中考數(shù)學二輪專題復(fù)習 運動型專題

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1、2012年中考數(shù)學二輪專題復(fù)習 運動型專題 一． 專題詮釋 動態(tài)幾何題是指隨著圖形的某一元素的運動變化，導致問題的結(jié)論或者改變或者保持不變的幾何題，是近年來中考數(shù)學的熱點題型。這類試題信息量在對學生獲取信息和處理信息的能力要求較高；注重在圖形的形狀或位置的變化過程中尋求函數(shù)與方程、函數(shù)與幾何、函數(shù)與解直角三角形、函數(shù)與面積的聯(lián)系，有較強的綜合性。 二． 解題策略和解法精講 解題時要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題，把握運動、變化的全過程，并特別關(guān)注運動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，動中取靜，靜中求動。綜合運用函數(shù)、方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，展示了一種數(shù)學的創(chuàng)造過程。

2、現(xiàn)舉例如下： 三． 考點精講 考點一：點的運動 例1．（2011江蘇鹽城）如圖，已知一次函數(shù)y = - x +7與正比例函數(shù)y = x的圖象交于點A， 且與x軸交于點B. （1）求點A和點B的坐標； （2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l∥y軸． 動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒. ①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？

3、②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值； 若不存在，請說明理由． 【分析】（1）聯(lián)立方程y = - x +7和y = x即可求出點A的坐標，今y=-x+7=0即可得點B的坐標。 （2）①只要把三角形的面積用t表示，求出即可。應(yīng)注意分P在OC上運動和P在CA上運動兩種情況了。 ②只要把有關(guān)線段用t表示，找出AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的條件時t的值即可。應(yīng)注意分別討論P在OC上運動（此時直線l與AB相交）和P在CA上運動（此時直線l與AO相交）時AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的條件。 【答案】（1）根據(jù)題

4、意，得，解得 ，∴A(3，4) . 令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）. （2）①當P在OC上運動時，0≤t＜4. 由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得 (3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8 整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍） 當P在CA上運動，4≤t＜7. 由S△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3（舍） ∴當t=2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8. ②當P在OC上運動時，0≤t＜4. 此時直線l交AB于Q。 ∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

5、 當AP =AQ時， （4-t）2+32=2(4-t)2, 整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍) 當AP=PQ時，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24. ∴t=4(舍去) 當AQ=PQ時，2（4-t）2=(7-t)2整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍) 當P在CA上運動時，4≤t＜7. 此時直線l交AO于Q。過A作AD ⊥OB于D,則AD=BD=4. 設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t. 由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)． 當AP=AQ時，7-t = (t-4)，解得t = .

6、 當AQ=PQ時，AE＝PE，即AE= AP 得t-4= (7-t)，解得t =5. 當AP=PQ時，過P作PF⊥AQ于F AF= AQ = ×(t-4). 在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP 即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= . ∴綜上所述，t=1或 或5或 時，△APQ是等腰三角形. 【點評】本題是一個動態(tài)圖形中的面積是否變化的問題，主要考查了一次函數(shù)，二元一次方程組，勾股定理，三角函數(shù)，一元二次方程，等腰三角形。等知識，看一個圖形的面積是否變化，關(guān)鍵是看決定這個面積的幾個量是否變化，本題題型新穎是個不可多得的好題，有利于培

7、養(yǎng)學生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區(qū)分度． 考點二：線的運動 例2．（2010江蘇無錫）如圖，已知點，經(jīng)過A、B的直線以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發(fā)，在直線上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動．設(shè)它們運動的時間為秒． （1）用含的代數(shù)式表示點P的坐標； （2）過O作OC⊥AB于C，過C作CD⊥軸于D，問：為何值時，以P為圓心、1為 半徑的圓與直線OC相切？并說明此時與直線CD的位置關(guān)系． 【分析】求點P的坐標，即求點P到x軸與到y(tǒng)軸的距離．因此需過點P作x軸或y軸的垂線．然后探索運動過程中，點P的運動情況．（2）中探索與直線CD

8、的位置關(guān)系，即探索圓的半徑與圓心到直線的距離之間的關(guān)系．這樣所求問題就較簡單了． 解：⑴作PH⊥OB于H ﹙如圖1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝ ;∴OH＝，∴P﹙，﹚ 圖1 圖2 圖3 ⑵當⊙P在左側(cè)與直線OC相切時﹙如圖2﹚， ∵OB＝，∠BOC＝30°，∴BC＝，∴PC 由，得 ﹙s﹚，此時⊙P與直線CD相割． 當⊙P在左側(cè)與直線OC相切時﹙如圖3﹚，PC 由，得﹙s﹚，此時⊙P與直線CD相割． 綜上，當或時，⊙P與直線OC相切，⊙P與直線CD相

