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《布朗運動與鞅》PPT課件.ppt

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《布朗運動與鞅》PPT課件.ppt

1,第五章:布朗運動與鞅,布朗運動的定義與基本性質 鞅的定義與例,2,隨機游動與布朗運動,考慮在直線上的無限隨機游動:質點每經(jīng)過t時間,隨機地以概率p=0.5向右移動x0;以概率q=0.5向左移動x,且每次移動相互獨立。令,則質點在時刻t的位置X(t)可表示為:,其均值和方差為:,3,t和x的取值:,使得DX(t)在t和x趨于零時,極限有意義。,如: t = x,當t-0, DX(t)-0,則X(t)=0,a.s.,若取t = x3 ,當t-0, DX(t)-,不合理。,一般情況下,有 此時:,4,X(t)為獨立同分布的隨機變量之和,由中心極限定理,可得: 1)X(t)N(0, 2t); 隨機游動的值在不相重疊的時間區(qū)段內相互獨立,得 2)X(t)是獨立增量過程; 在任一時間區(qū)間隨機游動的值僅與時長有關,得 3)X(t)是平穩(wěn)增量過程,5,布朗運動定義1:隨機過程W(t),t0,如果滿足: 1)W(0)=0; 2)W(t)是獨立、平穩(wěn)增量過程; 3)對任意t0,W(t)服從正態(tài)分布N(0, 2t)。 則稱W(t),t0為維納過程,或稱為布朗運動(B(t), t0 )。,如果=1,稱為標準布朗運動。,一般布朗運動可用W(t)/,t0變換成標準布朗運動,后面我們 假定都是標準布朗運動。,6,布朗運動定義2:隨機過程B(t),t0為布朗運動,如果滿足: 1)(正態(tài)增量)B(t)-B(s)N(0,t-s) ; 2)(獨立增量)B(t)-B(s)獨立于過去的狀態(tài)B(v),0v s; 3)(軌道連續(xù)) B(t),t0的軌道是t的連續(xù)函數(shù)。,注:并未強調B(0)=0,如果B(0)=x,可用B(t)-x進行變換。,定理:設B(t),t0是正態(tài)過程,軌道連續(xù),B(0)=0,對任意的s,t0,有EB(t)=0,EB(s)B(t)=min(s,t),則B(t),t0為布朗運動,反之亦然。,7,推論:設B(t),t0 為布朗運動,則:,例:設B(t),t0 為標準布朗運動,計算PB(2) 0及PB(t) 0,t=1,2 。,8,9,布朗運動的軌道,從時刻0到時刻T對布朗運動的一次觀察稱為布朗運動在區(qū)間0,T上的一條軌道或路徑。,1)是t的連續(xù)函數(shù); 2)在任何點都不可微,軌道的基本性質,10,鞅的定義與例,博弈問題:博弈者進行一序列博弈(輪盤賭),每次博弈輸和贏的概率相同,每次的下注額自定。問博弈者采用何種下注方式贏面大?,定義:隨機過程Xn,n0稱為關于Yn,n0的下鞅,如果對n0, Xn是Y0, ,Yn的函數(shù),EXn<,且EXn+1| Y0, ,Yn Xn。,定義:隨機過程Xn,n0稱為關于Yn,n0的上鞅,如果對n0, Xn是Y0, ,Yn的函數(shù),EXn<,且EXn+1| Y0, ,Yn Xn。,若 Xn,n0同時是關于Yn,n0的上鞅和下鞅,則稱之為關于Yn的鞅。,鞅描述的是“公平”的博弈,下鞅和上鞅則是“有利”和“無利”的博弈。,11,定理:設Xn,n0是關于Yn,n0的鞅,則 1)對任意的0<m<n,有EXn| Ym, ,Yn =Xm ; 2)對任意n,EXn=X0,例:獨立隨機變量之和與積 1)設Y0=0,Yn, n0是獨立的中心化隨機變量序列, E|Yn|<,定義X0=0,則Xn =Y1++Yn是鞅; 2)設Y0=0,Yn, n0是獨立的中心化隨機變量序列, E|Yn|<, EYn= n0, n1,定義X0=0,則Xn =Y1Y2Yn/ 1 2n是鞅。,

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