六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題-小升初數(shù)學(xué)思維拓展第21講容斥原理

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1、 一，?知識(shí)地圖 容斥原理內(nèi)容 小升初數(shù)學(xué)思維拓展第?21?講??容斥原理 二者關(guān)系 分類 三者關(guān)系 內(nèi)容???韋恩圖 公式 求總數(shù)，三項(xiàng)都參加，三項(xiàng)都不參加的 基本計(jì)算題型 求一項(xiàng)參加，兩項(xiàng)參加的 --?方程法 求多項(xiàng)未知 --?方程法 求只參加一項(xiàng)，只參加二項(xiàng)的 --?間接計(jì)算 正方形 與圖形結(jié)合 圓形 整除 與其他知識(shí)相結(jié)合 與數(shù)論知識(shí)結(jié)合 最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù) 平方數(shù)，立方數(shù) 奇偶數(shù) 算術(shù)法 方程法 最值問題 三次都會(huì)最

2、大最小 會(huì)兩次最大最小 與排列組合結(jié)合 電燈開關(guān) 應(yīng)用題型 報(bào)數(shù)轉(zhuǎn)身 其他題型 圖形法 表格法 二，基礎(chǔ)知識(shí) 趣題導(dǎo)引： 有一次，學(xué)而思小升初培訓(xùn)部進(jìn)行數(shù)學(xué)和英語模擬測(cè)試，全體學(xué)員的考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)出來 后，周老師在班上向同學(xué)報(bào)告所有學(xué)員的考試情況。 周老師說：“這次考試成績(jī)比上一次有了很大的提高，說明同學(xué)們?cè)谶@一段時(shí)間內(nèi)非常 認(rèn)真地學(xué)習(xí)了學(xué)而思的課程，有我們老師的功勞，但更重要的是你們的努力，希望下一次考 試可以更上一層樓。我們?nèi)w六年級(jí)學(xué)員有?1106?人，其中數(shù)學(xué)成績(jī)

3、?90?分以上的有?542?人， 英語成績(jī)?90?分以上的有?479?人，數(shù)學(xué)和英語成績(jī)都考?90?分以上的有?256?人，數(shù)學(xué)和英語成 績(jī)都在?90?分以下的有?350?人，希望這部分同學(xué)可以?shī)^起直追，加倍努力，爭(zhēng)取在下一次考 試中也都可以拿到?90?分以上的好成績(jī)。” “ 周老師的話剛說完，其中一個(gè)同學(xué)小明就舉手說：“老師，您的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有問題，至少 有一個(gè)人數(shù)是不對(duì)的?！敝芾蠋熀軓娜莸幕卮鹫f：?沒錯(cuò)，小明同學(xué)說得很對(duì)，確實(shí)有一個(gè)數(shù) 據(jù)我故意說錯(cuò)的，就看大家能不能反應(yīng)出來，你們知道是為什么嗎？”于是大家都熱烈討論 了起來，同學(xué)們，你們知道小明是如何很快又肯定的說有

4、一個(gè)數(shù)據(jù)老師說錯(cuò)了嗎？要想知道 答案，先學(xué)好下面的內(nèi)容了！ （一）容斥原理介紹 本章節(jié)的主要內(nèi)容是解決?涉及包含與排除?關(guān)系的計(jì)算題與應(yīng)用題，運(yùn)用到的一個(gè)基本 原理稱為容斥原理，下面我們將容斥原理的內(nèi)容介紹給大家，由于容斥原理中涉及的各部分 之間的關(guān)系非常的微妙，希望同學(xué)可以仔細(xì)學(xué)習(xí)，細(xì)心體會(huì)。 1、兩者容斥原理圖形與公式 首先討論兩者之間的包含與排除關(guān)系，我們先來看一個(gè)例子， 一個(gè)班級(jí)上有同學(xué)數(shù)學(xué)及格，有同學(xué)語文及格，有同學(xué)兩門功 課都及格，還有同學(xué)兩門功課都不及格，那么它們的人數(shù)關(guān)系 可以用右圖表示： 從圖中我們可以看出它們之間

5、的關(guān)系，即： （數(shù)學(xué)及格人數(shù)+語文及格人數(shù)-都及格人數(shù)）+都不及格人數(shù)=全班人數(shù) 大家知道為什么要減都及格人數(shù)嗎？ 這是因?yàn)閿?shù)學(xué)及格人數(shù)和語文及格人數(shù)里面都包含了兩門都及格 的人數(shù)，這樣兩門都及格人數(shù)就重復(fù)計(jì)算兩次，所以要減去一次。 總結(jié)為一般規(guī)律，我們可以用公式來表示： S=（A+B-A∩B）+D=A∪B?+D （字母含義：A∩B-既屬于?A、又屬于?B?的元素； A∪B-屬于?A，B?中任何一個(gè)的元素； D?-既不屬于?A、又不屬于?B?的元素。） 這就是二者容斥原理的一般表達(dá)形式，圖形表達(dá)（我們稱之為韋恩圖）如圖所示。 2、三者容斥原理圖形與公式

