2019九年級數(shù)學上冊 期中測試 新人教版

期中測試 (滿分：120 分 考試時間：120 分鐘) 一、選擇題(本大題共 10 個小題，每小題 3 分，共 30 分．在每個小題給出的四個選項中， 只有一項符合題目要求) 1.拋物線 y＝2x2－1 的頂點坐標是(A) A．(0，－1) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1， 0) 2．如果 x＝－1 是方程 x2－x＋k＝0 的解，那么常數(shù) k 的值為(D) A．2 B．1 C．－1 D．－2 3．將拋物線 y＝x2 向右平移 2 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度，所得拋物線的解析 式是(B) A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－1 4．小明在解方程 x2－4x－15＝0 時，他是這樣求解的：移項，得 x2－4x＝15，兩邊同時加 4， 得 x2－4x＋4＝19，∴(x－2)2＝19，∴x－2＝± 19，∴x1＝2＋ 19，x2＝2－ 19.這種解 方程的方法稱為(B) A．待定系數(shù)法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解 法 5．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(C) A B C D 6．已知拋物線 y＝－2x2＋x 經(jīng)過 A(－1，y1)和 B(3，y2)兩點，那么下列關系式一定正確的 是(C) A．0＜y2＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y2＜y1＜0 D．y2＜0＜y1 7．已知 a，b，c 分別是三角形的三邊長，則方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0 的根的情況是 (D) A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．可能有且只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 1 8．如圖，在△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，將△ABC 繞點 A 順時針旋轉 70°，B，C 旋轉后的對應點分別是 B′和 C′，連接 BB′，則∠BB′C′的度數(shù)是(A) A．35° B．40° C．45° D．50° 9．已知二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c 的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(D) A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b ＞a＞c 長線上，連接 AD，AC 與 DB 交于點 P，DE 與 CB 交于點 Q，連接 PQ，若 AD＝5  cm， ＝  ， 2                                            2 ．如圖，將 ABC 繞著點 B 順時針旋轉 60°得到△DBE，點 C 的對應點 E 恰好落在 AB 的延 PB 2 AB 5 則 PQ 的長為(A) 5 7 A．2 cm B. cm C．3 cm D. cm 二、填空題(本大題共 5 個小題，每小題 3 分，共 15 分) 11．在平面直角坐標系中，點 A(0，1)關于原點對稱的點是(0，－1)． 12．方程 x(x＋1)＝0 的根為 x1＝0，x2＝－1． 13．某樓盤 2016 年房價為每平方米 8 100 元，經(jīng)過兩年連續(xù)降價后，2018 年房價為 7 600 元．設該樓盤這兩年房價平均降低率為 x，根據(jù)題意可列方程為 8__100(1－x)2＝7__600． 14．二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的部分對應值如下表： x y －1 6 0 3 1 2 2 3 則當 x＝－2 時，y 的值為 11． 2 15.如圖，射線 OC 與 x 軸正半軸的夾角為 30°，點 A 是 OC 上一點，AH⊥x 軸于 ，將 AOH 繞著點 O 逆時針旋轉 90°后，到達△DOB 的位置，再將△DOB 沿著 y 軸翻折到達△GOB 的位 置，若點 G 恰好在拋物線 y＝x2(x＞0)上，則點 A 的坐標為(3， 3)． 2×（－1） 三、解答題(本大題共 8 個小題，共 75 分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(共題共 2 個小題，每小題 5 分，共 10 分) (1)解方程：x(x＋5)＝5x＋25； 解：x(x＋5)＝5(x＋5)，x(x＋5)－5(x＋5)＝0， ∴(x－5)(x＋5)＝0，∴x－5＝0 或 x＋5＝0， ∴x1＝5，x2＝－5. (2)已知點(5，0)在拋物線 y＝－x2＋(k＋1)x－k 上，求出拋物線的對稱軸． 