電磁場與電磁波-第6章.ppt

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1、第6章 時變電磁場,主要內(nèi)容: 波動方程、電磁場的位函數(shù)、 電磁能量守恒定律、 惟一性定理、時諧電磁場,什么是時變電磁場： 源量（電荷、電流或時變場量）和場量（電場、磁場）隨時間變化的電磁場。,在時變電磁場中，電場與磁場都是時間和空間的函數(shù)；變化的磁場會產(chǎn)生電場，變化的電場會產(chǎn)生磁場，電場與磁場相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場。由于時變的電場和磁場相互轉(zhuǎn)換，也可以說時變電磁場就是電磁波。,靜電場和恒定電流的磁場各自獨(dú)立存在，可以分開討論。,英國科學(xué)家麥克斯韋提出位移電流假說，將靜態(tài)場、恒定場、時變場的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場基本方程組概括。電磁場基本方程組是研究宏觀電磁現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。,時變電磁場

2、的特點(diǎn)： 1）電場和磁場互為對方的渦旋（旋度）源。 2）電場和磁場共存，不可分割。 3）電力線和磁力線相互環(huán)繞。,一、波動方程,1、時變場麥克斯韋方程組,積分形式,微分形式,全電流定律,電磁感應(yīng)定律,磁通連續(xù)性原理,高斯定律,在電荷及電流均不存在的無源區(qū)中，時變電磁場是有旋無散的。,電場線與磁場線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。,時變電場的方向與時變磁場的方向處處相互垂直。,可見，時變電場是有旋有散的，時變磁場是有旋無散的。但是，時變電磁場中的電場與磁場是不可分割的，因此，時變電磁場是有旋有散場。,2、波動方程,由麥克斯韋方程組可以建立電磁場的波動方程，它揭示了時變電磁場的運(yùn)動規(guī)律，

3、即電磁場的波動性。,均勻無耗媒質(zhì)的無源區(qū)域,麥?zhǔn)戏匠虨?得,電場E 的波動方程,同理,磁場H 的波動方程,得,無源區(qū)波動方程在直角坐標(biāo)系中可分解為三個標(biāo)量方程, 波動方程的解是空間一個沿特定方向傳播的電磁波。 電磁波的傳播問題歸結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求解波動方程。,為拉普拉斯算符，在直角坐標(biāo)系中,既然Maxwell方程已經(jīng)囊括所有宏觀電磁現(xiàn)象，為什么還要波動方程：答案是求解的需要。Maxwell方程里電場和磁場耦合在一起，而波動方程里電場和磁場是獨(dú)立出現(xiàn)的，它們有各自的波動方程。后者有時便于求解，但方程的階數(shù)是二階，比Maxwell方程高一階。所以也有不用波動方程，直接用Maxwell

4、方程求解。,從上方程可以看出：時變電磁場的電場場量和磁場場量在空間中是以波動形式變化的，因此稱時變電磁場為電磁波。,建立波動方程的意義：通過解波動方程，可以求出空間中電場場量和磁場場量的分布情況。但需要注意的是：只有少數(shù)特殊情況可以通過直接求解波動方程求解。,二、電磁場的位函數(shù),由麥?zhǔn)系谒姆匠?可令,由麥?zhǔn)系诙匠?,于是,式中A（T.m)稱為動態(tài)矢量位，簡稱矢量位。,(V)稱為動態(tài)標(biāo)量位，簡稱標(biāo)量位。,靜態(tài)場中為問題簡化引入了標(biāo)量位和矢量位。 時變場中也可引入相應(yīng)的輔助位，使問題的分析簡單化。,由麥?zhǔn)系谝环匠?,將,,,,,,將矢量恒等式,,即,已知矢量位A 和標(biāo)量位 可求相應(yīng)的磁場和電場。

