊是一個(gè)可數(shù)集．矛盾．
定理5.1.3 每一個(gè)滿(mǎn)
5、足第二可數(shù)性公理的空間都滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理．
證明 設(shè)X是一個(gè)滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個(gè)可數(shù)基．對(duì)于每一個(gè)x∈X，根據(jù)定理2.6.7，
={B∈B|x∈B}
是點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基，它是B的一個(gè)子族所以是可數(shù)族．于是X在點(diǎn)x處有可數(shù)鄰域基B．
定理5.1.3的逆命題不成立．因?yàn)槿魏我粋€(gè)離散空間顯然滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理，而前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間不滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理．
定理5.1.4 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y是一個(gè)滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射．如果X滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理（滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理），則Y也滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理（滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理）．(這是
6、關(guān)于連續(xù)映射下是否保持的性質(zhì))
證明 設(shè)X滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理，是它的一個(gè)可數(shù)基．由于f是一個(gè)開(kāi)映射，={f(B)|B∈}是由Y中開(kāi)集構(gòu)成的一個(gè)可數(shù)族．只需證明是Y的一個(gè)基．設(shè)U是Y中的一個(gè)開(kāi)集，則(U)是X中的一個(gè)開(kāi)集．因此存在
由于f是一個(gè)滿(mǎn)射，我們有
即U是中某些元素的并．這完成是Y的一個(gè)基的證明．
本定理關(guān)于滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理的情形證明類(lèi)似，請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證．
根據(jù)定理5.1.4可見(jiàn)，拓?fù)淇臻g滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理和滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理的性質(zhì)都是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)．
拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)稱(chēng)為可遺傳性質(zhì)，如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有這個(gè)性質(zhì)那么它的任何一個(gè)子空間也都具有這
7、個(gè)性質(zhì)．
例如離散性，平庸性都是可遺傳的性質(zhì)，但連通性卻明顯是不可遺傳的．
拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)稱(chēng)為對(duì)于開(kāi)子空間（或閉子空間）可遺傳的性質(zhì)，如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有這個(gè)性質(zhì)那么它的任何一個(gè)開(kāi)子空間（閉于空間）也都具有這個(gè)性質(zhì)．
例如，局部連通性雖然不是可遺傳的性質(zhì)，但對(duì)于開(kāi)子空間卻是可遺傳的．（參見(jiàn)§4.4習(xí)題第3題）將來(lái)我們會(huì)接觸到一些對(duì)閉子空間可遺傳的性質(zhì)．
緊接著的兩個(gè)定理表明拓?fù)淇臻g滿(mǎn)足第一（或第二）可數(shù)性公理的性質(zhì)是可遺傳的，也是有限可積的．
定理5.1.5 滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理（滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理）的空間的任何一個(gè)子空間是滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理（滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理
8、）的空間．
證明 設(shè)X是一個(gè)滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個(gè)可數(shù)基．如果Y是X的一個(gè)子集，根據(jù)定理3.1.7，集族={B∩Y|B∈B}是子空間Y的一個(gè)基，它明顯是可數(shù)族．
本定理關(guān)于滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理的情形證明類(lèi)似，請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證．