9、割． 【點評】本題是“雙動”問題，動點在動直線上運動．情景簡單，但思考力度較復(fù)雜．在解題時應(yīng)分析“主動”與“被動”，并探索“變”中的“不變”．這道試題雖然模型簡單，但具有較高的區(qū)分度，是中考中難得一見的好題．必然會對今后動點問題的命題有一定的指導、借鑒作用． 考點三：圖形的運動 例3．（2011四川重慶）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP＝3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿O

10、A勻速動動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速動動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動．在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)，設(shè)動動的時間為t秒(t≥0)． (1)當?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值； (2)在整個運動過程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍； (3)設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的t的值；

11、若不存在，請說明理由． 【分析】（1）要使點A在線段PQ的垂直平分線上，則有AP = AQ.，根據(jù)這個等量關(guān)系可列出關(guān)于t的方程，從而得解．（2）四邊形APEC的面積可轉(zhuǎn)化為△ABC的面積減去△BPE的面積得到，而△BPE的面積可過P作，交BE于M，可證Rt△ABC∽Rt△BPM，得PM關(guān)于t的式子，從而得面積y與t的一個二次函數(shù)，從而可得面積的最小值。（3）過P作，交AC于N，假設(shè)存在某一時刻t，使點P、Q、F三點能在同一條直線上?？勺C△PAN ∽△BAC.，從而得到t的值，再看t是否滿足

12、0＜t＜4.5來判斷t的存在性． 【答案】(1)當?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時(如圖)，∠CFB＝60°，BF＝3－t，在Rt△CBF中，BC＝2，∴tan∠CFB＝，∴tan 60°=，∴BF＝2，∴t＝3－t ＝2，∴t＝1． (2)當0≤t＜1時，S= 2 t＋4；當1≤t＜3時，S= t 2+3 t＋；當3≤t＜4時，S= －4 t＋20；當4≤t＜6時，S= t2－12 t＋36． (3)存在，理由如下： 在Rt△ABC中，tan∠CAB＝=，∴∠CAB=30°． 又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°． ∴AE=HE=3－t或t－3．

13、 （?。┊擜H=AO=3時（如圖②），過點E作EM⊥AH于M，則AM=AH=． 在Rt△AME中，cos∠MAE＝，即cos 30°=，∴AE=， 即3－t=或t－3=，t=3－或3＋． （ⅱ）當HA=HO時（如圖③），則∠HOA=∠HAO=30°， 又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°． ∴EO=2HE=2AE．又∵AE＋EO=3，∴AE＋2AE=3． ∴AE=1．即3－t=1或t－3=1，t=2或4． （ⅲ）當OH=OA時（如圖④），則∠OHA=∠OAH=30°， ∴∠HOB=60°=∠HEB．∴點E和O重合，∴AE=3． 即3－t=3或t－3=3，t=

14、6（舍去）或t=0． 綜上所述，存在5個這樣的值，使△AOH是等腰三角形，即： t=3－或t=3＋或t=2或t=4或t=0． 【點評】本題是一個動態(tài)圖形和運動質(zhì)點相結(jié)合的情形中討論某一特殊情況、圖形面積最小值、三點共線的存在性問題．本題為整卷壓軸題,綜合程度較高,難度較大.其編排上具有起點低、坡度緩、難點分散但綜合程度高的特點，全題共分三小題,各小題沒有很強的承接性，較好地實現(xiàn)了對初中數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能和以數(shù)學思維為核心的綜合能力考查。全題所呈現(xiàn)的數(shù)學思想與方法有:圖形的變換思想、方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，所涉及到的數(shù)學知識有：三角形面積、二次函數(shù)、相似三角形、勾股定理、三角函

15、數(shù)、解方程等的知識． 考點四：圓的運動 例4.（2011福建泉州）在直角坐標系xoy中，已知點P是反比例函數(shù)圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點為A． （1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設(shè)切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由． （2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設(shè)交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時： ①求出點A，B，C的坐標． ②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由． A P x y K O 第25題 圖1