6、 三者的容斥原理韋恩圖如圖所示，我們可以總結(jié)出三者容斥原理 的一般公式形式為： S=（A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）+D=A∪B∪C+D （字母含義： S-全部元素 A∩B-既屬于?A、又屬于?B?的元素； B∩C-既屬于?B、又屬于?C?的元素； C∩A-既屬于?C、又屬于?A?的元素； A∩B∩C-既屬于?A、又屬于?B、又屬于?C?的元素； D?-既不屬于?A、又不屬于?B、也不屬于?C?的元素； A∪B∪C-屬于?A，B，C?的全部元素。） 討論：A∩B，B∩C，C∩A?同時(shí)包含于兩個(gè)集合里面，各多加一次，所以應(yīng)該各減

7、去一 次，那么為什么還要再加上?A∩B∩C?呢？ 原來這是因?yàn)?A，B，C，A∩B，B∩C，C∩A?六個(gè)集合里面都包含了?A∩B∩C，所以?A∩B ∩C?被加了三次，又減了三次，這樣就相當(dāng)于沒加沒減，所以應(yīng)該再加上一次?A∩B∩C。 上面兩個(gè)韋恩圖與兩個(gè)公式就是容斥原理的全部?jī)?nèi)容，希望同學(xué)們可以結(jié)合圖形與公式 進(jìn)行記憶。 （二）容斥原理考察題型的一般形式 1、基本計(jì)算題型： （1）求全部元素?S，直接套用公式。 （2）求屬于三集合元素項(xiàng)：A∪B∪C?=?A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+?A∩B∩C （3）求不屬于三集合元素項(xiàng)?D，可以利用

8、兩種公式變形： D=S－（A＋B－A∩B）（兩者） D=S－（A＋B＋C－A∩B－B∩C－C∩A＋A∩B∩C）（三者） （4）求一集合元素或二集合元素中的一項(xiàng)（如?A，A∩B?等），利用公式變形比較麻煩， 我們采用方程法：設(shè)所求部分為?x，利用公式原型列出方程，解出未知數(shù)。 （5）多項(xiàng)未知，則必須用方程法，設(shè)其中一項(xiàng)為?x，表示出其他各項(xiàng)，利用公式原型列 出方程，解出未知數(shù)。 （6）求其他間接項(xiàng)，?一般先求出相關(guān)部分項(xiàng)，?再進(jìn)行組合與排除。一般可能有以下幾 種情況： 1，只屬于某集合元素。如：只屬于?A?元素=A－A∩B－C∩A＋A∩B∩C； 2，只屬于一集合全部元素=A＋

9、B＋C－A∩B×2－B∩C×2－C∩A×2+A∩B∩C×3； 3，只屬于某二集合元素：如只屬于?A，B?元素=A∩B-A∩B∩C； 4，只屬于二集合全部元素=A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C×3； 5，至少屬于二集合全部元素=A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C×2?等。 同學(xué)們可以自己結(jié)合韋恩圖進(jìn)行總結(jié)。 2、與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合題型 （1）與圖形相結(jié)合求總面積：逐一求出公式中對(duì)應(yīng)各部分面積，套用公式或列出方程。 （2）與數(shù)論中倍數(shù)知識(shí)相結(jié)合：詳見例題?5。 （3）與分?jǐn)?shù)知識(shí)相結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為（2）中題型，詳見例題?6。 （4）與數(shù)論中平方，立方數(shù)知識(shí)相結(jié)合，利

10、用估算法，詳見拓展訓(xùn)練?2。 （5）與最值問題相結(jié)合：公式中某項(xiàng)的最大最小問題，采用方程分析法和極端假設(shè)法， 詳見例題?8，9。 3、應(yīng)用題型 （1）關(guān)于電燈開關(guān)題型：電燈被拉奇數(shù)次改變開關(guān)狀態(tài)，被拉偶數(shù)次不改變開關(guān)狀態(tài)。 弄清楚所要求項(xiàng)的具體含義及所對(duì)應(yīng)韋恩圖部分，先求出公式中相關(guān)項(xiàng)，利用間接法求出， 請(qǐng)結(jié)合題型?1（6）中公式進(jìn)行。詳見例題?7。 （2）關(guān)于報(bào)數(shù)轉(zhuǎn)身題型：轉(zhuǎn)身奇數(shù)次改變方向，轉(zhuǎn)身偶數(shù)次不改變方向。?與電燈開關(guān) 題型思路一致。 4、其他題型 當(dāng)題目中不涉及重復(fù)部分的計(jì)算或者已知條件不是容斥原理中相關(guān)項(xiàng)時(shí)，可能不需要利