5、 矢量位和標(biāo)量位由源決定。其滿足的方程討論如下。,由麥?zhǔn)系谌匠?,以上二方程稱為達(dá)朗貝爾方程。 此方程表明矢量位 的源是 ，而標(biāo)量位 的源是 。時變場中 和 是相互聯(lián)系的。,同理,得,即,由亥姆霍茲定理：一矢量由其散度和旋度確定。 前面定義A 的旋度等于磁感應(yīng)強(qiáng)度B。為確定矢量位A 還需規(guī)定其散度。令 （洛侖茲條件)。,所以,矢量位波動方程,標(biāo)量位波動方程,由上可見，按照羅倫茲條件規(guī)定 A 的散度后，原來兩個相互關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€獨(dú)立方程。矢量位 A 僅與電流 J 有關(guān)，標(biāo)量位 僅與電荷 有關(guān)。,因此，已知電流及電荷分布，即可求出矢量位 A和標(biāo)量位 。求出 A 及 以后，即可求出電場與

6、磁場。,這樣，麥克斯韋方程的求解歸結(jié)為位函數(shù)方程的求解，而且求解過程顯然得到了簡化。,2、簡化了動態(tài)位與場源之間的關(guān)系，使得A單獨(dú)由J 決定，單獨(dú)由決定，給解題帶來了方便；,洛侖茲條件（Luo lunci Condition)的重要意義,1、確定了 的值，與 共同唯一確定A；,位函數(shù)方程為一個矢量方程和一個標(biāo)量方程,在三維空間中僅需求解 4 個坐標(biāo)分量。在直角坐標(biāo)系中，實(shí)際上等于求解 1 個標(biāo)量方程。,原來電磁場方程為兩個結(jié)構(gòu)復(fù)雜的矢量方程，在三維空間中需要求解 6 個坐標(biāo)分量。（有源區(qū)域）,在無源區(qū)域， r與 均為零，上述場量和位函數(shù)的波動方程變?yōu)辇R次波動方程：,若靜態(tài)場， ，上述

7、波動方程退化為相應(yīng)的泊松方程和拉普拉斯方程。,三、電磁能量守恒定律,電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律坡印廷定理；,靜態(tài)場的能量密度公式及損耗功率密度公式完全可以推廣到時變電磁場。,電場能量密度,磁場能量密度,損耗功率密度,對于各向同性的線性媒質(zhì),因此，時變電磁場的能量密度為,可見，時變場的能量密度是空間及時間的函數(shù)，而且時變電磁場的能量還會流動。,為了衡量這種能量流動的方向及強(qiáng)度，引入能量流動密度矢量(坡印廷矢量)，其方向表示能量流動方向，其大小表示單位時間內(nèi)垂直穿過單位面積的能量?；蛘哒f，垂直穿過單位面積的功率，所以坡印廷矢量又稱為功率流動密度矢量。坡印廷矢量以 S 表示，

8、 單位為W/m2。,1、坡印廷定理,設(shè)無外源 (J = 0, = 0) 的區(qū)域 V 中，媒質(zhì)是線性且各向同性的，則此區(qū)域中麥克斯韋方程為,由麥?zhǔn)系谝弧⒌诙匠?得,其中,于是得,取體積分，并應(yīng)用散度定理得,在時變場中總電磁能量密度為,單位體積損耗的的焦耳熱為,于是得,,坡印廷定理,單位時間穿過閉合面S進(jìn)入體積V 的電磁場能量,,體積V 內(nèi)單位時間電場能量和磁場能量的增加,,單位時間體積V 內(nèi)變?yōu)榻苟鸁岬碾姶拍芰?,任何滿足麥克斯韋方程的時變電磁場均必須服從該能量定理。,2、坡印廷矢量,矢量（ ）代表垂直穿過單位面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量 S ， 即,此式表明，S 與 E 及 H