16、 【分析】⊙O滾過的路程圓心O滾動過程中移動的距離，也即以切點E、N為端點的線段長，所以只要求出起始位置中切點E與A點的線段長與終點位置中切點N與B點的線段長，再將AB的長減去這兩條線段長即可求得⊙O滾過的路程． 解：（1）∵⊙P分別與兩坐標軸相切， ∴ PA⊥OA，PK⊥OK． ∴∠PAO=∠OKP=90°． 又∵∠AOK=90°， ∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°． ∴四邊形OKPA是矩形． 又∵OA=OK， ∴四邊形OKPA是

17、正方形．……………………2分 （2）①連接PB，設(shè)點P的橫坐標為x，則其縱坐標為． O A P x y B C 圖2 G M 過點P作PG⊥BC于G． ∵四邊形ABCP為菱形， ∴BC=PA=PB=PC． ∴△PBC為等邊三角形． 在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x， PG=． sin∠PBG=，即． 解之得：x=±2（負值舍去）． ∴ PG=，PA=BC=2．……………………4分 易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1， ∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3． ∴ A（0，），B（1，0） C（

18、3，0）．……………………6分 設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c． 據(jù)題意得： 解之得：a=， b=， c=． ∴二次函數(shù)關(guān)系式為：．……………………9分 ②解法一：設(shè)直線BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得： 解之得：u=， v=． ∴直線BP的解析式為：． 過點A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：． 解方程組： 得： ； ． 過點C作直線CM∥PB，則可設(shè)直線CM的解析式為：． ∴0=． ∴． ∴直線CM的解析式為：． 解方程組： 得： ； ． 綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個， 分別為：（0，

19、），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分 解法二：∵， ∴A（0，），C（3，0）顯然滿足條件． 延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA． 又∵AM∥BC， ∴． ∴點M的縱坐標為． 又點M的橫坐標為AM=PA+PM=2+2=4． ∴點M（4，）符合要求． 點（7，）的求法同解法一． 綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個， 分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分 解法三：延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA． 又∵AM∥BC， ∴． ∴點M的縱坐標為． 即． 解得：

20、（舍），． ∴點M的坐標為（4，）． 點（7，）的求法同解法一． 綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個， 分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分 【點評】由圓的滾動，作出圓心經(jīng)過的路線并求出其長度，讓學生體驗圓的滾動中的規(guī)律，考查了直線與圓相切，弧長的計算等有關(guān)知識，注重了全等、三角函數(shù)、圓等知識之間的聯(lián)系。一個圓沿直線滾動前進，這個圓的圓心所經(jīng)過路徑（軌跡）的長度就等于這個圓所滾動過的路徑的長度． 四．真題演練 1.（2011山東菏澤）如圖，拋物線y＝x2＋bx－2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A(－1，0)． （1）求拋物線的解析式及

21、頂點D的坐標； （2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論； （3）點M(m，0)是x軸上的一個動點，當MC＋MD的值最小時，求m的值． A B C D x y O 1 1 2.（2011江蘇揚州）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AB0） （1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說明理由； （2）若∠ABC=60o，AB=4厘米。 ① 求動點Q的運動速度； ② 設(shè)R

22、t△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數(shù)關(guān)系式； （3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖1為例說明理由。 3. （2011山東濟寧）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（，）的拋物線交軸于點，交軸于，兩點（點在點的左側(cè)）. 已知點坐標為（，）. （1）求此拋物線的解析式； （2）過點作線段的垂線交拋物線于點， 如果以點為圓心的圓與直線相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明； （3）已知點是拋物線上的一個動點，且位于，兩點之間，問：當點運動到什么位置時，的面積最大？并求出此時點的坐標和的最大面積.

23、 (第23題) 【答案】：1.解：（1）把點A(－1，0)的坐標代入拋物線的解析式y(tǒng)＝x2＋bx－2， 整理后解得， 所以拋物線的解析式為 ． 頂點D． （2）∵AB=5，AC2=OA2＋OC2=5，BC2=OC2＋OB2=20， ∴AC2＋BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形． （3）作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′，則C′ (0，2)，OC′=2． 連接C′D交x軸于點M， 根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC＋MD的值最?。? 設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點． △C′OM∽△DEM． ∴．∴．

24、∴m=． 2.解：（1）△PBM與△QNM相似； ∵MN⊥BC MQ⊥MP ∴ ∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90o ∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90o－∠C ∴ △PBM∽△QNM （2）①∵∠ABC=60o，∠BAC =90o,AB=4,BP=t ∴AB=BM=CM=4,MN=4 ∵ △PBM∽△QNM ∴ 即： ∵P點的運動速度是每秒厘米， ∴ Q點運動速度是每秒1厘米。 ② ∵ AC=12,CN=8 ∴ AQ=12-8+t=4+t, AP=4－t ∴ S== （3） BP2+ CQ2 =PQ2