11、用容斥原理公式進(jìn)行計(jì)算，但必須畫出韋恩圖或者自己設(shè)計(jì)表格進(jìn)行分析，必須讓各部分關(guān) 系直觀清晰，詳見拓展訓(xùn)練?9。如一種常用的的表格形式為： 一班 二班 三班 總數(shù) 男生 一班男生 二班男生 三班男生 男生總數(shù) 女生 一班女生 二班女生 三班女生 女生總數(shù) 總數(shù) 一班總數(shù) 二班總數(shù) 三班總數(shù) 所有總數(shù) 趣題解析： 學(xué)完容斥原理的知識(shí)后，同學(xué)們是不是可以解釋開篇趣題中小明的問題了呢？原來小明 在周老師報(bào)完四個(gè)人數(shù)后很快的心算了一下，發(fā)現(xiàn)不符

12、合容斥原理的數(shù)量關(guān)系，所以才說數(shù) 據(jù)有問題。根據(jù)容斥原理的公式，全體學(xué)員人數(shù)應(yīng)該是（542+479-256）+350=1115，而周老 師又說全體學(xué)員人數(shù)為?1106?人，所以前后矛盾，其中肯定至少有一個(gè)數(shù)據(jù)是不對(duì)的，同學(xué) 們，你們學(xué)會(huì)了嗎？如果覺得很有意思，就繼續(xù)往下做題吧！ 三、經(jīng)典透析 【例?1】（☆☆☆）志誠(chéng)中學(xué)?5?年級(jí)有?200?名學(xué)生踴躍申報(bào)學(xué)而思各學(xué)科培訓(xùn)班，已知申報(bào) 奧數(shù)班的學(xué)生有?140?人，申報(bào)英語班的學(xué)生有?120?人，申報(bào)科技班的學(xué)生有?60?人，參加奧 數(shù)和英語班的學(xué)生有?60?人，申報(bào)奧數(shù)和科技班的學(xué)生有?40?人，申

13、報(bào)英語班和科技班的學(xué)生 有?30?人，那么有多少人三個(gè)班都報(bào)了？ 審題要點(diǎn)： 此題為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，大家先復(fù)習(xí)一下三者關(guān)系容斥原理的“韋恩 圖”與計(jì)算公式，根據(jù)條件對(duì)應(yīng)逐一填入，然后直接運(yùn)用公式將未知求出。 詳解過程： 解：畫出韋恩圖，將相應(yīng)人數(shù)填入，只有三個(gè)班都報(bào)的同學(xué)未知，設(shè) 為?x?人，根據(jù)容斥原理公式列出方程：140+120+60－60－40－30+x=200， 解出?x=10，所以共有?10?人三個(gè)班都報(bào)了。 專家點(diǎn)評(píng)： 此題中由于是三個(gè)班都報(bào)的同學(xué)未知，所以也可以不列方程，將公式變形用算術(shù)方法直 接算出，20

14、0－（140+120+60－60－40－30）=10（人）。差別不大，同學(xué)們注意體會(huì)其中關(guān) 系。 【例?2】（☆☆☆）火星小學(xué)四年級(jí)有?45?人參加了慰問堅(jiān)守在青年宮、防洪紀(jì)念塔、九站三 個(gè)地段抗洪的解放軍叔叔的活動(dòng)，去過青年宮慰問的有?19?人，去過防洪紀(jì)念塔的有?18?人， 去過九站的有?16?人；去過青年宮、防洪紀(jì)念塔兩處的有?7?人，去過青年宮、九站兩處的有 6?人，去過防洪紀(jì)念塔、九站兩處的有?5?人；有?3?人三處都去過；其余的在校準(zhǔn)備慰問品， 請(qǐng)問準(zhǔn)備慰問品的有多少人？ 審題要點(diǎn)： 此題也為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，題目中未知數(shù)為沒有

15、參加任何一項(xiàng)慰問活 動(dòng)的同學(xué)，可以列方程算出，也可以直接對(duì)公式變形用算術(shù)法算出。 詳解過程： 解：方程法：畫出韋恩圖，將相應(yīng)人數(shù)填入，設(shè)在校準(zhǔn)備慰問品的人數(shù) 為?x，根據(jù)公式直接列出方程為（19+18+16-7-6-5+3）+x=45，解出?x=7， 所以準(zhǔn)備慰問品的人數(shù)為?7?人。 算術(shù)法：直接將公式變形，可求得準(zhǔn)備慰問品人數(shù)為 45-（19+18+16-7-6-5+3）=7（人）。 專家點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于求三者都參加或者三者都不參加的部分，用方程法與算術(shù)法差別不大，但是對(duì)于求 只參加一項(xiàng)或參加兩項(xiàng)的部分，?建議最好用方程，因?yàn)樵诠阶冃沃泻苋菀壮霈F(xiàn)符號(hào)的變