9、 垂直。又知 ，因此，S，E 及 H 三者在空間是相互垂直的，且由 E 至 H 與 S 構(gòu)成右旋關(guān)系，如圖示。,表示單位時間內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度，S 的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動的方向。,W/m2,,,(1） 為時間 的函數(shù)，表示瞬時功率流密度；,（2）公式中，E、H 應(yīng)為場量的實(shí)數(shù)表達(dá)式；,（3） 的大小：單位時間內(nèi)通過垂直于能量傳輸方向 的單位面積的能量；,（4） 的方向：電磁能量傳播方向。,說明：,坡印廷矢量,坡印廷矢量的瞬時值大小為,可見，能流密度矢量的瞬時值等于電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的瞬時值的乘積。,只有當(dāng)兩者同時達(dá)到最大值時

10、，能流密度才達(dá)到最大。若某一時刻電場強(qiáng)度或磁場強(qiáng)度為零，則在該時刻能流密度矢量為零。,四、惟一性定理,在閉合面 S 包圍的區(qū)域 V 中，當(dāng)t = 0時刻的電場強(qiáng)度 E 及磁場強(qiáng)度 H 的初始值給定時，又在 t 0 的時間內(nèi)，只要邊界 S 上的電場強(qiáng)度切向分量 Et 或磁場強(qiáng)度的切向分量 Ht 給定后，那么在 t 0 的任一時刻，體積 V 中任一點(diǎn)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。,利用麥克斯韋方程導(dǎo)出的能量定理，用反證法即可證明這個定理。,E(r, 0) & H(r, 0 ),E( r, t), H(r, t ),五、時諧電磁場,與電路和信號分析類似，為了便于分析，我們可以把一般隨時間變化的時

11、變電磁場，用傅立葉變換分解為許多不同時間頻率的正弦電磁場（也稱時諧電磁場）的疊加。,正弦電磁場一種特殊的時變電磁場，其場強(qiáng)的方向與時間無關(guān)，但其大小隨時間的變化規(guī)律為正弦函數(shù)，即,式中 Em(r) 僅為空間函數(shù)，它是正弦時間函數(shù)的振幅。 為角頻率。e(r) 為正弦函數(shù)的初始相位。,由傅里葉變換得知，任一周期性或非周期性的時間函數(shù)在一定條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，我們著重討論正弦電磁場是具有實(shí)際意義的。,正弦電磁場是由隨時間按正弦變化的時變電荷與電流產(chǎn)生的。雖然場的變化落后于源，但是場與源隨時間的變化規(guī)律是相同的，所以正弦電磁場的場和源具有相同的頻率。,1、時諧電磁場中場量的瞬時表示

12、式： 以余弦函數(shù)為基準(zhǔn)（工程界慣例。少數(shù)也有用正弦函數(shù)的），以電場強(qiáng)度矢量為例：,注意場量與時間變量t的關(guān)系非常簡單和確定，這是引入復(fù)矢量的前提。,2、時諧電磁場中場量的復(fù)數(shù)表示式 上式可以也用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示為,式中,稱為時諧電場的復(fù)振幅,故,式中,稱為時諧電場的復(fù)矢量,同樣時諧電磁場的其它場量也可以有類似的表示式，如,這些表示式建立了時諧電磁場場量的瞬時表示式與復(fù)數(shù)表示式之間的聯(lián)系,3、麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式,時諧場對時間的導(dǎo)數(shù),由麥?zhǔn)系谝环匠?,,,,,、 可與Re交換次序，得,復(fù)數(shù)相等與其實(shí)部及虛部分別相等是等效的，故可以去掉上式兩邊的 Re，得到,接著可以消去 去掉場量的下標(biāo),上