解：將點(5，0)代入 y＝－x2＋(k＋1)x－k，得 0＝－52＋5×(k＋1)－k，－25＋5k＋5－k ＝0. ∴4k＝20，∴k＝5. 6 ∴y＝－x2＋6x－5，∴該拋物線的對稱軸為直線 x＝－ ＝3. 17．(本題 6 分)如圖所示的是一橋拱的示意圖，它的形狀類似于拋物線，在正常水位時，該 橋下面寬度為 20 米，拱頂距離正常水面 4 米，建立平面直角坐標系如圖所示．求拋物線的 解析式． 25 解：設該拋物線的解析式為 y＝ax2. 由圖象可知，點 B(10，－4)在函數(shù)圖象上，代入 y＝ax2 得 100a＝－1， 1 解得 a＝－ ， 3 25 1 ∴該拋物線的解析式為 y＝－ x2. 18．(本題 7 分)如圖，在平面直角坐標系中，有一 Rt ABC，已知 AAC1 是由△ABC 繞某點 順時針旋轉 90°得到的． (1)請你寫出旋轉中心的坐標是(0，0)； (2)以(1)中的旋轉中心為中心，畫出 AAC1 順時針旋轉 90°，180°后的三角形． 4 解：如圖， AB1C， B1BC3 即為所求作圖形． 19．(本題 7 分)已知一元二次方程 x2＋x－2＝0 有兩個不相等的實數(shù)根，即 x1＝1，x2＝－2. (1)求二次函數(shù) y＝x2＋x－2 與 x 軸的交點坐標； (2)若二次函數(shù) y＝－x2＋x＋a 與 x 軸有一個交點，求 a 的值． 解：(1)令 y＝0，則有 x2－x－2＝0. 解得 x1＝1，x2＝－2. ∴二次函數(shù) y＝x2＋x－2 與 x 軸的交點坐標為(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函數(shù) y＝－x2＋x＋a 與 x 軸有一個交點， ∴令 y＝0，即－x2＋x＋a＝0 有兩個相等的實數(shù)根． 1 ∴Δ＝1＋4a＝0，解得 a＝－ . 20．(本題 7 分)如圖，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，先把△ABC 繞點 B 順時針旋轉 90° 至△DBE 后，再把△ABC 沿射線 AB 平移至 FEG，、FG 相交于點 H. (1)判斷線段 DE、FG 的位置關系，并說明理由； 4 (2)連接 CG，求證：四邊形 CBEG 是正方形． 解：(1)FG⊥DE，理由如下： ∵△ABC 繞點 B 順時針旋轉 90°至△DBE，∴∠DEB＝∠ACB. ∵把△ABC 沿射線平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A. ∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°.∴∠DEB＋∠GFE＝90°.∴∠FHE＝90°. ∴FG⊥DE. (2)證明：根據(jù)旋轉和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE， ∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠CBE＝90°.∴四邊形 CBEG 是矩形． ∵CB＝BE， ∴四邊形 CBEG 是正方形. 21．(本題 12 分)我市某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為 40 元，若銷售價為 60 元，每天可售出 20 件，為迎接“雙十一”，專賣店決定采取適當?shù)慕祪r措施，以擴大銷 售量，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價 1 元，那么平均可多售出 2 件．設每件童裝降價 x 元(x＞0)時，平均每天可盈利 y 元． (1)寫出 y 與 x 的函數(shù)關系式； (2)根據(jù)(1)中你寫出的函數(shù)關系式，解答下列問題： ①當該專賣店每件童裝降價 5 元時，平均每天盈利多少元？ ②當該專賣店每件童裝降價多少元時，平均每天盈利 400 元？ ③該專賣店要想平均每天盈利 600 元，可能嗎？請說明理由． 解：(1)根據(jù)題意得 y＝(20＋2x)(60－40－x)＝(20＋2x)(20－x)＝400＋40x－20x－2x2＝－ 2x2＋20x＋400. ∴y＝－2x2＋20x＋400. (2)①當 x＝5 時，y＝－2×52＋20×5＋400＝450， ∴當該專賣店每件童裝降價 5 元時，平均每天盈利 450 元． ②當 y＝400 時，400＝－2x2＋20x＋400， 5 整理得 x2－10x＝0，解得 x1＝10，x2＝0(不合題意，舍去)， ∴當該專賣店每件童裝降價 10 元時，平均每天盈利 400 元． ③該專賣店平均每天盈利不可能為 600 元． 理由：當 y＝600 時，600＝－2x2＋20x＋400，整理得 x2－10x＋100＝0， ∵Δ＝(－10)2－4×1×100＝－300＜0， ∴方程沒有實數(shù)根，即該專賣店平均每天盈利不可能為 600 元． 22．