16、形錯(cuò)誤，請(qǐng)看例題?3。 （ 【例?3】?☆☆☆☆）某校五年級(jí)有?120?名學(xué)生，訂《故事大王》的有?85?人，訂《兒童漫畫》 的有?90?人，訂《優(yōu)秀作文選》的有?70?人，同時(shí)訂《故事大王》和《優(yōu)秀作文選》的有?62 人，同時(shí)訂《兒童漫畫》和《優(yōu)秀作文選》的有?46?人，同時(shí)訂這三種雜志的有?21?人，此外， 還有?5?名學(xué)生沒有訂任何雜志，問：恰好只訂了《故事大王》和《兒童漫畫》的有多少人？ 審題要點(diǎn)： 此題與前兩題類型相同，也為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，題目中未知數(shù)為只訂 《故事大王》和《兒童漫畫》的人數(shù)，所以建議使用方程法解出。注意題目中要

17、求的是只訂 《故事大王》和《兒童漫畫》的人數(shù)，而不是訂了《故事大王》和《兒童漫畫》的人數(shù)，所 以應(yīng)該先求出訂了《故事大王》和《兒童漫畫》的人數(shù)，然后再減去三項(xiàng)都訂的人數(shù)即可。 詳解過程： 解：設(shè)同時(shí)訂《故事大王》和《兒童漫畫》的有?x?人，根據(jù) 公式原型列出方程為： 120-85-90-70+62+46+x-21=5，解得?x=43 所以，只訂《故事大王》和《兒童漫畫》的人數(shù)為?43-21=22?人。 專家點(diǎn)評(píng)： 1，此題中未知的是參加兩項(xiàng)的人數(shù)，所以不易用將公式變形用算術(shù)方法求出，而應(yīng)該列 出方程，這樣數(shù)據(jù)關(guān)系更清晰。 2，注意題

18、目要求的是只訂《故事大王》和《兒童漫畫》的人數(shù)，這不是容斥原理公式中 涉及的部分，所以不能直接求出，而應(yīng)該根據(jù)韋恩圖中的關(guān)系間接求出。 【例?4】（☆☆☆☆）五年級(jí)三班有?46?名學(xué)生參加三項(xiàng)課外活動(dòng)，其中?24?人參加了繪畫小 組，20?人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)的 3.5?倍，又是三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7?倍，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)相當(dāng)于三 項(xiàng)都參加人數(shù)的?2?倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有?10?人，求參加朗誦小組的人數(shù)。 審題要點(diǎn)： 此題與前三題類型相同，也為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型

19、，題目中不止一項(xiàng)未知 數(shù)，但是各項(xiàng)未知數(shù)之間具有倍數(shù)關(guān)系，所以應(yīng)該用方程法解答。 詳解過程： 解：觀察發(fā)現(xiàn)三項(xiàng)都參加的人數(shù)最少，所以設(shè)其為?x，那么參加朗誦小組的 人數(shù)為?7x，既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)為?2x，既參加朗誦小組又 參加合唱小組的人數(shù)也為?2x，畫出韋恩圖，根據(jù)公式列出方程： 46=?24+20+7x-2x-2x-10+x?解出?x=3 所以參加朗誦小組的人數(shù)為?7x=21?人。 專家點(diǎn)評(píng)： 1，此題不能直接利用公式變形算術(shù)方法算出，必須列出方程。 2，列方程解應(yīng)用題時(shí)?x?的選擇并不一定是題目所求，而應(yīng)該是所有未知量中較小值， 這樣

20、其他未知量就比較好表示出，否則方程中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)或除法，不利于方程的解答。 【例?5】（☆☆☆☆）在?1?到?2004?的所有自然數(shù)中，既不是?2?的倍數(shù)，也不是?3、5?的倍數(shù) 的數(shù)有多少個(gè)？ 審題要點(diǎn)： 此題為容斥原理與數(shù)論知識(shí)相結(jié)合的一類典型題型，首先要糾正一種非常錯(cuò)誤的方法： 即用全部數(shù)分別減去?2，3?和?5?的倍數(shù)個(gè)數(shù)即得到答案。錯(cuò)誤原因是?2，3，5?的倍數(shù)之中有 很多重復(fù)的部分，所以應(yīng)該利用容斥原理的基本原理，畫出韋恩圖，根據(jù)公式計(jì)算。 詳解過程： 解：1，畫出韋恩圖，首先計(jì)算各集合部分的個(gè)數(shù)： 2?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷2

21、=1002， 3?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷3=668， 5?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷5=400…4， 2，再計(jì)算各重復(fù)部分的個(gè)數(shù)： 同時(shí)是?2?和?3?的倍數(shù)，即是?6?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷6=334 同時(shí)是?2?和?5?的倍數(shù)，即是?10?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷10=200…4 同時(shí)是?3?和?5?的倍數(shù)，即是?15?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷15=133…9 同時(shí)是?2，3，5?的倍數(shù)，即是?30?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷30=66…24 3，根據(jù)公式變形可得不是?2、3、5?的倍數(shù)個(gè)數(shù)為：2004-（1002+668+400-334-200-133+66） =535。