定理5.1.6 設(shè)是n個(gè)滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理（滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理）的空間．則積空間滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理（滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理）．
證明 我們只要證明n＝2的情形．
設(shè)都是滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理的空間，分別是它們的可數(shù)基．根據(jù)定理3．2．4，集族
是積空間的一個(gè)基，它明顯是一個(gè)可數(shù)族．
本定理當(dāng)n＝2時(shí)關(guān)于滿(mǎn)足第一可數(shù)性公
9、理的情形證明類(lèi)似，請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證．
根據(jù)定理5.1.l，定理5.1.5和定理5.1.6，我們立即可知：（事實(shí)上，這個(gè)推論也容易直接證明（參見(jiàn)習(xí)題1）．）
推論5.1.7 n維歐氏空間的每一個(gè)子空間都滿(mǎn)足第二可數(shù)性公理．
本節(jié)的余下部分我們討論滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理的空間中序列的性質(zhì)．讀者將會(huì)看到在這種拓?fù)淇臻g中序列的性質(zhì)與我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中見(jiàn)到過(guò)的有著較多的類(lèi)似之處，特別是定理2.7.2和定理2.7.3的逆命題對(duì)于這類(lèi)拓?fù)淇臻g成立．
定理5.1.8 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．如果在x∈X處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則在點(diǎn)x處有一個(gè)可數(shù)鄰域基使得對(duì)于任何i∈有 ，即
證明 設(shè)
10、{}是點(diǎn)x∈X處的一個(gè)可數(shù)鄰域基．對(duì)于每一個(gè)i∈，令
容易直接驗(yàn)證便是點(diǎn)x處的滿(mǎn)足定理要求的一個(gè)可數(shù)鄰域基．
(即是個(gè)鄰域基套,一個(gè)套一個(gè)的．這個(gè)定理常用來(lái)選取趨向于x的序列中的點(diǎn)．)
定理5.1.9 設(shè)X是一個(gè)滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理的空間，AX．則點(diǎn)x∈X是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)的充分必要條件是在集合A－{x}中有一個(gè)序列收斂于x．
證明 定理的充分性部分的證明已見(jiàn)于第二章定理2.7.2，以下完成必要性部分的證明．
設(shè)x∈X是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，并且根據(jù)定理5.1.8可設(shè)是點(diǎn)x處的一個(gè)可數(shù)鄰域基套，滿(mǎn)足條件：對(duì)于每一個(gè)，i∈，,由于，可選取．序列{}是在A一{
11、x}中的．我們證明lim =x(x→∞)如下：
如果U是x的一個(gè)鄰域，則由于是x處的一個(gè)鄰域基套，所以存在N＞O使得．于是當(dāng)i≥N時(shí)，我們有
定理5.1.10 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理；x∈X．則映射f:X→Y在點(diǎn)x∈X處連續(xù)的充分必要條件是：如果X中的序列{}收斂于x，則Y中的序列{f()}收斂于f(x)．
證明 定理的必要性部分的證明已見(jiàn)于定理2.7.3，以下完成充分性部分的證明．
假設(shè)定理中陳述的條件成立，我們要證明映射f:X→Y在點(diǎn)x處連續(xù)．用反證法．假設(shè)映射f在點(diǎn)x處不連續(xù)，這也就是說(shuō)f(x)有一個(gè)鄰域V,使得（V）不是x的鄰
12、域．而這又意味著，x的任何一個(gè)鄰域U都不能包含在（V）中，即對(duì)于x的任何一個(gè)鄰域U，包含關(guān)系 不成立，也就是說(shuō)
總括上一段的論證可見(jiàn)：f（x）有一個(gè)鄰域V使得對(duì)于x的任何一個(gè)鄰域U有
現(xiàn)在設(shè)是點(diǎn)x處的一個(gè)可數(shù)鄰域基，滿(mǎn)足條件：對(duì)于每一個(gè)i∈，
?。x取使得f()∈f(U)∩，即．明顯地，序列{}收斂于x．然而序列{f()}在f（x）的鄰域V中卻沒(méi)有任何一個(gè)點(diǎn)，所以不收斂于f（x）．這與反證假設(shè)矛盾．因此反證假設(shè)不成立，所以映射f在點(diǎn)x處連續(xù)．
定理 5.1.11 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理．則映射f:X→Y是一個(gè)連續(xù)映射的充分必要條件是：如果X中的序列{}收斂于x∈X，則Y中的序列{f()}收斂于f（x）．
證明 這是因?yàn)橐粋€(gè)映射是一個(gè)連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)映射在它的定義域的每一個(gè)點(diǎn)處連續(xù)．（參見(jiàn)定理2.3.5．）
作業(yè):
P139 1． 6．
《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第5章 §5.1 第一與第二可數(shù)性公理