(本題 12 分)綜合與實踐： 問題情境： (1)如圖 ，兩塊等腰直角三角板 ABC 和△ECD 如圖所示擺放，其中∠ACB＝∠DCE＝90°， 點 F，H，G 分別是線段 DE，AE，BD 的中點，A，C，D 和 B，C，E 分別共線，則 FH 和 FG 的 數(shù)量關系是 FH＝FG，位置關系是 FH⊥FG； 合作探究： (2)如圖 2，若將圖 1 中的△DEC 繞著點 C 順時針旋轉至 A、C、E 在一條直線上，其余條件不 變，那么(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； (3)如圖 3，若將圖 1 中的△DEC 繞著點 C 順時針旋轉一個銳角，那么(1)中的結論是否還成 立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． ∴FH＝  AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G＝  BE，F(xiàn)G∥BE. 解：(1)FH＝FG，F(xiàn)H⊥FG. 提示：∵CE＝CD，AC＝BC，A，C，D 和 B，C，E 分別共線，∠ECD＝∠ACB＝90°， ∴AD⊥BE，BE＝AD. ∵F，H，G 分別是 DE，AE，BD 的中點， 1 1 2 2 ∴FH＝FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG. (2)(1)中的結論還成立． 證明：∵CE＝CD，AC＝BC，∠ECD＝∠ACD＝90°， ∴ ACD≌ BCE(SAS)，∴AD＝，∠CAD＝∠CBE.∵∠CBE＋∠CEB＝90°， 6 ∴FH＝  AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G＝  BE，F(xiàn)G∥BE，∴EH＝FG. ∴∠CAD＋∠CEB＝90°，即 AD⊥BE. ∵F，H，G 分別是 DE，AE，BD 的中點， 1 1 2 2 ∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，∴(1)中結論還成立． 同(1)可得 FH＝  AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G＝  BE，F(xiàn)G∥BE. (3)(1)中的結論仍成立， 理由：如圖，連接 AD、BE，兩線交于點 Z，AD 交 BC 于點 X. 1 1 2 2 ∵△ECD，△ACB 都是等腰直角三角形，∴CE＝CD，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°. ∴∠ACD＝∠BCE，∴ ACD≌ BCE(SAS)．∴AD＝，∠EBC＝∠DAC，∴FH＝FG. ∵∠DAC＋∠CXA＝90°，∠CXA＝∠DXB， ∴∠DXB＋∠EBC＝90°，∴∠EZA＝180°－90°＝90°，∴AD⊥BE. ∵FH∥AD，F(xiàn)G∥BE，∴FH⊥FG，∴(1)中的結論仍成立． 如圖，二次函數(shù) y＝－  x2＋  x＋4 的圖象與 x 軸交于點 B，點 C(點 B 在點 C 的左邊)，與 y 23．(本題 14 分)綜合與探究： 1 3 4 2 軸交于點 A，連接 AC、AB. (1)求證：AO2＝BO·CO； (2)若點 N 在線段 BC 上運動(不與點 B，C 重合)，過點 N 作 MN∥AC，交 AB 于點 M，當△AMN 的面積取得最大值時，求直線 AN 的解析式； (3)連接 OM，在(2)的結論下，試判斷 OM 與 AN 的數(shù)量關系，并證明你的結論． 7 4 2 ∵MN∥AC，∴ ＝CN 8－n S AMN  AM＝CN＝ 8－n S△ABN AB CB   10 5 ìï4＝b，      ïk＝－  ， ïî0＝3k＋b.解得í 3 3 2 1 3 解：(1)證明：當 y＝0 時，－ x2＋ x＋4＝0， 整理，得 x2－6x－16＝0，解得 x1＝－2，x2＝8，∴B(－2，0)，C(8，0)． 令 x＝0 得 y＝4，∴A(0，4)，∴AO＝4，BO＝2，CO＝8，∴AO2＝BO·CO. (2)設點 N(n，0)(－2＜n＜8)，則 BN＝n＋2，CN＝8－n，BC＝10. AM 1 AB BC ＝ 10 ，S ABN 2×(n＋2)×4＝2n＋4. ， 8－n 8－n 1 ＝ ＝ AMN  10  ABN  10 ×(2n＋4)＝5(8－n)(n＋2)， 1 即  AMN＝－5(n－3)2＋5. 1 ∵－ <0，∴當 n＝3 時，即 N(3，， AMN 的面積最大． 設直線 AN 的解析式為 y＝kx＋b.將 A(0，4)，N(3，0)代入，得 ì 4 í ïî b＝4， 4 ∴此時直線 AN 的解析式為 y＝－ x＋4. (3)OM2＝AN.證明：∵N(3，0)，∴ON＝3，∴CN＝8－3＝5. ∵BC＝10，∴N 為線段 BC 的中點， ∵MN∥AC，∴M 為 AB 的中點，∴AB＝ 42＋22＝ 20＝2 5. 1 ∵∠AOB＝90°，∴OM＝ AB＝ 5， ∵AN＝ OA2＋ON2＝ 42＋32＝5， ∴OM2＝AN，即 OM 與 AN 的數(shù)量關系是 OM2＝AN. 8