22、 專家點(diǎn)評(píng)： 1，由于有些數(shù)可能同時(shí)是?2，3，5?的倍數(shù)，所以應(yīng)該考慮聯(lián)系到容斥原理的運(yùn)用，因 為容斥原理的主要功能就是解決有關(guān)重復(fù)內(nèi)容的原理。 2，同時(shí)是幾個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)。 【例?6】（☆☆☆☆）分母是?385?的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？ 審題要點(diǎn)： 由于分母?385=5×7×11，要求分?jǐn)?shù)為最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，所以分子不能是?5、7、11?的倍數(shù)。 此題即轉(zhuǎn)化為求?1～385?中不是?5、7、11?的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，和上一題完全類似，采取一樣的解 題思路與步驟。 詳解過程： 解：1，畫出韋恩圖，首先計(jì)算各部分的個(gè)

23、數(shù)： 5?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷5=77 7?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷7=55 11?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷11=35 同時(shí)是?5?和?7?的倍數(shù)即是?35?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷35=11 同時(shí)是?5?和?11?的倍數(shù)即是?55?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷55=7 同時(shí)是?7?和?11?的倍數(shù)即是?77?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷77=5 同時(shí)是?5，7，11?的倍數(shù)即是?385?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷385=1 2，根據(jù)公式變形，可得不是?5、7、11?的倍數(shù)個(gè)數(shù)為：385-（77+55+35-11-7-5+1）=240。 所以分母是?385?的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有?240?個(gè)。 專家點(diǎn)評(píng)：

24、 此題也為容斥原理與數(shù)論知識(shí)相結(jié)合的一類典型題型，?首先需要了解的知識(shí)點(diǎn)是?最簡(jiǎn) 真分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，?即分子與分母必須為互質(zhì)關(guān)系，?也即是分子不能是分母質(zhì)因數(shù)的倍數(shù)，?得 出解題思路。 另外，本題還可以用中國(guó)剩余定理和乘法原理來解決。 需要尋找?1385?中不被?5、7、11?中任何一個(gè)數(shù)整除的個(gè)數(shù)。 被?5?除的余數(shù)有?1～4，共?4?種； 被?7?除的余數(shù)有?1～6，共?6?種； 被?11?除的余數(shù)有?1～10，共?10?種； 根據(jù)中國(guó)剩余定理，對(duì)于任何一種余數(shù)組合，1～385?中必存在唯一的數(shù)滿足。所以， 根據(jù)乘法原理，1-385?中不被?5、7、11?中任何一個(gè)數(shù)

25、整除的個(gè)數(shù)為?4×6×10=240。 【例?7】（☆☆☆☆☆）有?2000?盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號(hào) 為?1，2，3，…，2000，然后將編號(hào)為?2?的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號(hào)為?3?的倍數(shù)的燈線 拉一下，最后將編號(hào)為?5?的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？ 審題要點(diǎn)： 此題與前兩題一樣，涉及數(shù)論中倍數(shù)關(guān)系的容斥原理應(yīng)用題型，解題思路完全一樣，但 是要注意最后要求的部分不一樣?，必須利用間接計(jì)算法?進(jìn)行簡(jiǎn)單的分解與 組合。 詳解過程： 解：1、首先分析最后要求的部分含義是什么。 電燈原來亮著，要求

26、三次拉完之后還是亮著，則燈被拉的次數(shù)必須 為偶數(shù)，即可能是一次都沒被拉，也可能是只被拉兩次的。所以最 后的答案應(yīng)該是兩部分之和。 2、進(jìn)行各部分的計(jì)算： 2?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷2=1000； 3?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷3=666…2； 5?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷5=400； 6?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷6=333…2； 10?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷10=200； 15?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷15=133…5； 30?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷30=66…20。 3、根據(jù)公式變形，可得沒被拉一次的電燈盞數(shù)（不是?2、3、5?的倍數(shù)）為： 2000-（1000+666+400

27、-333-200-133+66）=534。 只被拉兩次的電燈盞數(shù)（只是其中兩者的倍數(shù)）為：333+200+133-66×3=468。 所以最后亮著的燈的盞數(shù)為：534+468=1002。 專家點(diǎn)評(píng)： 1、此題首先要弄清楚是哪些燈最后還是亮著的，主要包括兩部分的燈：一次都沒拉和 只拉了兩次的。 2、只拉了兩次的燈數(shù)中不包括三次都拉了的燈數(shù)，所以計(jì)算時(shí)應(yīng)該減去被拉三次燈數(shù) 的三倍（因?yàn)槎嘤?jì)算三次），請(qǐng)參考題型?1（6）中的間接計(jì)算方法。 【例?8】（☆☆☆☆☆）圖書室有?100?本書，借閱圖書者需要在圖書上簽名。已知這?100?本 書中有甲、乙、丙簽名的分

