等差數(shù)列的性質(zhì)練習(xí) 含答案

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1、課時(shí)作業(yè)7　等差數(shù)列的性質(zhì) 時(shí)間：45分鐘　　滿分：100分 課堂訓(xùn)練 1．若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝k·n＋b(其中b，k為常數(shù))，則下列說法中正確的是(　　) A．?dāng)?shù)列{an}一定不是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{an}是以k為公差的等差數(shù)列 C．?dāng)?shù)列{an}是以b為公差的等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{an}不一定是等差數(shù)列 【答案】　B 【解析】　an＋1－an＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k. 2．等差數(shù)列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，則a2＋a10等于(　　) A．100　　　　　　　　　　 B．120 C．140 D．160 【答案】　B 【

2、解析】　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，則a6＝60，∴a2＋a10＝2a6＝2×60＝120. 3．在等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a25＝66，則a35＝________. 【答案】　99 【解析】　a15，a25，a35成等差數(shù)列， ∴a35＝2a25－a15＝99. 4．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)之和為21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【分析】　關(guān)鍵是求出數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差． 【解析】　由于數(shù)列為等差數(shù)列，因此可設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為a－d，a，a＋d，于是可得 即即 由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，因此d＝

3、4，a1＝3，從而{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－1. 【規(guī)律方法】　此解法恰到好處地設(shè)定等差數(shù)列的項(xiàng)，為我們的解題帶來了極大的方便，特別是大大降低了運(yùn)算量．一般來說，已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)成：a－d，a，a＋d，四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)成：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其余依此類推，如五個(gè)可設(shè)成：a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 課后作業(yè) 一、選擇題(每小題5分，共40分) 1．在等差數(shù)列{an}中，a5＝3，a9＝5，則a7＝(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．－4 C．7 D．1 【答案】　A 【解析】　由題意知a7為a5，a9的等差中項(xiàng)，故

4、a7＝(a5＋a9)＝×(3＋5)＝4. 2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(　　) A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】　C 【解析】　∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7， ∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100， ∴a7＝20. ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40. 3．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9的值為(　　) A．30 B．27 C．24 D．21 【答案】　B 【解析】　方法一

5、：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差數(shù)列，所以(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝2(a2＋a5＋a8)， 則a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27. 方法二：(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7) ＝3d(d為數(shù)列{an}的公差)，則d＝－2， a3＋a6＋a9＝(a2＋a5＋a8)＋3d＝33－6＝27. 4．把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的 是較小的兩份之和，問最小的1份是(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　設(shè)這5份為a－2d，a－d，a，a＋d，

6、a＋2d， 由已知得a＝20，且(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d， ∴d＝，∴a－2d＝. 5．等差數(shù)列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a1＋a5＝8，則其通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n－2 B．a(chǎn)n＝2n＋4 C．a(chǎn)n＝－2n＋12 D．a(chǎn)n＝－2n＋10 【答案】　D 【解析】　由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2＋a4＝a1＋a5＝8. 又a2a4＝12，所以a2，a4為方程x2－8x＋12＝0的兩根， 解得或 當(dāng)a2＝2，a4＝6時(shí)，d＝＝2>0(舍去)， 當(dāng)a2＝6，a4＝2時(shí)，d＝＝－2. 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a2＋(n－2)d＝6＋(

7、n－2)×(－2)＝－2n＋10. 即an＝－2n＋10. 6．設(shè){an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 【答案】　C 【解析】　設(shè){an}，{bn}的公差分別是d1，d2，∴(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2， ∴{an＋bn}為等差數(shù)列． 又∵a1＋b1＝a2＋b2＝100， ∴a37＋b37＝100. 故正確答案為C. 7．一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項(xiàng)均為正數(shù)，第七項(xiàng)起為負(fù)數(shù)

8、，則它的公差是(　　) A．－2 B．－3 C．－4 D．－5 【答案】　C 【解析】　設(shè)該數(shù)列的公差為d，則由題設(shè)條件知： a6＝a1＋5d>0，a7＝a1＋6d<0. 又∵a1＝23，∴ 即－

9、b1＋ab2＋…＋ab10＝ab1＋ab1＋1＋…＋ab1＋9. ∵ab1＝a1＋(b1－1)＝4， ∴ab1＋ab1＋1＋…＋ab1＋9＝4＋5＋…＋13＝85. 二、填空題(每小題10分，共20分) 9．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20＝________. 【答案】　1 【解析】　∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，∴a3＝35， 同理a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2， ∴a20＝a4＋(20－4)d＝1. 10．等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝150，則a18－2a14＝_______

10、_. 【答案】?。?0 【解析】　由a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝5a10＝150，得a10＝30，a18－2a14＝(a10＋8d)－2(a10＋4d)＝－a10＝－30. 三、解答題(每小題20分，共40分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 11．(1)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15. (2)在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【解析】　(1)方法一：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由題意得a1－(a1＋4

11、d)＋(a1＋8d)－(a1＋12d)＋(a1＋16d)＝117， ∴a1＋8d＝117. 從而a3＋a15＝(a1＋2d)＋(a1＋14d)＝2(a1＋8d)＝234. 方法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a1＋a17＝a5＋a13＝a3＋a15＝2a9. ∵a1－a5＋a9－a13＋a17＝117， ∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234. (2)∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a5＝3，∴a3＋a7＝2a5＝6，a3a7＝－7， 解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1. 又a7＝a3＋4d，∴當(dāng)a3＝－1，a7＝7時(shí)

12、，可得d＝2； 當(dāng)a3＝7，a7＝－1時(shí)，可得d＝－2. 根據(jù)an＝a3＋(n－3)d，可得當(dāng)a3＝－1，d＝2時(shí)，an＝2n－7；當(dāng)a3＝7，d＝－2時(shí)，an＝－2n＋13. 12．已知無窮等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，公差d＝－5，依次取出序號(hào)能被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求{bn}的通項(xiàng)公式； (3){bn}中的第503項(xiàng)是{an}的第幾項(xiàng)？ 【解析】　數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的一個(gè)子數(shù)列，其序號(hào)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，由于{an}是等差數(shù)列，則{bn}也是等差數(shù)列． (1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n. 數(shù)列{an}中序號(hào)能被4除余3的項(xiàng)是{an}中的第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. (2)設(shè){an}中的第m項(xiàng)是{bn}的第n項(xiàng)，即bn＝am， 則m＝3＋4(n－1)＝4n－1， ∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n. 即{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝13－20n. (3)b503＝13－20×503＝－10 047，設(shè)它是{an}中的第m項(xiàng)，則－10 047＝8－5m，則m＝2 011，即{bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第2 011項(xiàng)．