13、面的方程里已經(jīng)沒有時間變量了，因此方程得到了簡化。,形式上講，只有把微分算子 用 代替，就可以把時諧電磁場場量之間的線性關(guān)系，轉(zhuǎn)換為等效的復(fù)矢量關(guān)系。,同理可得,以及,上述方程稱為麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式，式中各量均為有效值。,復(fù)數(shù)形式的Maxwell方程,微分形式,積分形式,例1.已知某真空區(qū)域中的時變電磁場的電場瞬時值為,試求其磁場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)形式。,解 根據(jù)時變電場瞬時值，求得其有效值的復(fù)數(shù)形式為,由于電場僅有 y 分量，且與變量 y 無關(guān)，即 。那么,又知,,4、復(fù)數(shù)形式的波動方程亥姆霍茲方程,波動方程,設(shè)為時諧場,,,得,同理,亥姆霍茲方程,式中, 用復(fù)數(shù)形式研究時諧場稱為頻域問題

14、。, 復(fù)數(shù)公式與瞬時值公式有明顯的區(qū)別，復(fù)數(shù)表示不再加點(diǎn)。,1.復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表達(dá)式，不代表真實(shí)的場，沒有明確 物理意義,采用復(fù)數(shù)形式可以使大多數(shù)正弦電磁場問題得 以簡化；,2.實(shí)數(shù)形式代表真實(shí)場，具有明確物理意義；,3.在某些應(yīng)用條件下，如能量密度、能流密度等含有場量的 平方關(guān)系的物理量（稱為二次式 ），只能用場 量的瞬時形式表示。,,說明:,5、復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率,（1）,令 為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率，則上式可寫成,用途：把導(dǎo)電媒質(zhì)也視為一種等效的電介質(zhì)，從而可以統(tǒng)一采用電介質(zhì)的分析方法。,另外，即使介質(zhì)不導(dǎo)電，也會有能量損耗，且與頻率有關(guān)。這時同樣可以用復(fù)介電常數(shù)表示

15、這種介質(zhì)損耗，即 虛部表示有能量損耗，從能量損耗的角度，表征電介質(zhì)中的電極化損耗 。,考慮上述兩種能量損耗：歐姆損耗 和電極化損耗 ， 總的復(fù)介電常數(shù)是,（2）同樣在磁介質(zhì)有損耗的情況下，也可以采用復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率：,工程上，通常用損耗角正切來表征電介質(zhì)的損耗特性,（3）損耗角,導(dǎo)電媒質(zhì)：,弱導(dǎo)電媒質(zhì)（良絕緣體）,良導(dǎo)體,磁介質(zhì)損耗角正切,6、時諧場的位函數(shù),因此矢量位復(fù)數(shù)形式的波動方程是,因?yàn)?故,,,,,,,,,,無源,羅倫茲條件的復(fù)數(shù)形式,正弦電磁場與位函數(shù)的關(guān)系,,,7、平均能量密度和平均能流密度矢量,由前一章定義的坡印廷矢量,坡印廷矢量的瞬時值,對正弦電磁場，需討

16、論該量在一個周期內(nèi)的平均值平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量）,正弦變化矢量,式中 為相應(yīng)的復(fù)矢量,故,由上式可計算出在一個時間周期內(nèi)的平均值,于是可以定義復(fù)數(shù)坡印亭矢量,因此有,平均坡印廷矢量,與時間無關(guān)。,正弦量的有效值為瞬時值平方的周期平均值，所以正弦電磁場的能量密度的周期平均值為,即,式中 E(r) 及 H(r) 均為有效值。,或者以場強(qiáng)的最大值表示為,或者表示為,上式又可寫為,上式表明，正弦電磁場能量密度的周期平均值等于電場能量密度與磁場能量密度的最大值之和的一半。,同樣，損耗功率密度也可用復(fù)矢量表示。其最大值為,平均值為,可見，損耗功率密度的平均值也是最大值之半。,經(jīng)推導(dǎo)可得復(fù)數(shù)坡印亭定理,如果考慮傳導(dǎo)電流的焦耳熱損耗，有,極化電流的介電損耗，有,磁損耗，有 上式可寫成,物理意義：上式右邊是體積內(nèi)的有功功率和無功功率，所以上式左邊的面積分是穿過閉合面的復(fù)功率，其實(shí)部是有功功率，即功率的平均值。,,,,,,