28、別有?33、44?和?55?本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書?29?本，同 時(shí)有甲、丙簽名的圖書為25?本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為?36?本。問這批圖書中最少有多 少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過？ 審題要點(diǎn)： 此題屬于容斥原理與最值問題相結(jié)合題型，公式中只有兩項(xiàng)未知：沒被任何人借閱過的 和同時(shí)被三人借閱過的數(shù)目，一項(xiàng)的最值取決于另一項(xiàng)的取值，采用方程法分析。 詳解過程： 解：題目中未知項(xiàng)有兩項(xiàng)，沒被任何人借閱過的和同時(shí)被三人借閱過的，分別設(shè)為?x， y，根據(jù)公式列出不定方程為： 100=（33+44+55-29-25-36+?y）+x，化簡(jiǎn)為：

29、x?+?y=58 要使?x?值取最少，那么?y?值應(yīng)該盡量大，由韋恩圖可看出?y?包含于三集合?29，25，36 中，所以?y?的最大值應(yīng)該是?25，此時(shí)?x=33，即最少有?33?本沒有被甲乙丙中的任何一人借閱 過。 專家點(diǎn)評(píng)： 1，由于只有兩項(xiàng)未知數(shù)，所以可以用方程法進(jìn)行分析，如果未知數(shù)多于兩個(gè)，則不宜 用方程法，下一題即是此種情況。 2，應(yīng)該用包含的原理得出其中項(xiàng)的最大值或最小值。若?A?包含?B，那么?B?的最大值為?A， A?的最小值為?B，如：某班數(shù)學(xué)成績(jī)滿分人數(shù)為15，那么數(shù)學(xué)語文成績(jī)均滿分的人數(shù)最大為 15，反之若數(shù)學(xué)語文成績(jī)均滿分的人數(shù)為?5，那么語

30、文成績(jī)滿分的人數(shù)最少為?5?人。 【例?9】（☆☆☆☆）甲、乙、丙同時(shí)給?100?盆花澆水。已知甲澆了?78?盆，乙澆了?68?盆， 丙澆了?58?盆，那么?3?人都澆過的花最少有多少盆？ 審題要點(diǎn)： 此題與上題類似，屬于?容斥原理與最值問題相結(jié)合題型，?但是題目已知條件太少，?公 式中未知項(xiàng)有?5?項(xiàng)，所以不好直接用方程法分析出最后答案。采用極端假設(shè)法進(jìn)行分析。 詳解過程： 解：因?yàn)轭}目所求為?3?人都澆過的花最少為幾盤，那么意思就是我們應(yīng)該讓?3?人澆過的 花盡量分散，即每人盡量不要澆其他人澆過的花，?采用極端假設(shè)法即假設(shè)每人都首先選擇 澆

31、其他人沒澆過的花。 首先考慮甲和乙，甲澆了?78?盆，沒澆?100-78=22?盆，那么 乙應(yīng)該先澆甲沒澆的?22?盆，剩下的只能選擇甲已經(jīng)澆過的 68-22=46?盆，這樣兩人都澆過的有?46?盆，只有一人澆過的 有?100-46=54?盆。 再考慮丙，丙應(yīng)該先選擇澆只有一個(gè)人澆過的?54?盆，剩下的只能選 擇?兩?人?都?澆?過?的 58-54=4 盆?，?這?樣?三?人?都?澆?過?的?為 4 盆?， 其他盆均為至多兩人澆過的。所以，3?人都澆過的花最少有?4?盆。 專家點(diǎn)評(píng)： 1，題目中所給條件太少，很難用二元方程的常規(guī)方法分析，所以選擇用極端假設(shè)

32、法。 2，運(yùn)用極端假設(shè)法時(shí)，必須隨時(shí)滿足題目要求的最值條件，這里應(yīng)該要強(qiáng)調(diào)掌握從反 面角度考慮問題的思路。不能怎么樣，那么我們就應(yīng)該怎么樣；要怎么樣，那么我們就不能 怎么樣。 3，滿足最值條件的假設(shè)結(jié)論即是我們要求的最值結(jié)論。 4，此題也有另外的多元方程分析法。多元方程知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)比較好的同學(xué)可以參考使用： 另解：如果從整體考慮，三個(gè)人一共澆了?78+68+58=204（盆）花，如果設(shè)被澆次數(shù)為?1、 2、3?次的花盆數(shù)分別為?a、b、c，那么可以得到以下兩條等式： a?b+c=100 a+2b+3c=204 ②-①×2，得到：?c 4+a?。 因?yàn)?a

33、 0?，所以?c 4?， 所以被?3?個(gè)人都澆過的花至少有?4?盆。 ① ② 四、拓展訓(xùn)練 1、邊長(zhǎng)為?6、5、2?的三個(gè)正方形，如圖所示，求它們的蓋住部分的面積。 2、在?1?到?1000?的自然數(shù)中，既不是平方數(shù)也不是立方數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 3、求在?1～100?的自然數(shù)中不是?5?的倍數(shù)也不是?6?的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 4、某校有?28?名學(xué)生參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)，參加跑步類項(xiàng)目的有?15?人，參加跳類項(xiàng)目的有?13?人， 參加投擲類項(xiàng)目的