25、證明如下： ∵BP=t, ∴BP2=3t2 ∵CQ=8-t ∴CQ2=(8-t)2=64-16t+t2 ∵PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64 ∴BP2+ CQ2 =PQ2 3.（1）解：設(shè)拋物線為. ∵拋物線經(jīng)過點（0，3），∴.∴. ∴拋物線為. (2) 答：與⊙相交. 證明：當時，，. ∴為（2，0），為（6，0）.∴. 設(shè)⊙與相切于點，連接，則. ∵，∴. 又∵，∴.∴∽. ∴.∴.∴. ∵拋物線的對稱軸為，∴點到的距離為2. ∴拋物線的對稱軸與⊙相交. (3) 解：如圖，過點

26、作平行于軸的直線交于點. 可求出的解析式為. 設(shè)點的坐標為（，），則點的坐標為（，）. ∴. ∵, ∴當時，的面積最大為. (第3題) 此時，點的坐標為（3，）. 第二部分 練習部分 1. （2011安徽）如圖所示，P是菱形ABCD的對角線AC上一動點，過P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點，設(shè)AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀是（ ） A． B．

27、 C． D． 2. （2011山東威海）如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm，動點M自A點出發(fā)沿AB方向以每秒1cm的速度運動，同時動點N自A點出發(fā)沿折線AD—DC—CB以每秒3cm的速度運動，到達B點時運動同時停止，設(shè)△AMN的面積為y（cm2），運動時間為x（秒），則下列圖象中能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ） 3. （2011甘肅蘭州）如圖，正方形ABCD的邊長為1，E、F、G、H分別為各邊上的點，且AE=BF=CG=DH，設(shè)小正方形EFGH的面積為S，AE為x，則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是 A B C

28、D E F G H x y -1 O 1 x y 1 O 1 x y O 1 x y 1 O 1 1 A． B． C． D． 4.（2011山東濰坊）如圖，y關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的頂點為M，圖象交x軸于A、B兩點，交y軸正半軸于D點.以AB為直徑做圓，圓心為C，定點E的坐標為（－3,0），連接ED.（m＞0） （1）寫出A、B、D三點的坐標； （2）當m為何值時M點在直線ED上？判定此時直線ED與圓的位置關(guān)系； （3）當m變化時，用m表示△AED的面積S，并在給出的直角坐標系中畫出S關(guān)于m

29、的函數(shù)圖象的示意圖. 5.（2011安徽蕪湖）平面直角坐標系中，如圖放置，點A、C的坐標分別為、，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到. （1）若拋物線過點,求此拋物線的解析式; （2）求和重疊部分的周長; （3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點M在何處時△的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點的坐標. 練習答案： 1.C 2.B 3. B 4. 【解】（1），，. （2）設(shè)直線ED的解析式為，將、代入，得 解得∴直線ED的解析式為. ∵，∴頂點M的坐標為. 把代入，得.∵，∴. ∴當時，

30、點M在直線DE上.連接CD，C為AB中點，C點坐標為. ∵，∴CD=2，點D在圓上. 又∵OE=3，，，.∴. ∴∠EDC=90°，∴直線ED與⊙C相切. （3）當時，，即. 當時，，即. 圖象示意圖如圖中的實線部分. 5.解: （1）∵由旋轉(zhuǎn)得到，且點A的坐標為， ∴點的坐標為. ……………………………………1分 所以拋物線過點.設(shè)拋物線的解析式為，可得 解得 ………4分 ∴ 過點的拋物線的解析式為. ……………………5分 （2）因為，所以. 所以.又, , ∴△∽△. 又.………………

31、7分 ∴. 又△的周長為， 所以△的周長為.………………9分 （3）［解法1］連接，設(shè)M點的坐標為， 因為點M在拋物線上，所以，………10分 所以 ……………12分 因為，所以當時，. △的面積有最大值…………13分 所以當點M的坐標為時，△的面積有最大值，且最大值為…14分 [解法2]設(shè)直線的解析式為，∵點的坐標分別為，∴ 解得 ∴.…10分 將直線向右平移，當直線與拋物線只有一個交點M時與y軸交于點P，此時最大，設(shè)平移后的直線的解析式為：，則有： 得， 令，得. ∴.解得 ∴點坐標為,點P的坐標為.…12分 因為MP∥,所以△與△同底等高，它們面積相等. 故. 所以當點M的坐標為時，△的面積有最大值，且最大值為 …14分 18