34、有?14?人，既參加跑又參加跳項(xiàng)目的有?4?人，既參加跑又參加投擲項(xiàng)目的 有?6?人，既參加跳又參加投擲項(xiàng)目的有5?人，三種項(xiàng)目都參加的有?2?人，試說明：這個(gè)報(bào)名 表有誤。 5、以?1001?為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？ 6、學(xué)而思六年級(jí)競(jìng)賽班有50?人，共有三個(gè)科技興趣小組：天文、無線電和計(jì)算機(jī)，參加天 文組的有?38?人，參加無線電組的有?35?人，參加計(jì)算機(jī)組的有?31?人，既參加天文組又參加 無線電組的有?29?人，既參加天文組又參加計(jì)算機(jī)組的有?28?人，既參加無線電又參加計(jì)算機(jī) 組的有?26?人，三個(gè)小組都參

35、加的有?24?人，試求三個(gè)小組都沒有參加的人數(shù)。 7、不超過?201?的自然數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)有多少個(gè)？ 8、某科室有?12?人，其中?6?人會(huì)英語，5?人會(huì)俄語，5?人會(huì)日語，有?3?人既會(huì)英語又會(huì)俄語， 有?2?人既會(huì)俄語又會(huì)日語，有?2?人既會(huì)英語又會(huì)日語，有?1?人英、日、俄這三種語言全會(huì)， 只會(huì)一種外語的人比一種外語也不會(huì)的人多多少人？ 9、（1）48?人中無弟弟的有?38?人，有弟弟無妹妹的有?8?人，無弟弟有妹妹的人數(shù)是有弟弟 有妹妹人數(shù)的?2?倍，試問：這?48?人當(dāng)中是獨(dú)生子女的有

36、幾個(gè)？ （2）學(xué)而思舉行各年級(jí)學(xué)生畫展，其中?18?幅不是六年級(jí)的，20?幅不是五年級(jí)的，現(xiàn)在知 道五、六年級(jí)共展出?22?幅畫，問：其他年級(jí)共展出多少幅畫？ 8、?如圖，5?條同樣長(zhǎng)的線段拼成了一個(gè)五角形。如果每條線段上恰有?1994?個(gè) 9、?點(diǎn)被染成紅色，那么在這個(gè)五角形上紅色點(diǎn)最少有多少個(gè)？ 初級(jí)點(diǎn)撥： 1、直接利用三者容斥原理的公式進(jìn)行計(jì)算，首先應(yīng)該分別算出各相應(yīng)部分面積。 2、直接利用二者容斥原理的公式進(jìn)行計(jì)算，首先應(yīng)該分別算出各相應(yīng)部分個(gè)數(shù)。 3、此題為兩者關(guān)系的容斥原理與數(shù)論

37、倍數(shù)相結(jié)合?題型，求出各部分個(gè)數(shù)，利用公式計(jì)算。 4、可以根據(jù)其他數(shù)據(jù)計(jì)算學(xué)生總?cè)藬?shù)，看是否等于已知條件，利用容斥原理公式。 5、此題為容斥原理與數(shù)論知識(shí)的結(jié)合考察，先分解質(zhì)因數(shù)?1001=7×11×13，所以分子不能 是?7，11，13?的倍數(shù)。 6、容斥原理基本題型，直接利用公式，可列出方程，也可進(jìn)行公式變形。 7、此題較為復(fù)雜，是容斥原理與排列組合知識(shí)的綜合題型。首先按數(shù)位分兩大類：兩位數(shù) 與三位數(shù)。兩位數(shù)中：只有5?個(gè)（11、33、55、77、99）符合條件。三位數(shù)的個(gè)數(shù)必須利用 容斥原理公式計(jì)算。 8、此題為基本

38、計(jì)算題，一種外語也不會(huì)的人可以直接利用公式變形算出，只會(huì)一種外語的 人數(shù)應(yīng)該要用間接法求出。 9、（1）此題可以設(shè)計(jì)表格進(jìn)行分析。  有妹妹??無妹妹??總和 有弟弟 無弟弟 總和 （2）此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部分，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為肯定的部分?jǐn)?shù) 據(jù)，畫出韋恩圖，然后列出方程進(jìn)行解答。 10、此題屬于容斥原理與最值問題相結(jié)合?題型，由于未知條件僅為紅色點(diǎn)總數(shù)和重復(fù)點(diǎn)總 數(shù)，應(yīng)該用方程法分析。 深度提示： 1、三正方形面積分別為?5×5=25，6

39、×6=36，2×2=4，兩兩重復(fù)部分面積分別為?3×3=9，1 ×2=2，1×2=2，三正方形均重復(fù)的部分面積為?1×1=1，然后直接套用公式。 2、⑴、1-1000?中，312＜1000＜322，所以平方數(shù)個(gè)數(shù)為?31。 ⑵、103=1000，所以立方數(shù)個(gè)數(shù)為?10。 ⑶、即是平方數(shù)也是立方數(shù)則?應(yīng)該是六次方數(shù)，?36＜1000＜46， 所以個(gè)數(shù)為?3。 然后直接套用公式。 3、5?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：100÷5=20；6?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：100÷6=16…4； 30?的倍數(shù)個(gè)數(shù)：100÷30=3…10。 要求不是?5，6?的倍數(shù)，可利用公式變形。

40、 4、直接計(jì)算總?cè)藬?shù)為?15+13+14-4-6-5+2=29?人。 5、計(jì)算各部分個(gè)數(shù)：7?的倍數(shù)有?143?個(gè)，11?的倍數(shù)有?91?個(gè)，13?的倍數(shù)有?77?個(gè)，7×11?的 倍數(shù)有?13?個(gè)，13×7?的倍數(shù)有?11?個(gè)，11×13?的倍數(shù)有?7?個(gè)，只有?1001?是?7、11、13?的倍 數(shù)，套用公式。 6、方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=50 7、三位數(shù)中的個(gè)數(shù)計(jì)算： 至少兩個(gè)數(shù)字相同的反面是三個(gè)數(shù)字都不相同，奇數(shù)的反面是偶數(shù)，所以設(shè)計(jì)韋恩圖為： 可看出外圍部分即為所求至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)。

41、 根據(jù)乘法原理：三個(gè)數(shù)字都不相同的數(shù)字個(gè)數(shù)為?9×8=72，偶數(shù)有 50?個(gè)，三個(gè)數(shù)字都不相同的偶數(shù)為?5×8=40?個(gè)，套用公式。 8，根據(jù)題型?1（6）中公式介紹可知只會(huì)一種外語的人數(shù)為： 6+5+5-（3+2+2）×2+1×3=5。 9，（1）根據(jù)條件將數(shù)據(jù)填入表格：  有妹妹??無妹妹??總和 有弟弟 x 8 無弟弟 2x 38 總和 48 ⑵?根據(jù)韋恩圖，18?幅不是六年級(jí)的，即?A+C=18，20?幅不是五 年級(jí)的，即?B+C=20，又五六年級(jí)共?22?幅圖，即?A+B=22。聯(lián)立三方程， 解

42、出未知數(shù)。 10、設(shè)總點(diǎn)數(shù)為?x，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為?y，根據(jù)公式有?x=1994×5-y，化簡(jiǎn)為?x=9970-y， 要求?x?為最少，對(duì)?y?進(jìn)行分析。 全解過程： 1、根據(jù)三者容斥原理公式，覆蓋總面積為?25+36+4-9-2-2+1=53。 2、根據(jù)公式得不是平方數(shù)也不是立方數(shù)的個(gè)數(shù)是： 1000－（31+10-3）=962。 3、公式變形為：100-（20+16-3）=67?即不是?5，6?倍數(shù)的數(shù)有?67?個(gè)。 4、因?yàn)橐阎獥l件為?28?人

43、，所以相互矛盾，報(bào)表有誤。 5、根據(jù)公式計(jì)算：最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)為?1001-（143+77+91-7-13-11+1）=720。 或者：（7-1）×（11-1）×（13-1）=720。 6、初級(jí)點(diǎn)撥：容斥原理基本題型，可列出方程，也可進(jìn)行公式變形。 深度提示：方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=50 全解：解方程得?x=5，也可利用公式變形：50-（38+35+31-29-28-26+24）=5?人 7、初級(jí)點(diǎn)撥：此題較為復(fù)雜，是容斥原理與排列組合知識(shí)的綜合題型。 首先按數(shù)位分兩大類：兩位數(shù)與三位數(shù)。兩位數(shù)中，只

44、有?5?個(gè)（11、33、 55、77、99）符合要求。 深度提示：三位數(shù)中的個(gè)數(shù)計(jì)算： 至少兩個(gè)數(shù)字相同的反面是三個(gè)數(shù)字都不相同，奇數(shù)的反面是偶數(shù)， 所以設(shè)計(jì)韋恩圖為： 可看出外圍部分即為所求至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)。 根據(jù)乘法原理：三個(gè)數(shù)字都不相同的數(shù)字個(gè)數(shù)為?9×8=72，偶數(shù)有?50?個(gè)，三個(gè)數(shù)字都 不相同的偶數(shù)為?5×8=40?個(gè)。 全解：根據(jù)公式，可知三位數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)為?100-（72+50-40）=18。 所以不超過?201?的自然數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)有?18+5=23?個(gè)。 8、初級(jí)點(diǎn)撥：此題為基本計(jì)算題，一種外語也不

45、會(huì)的人可以直接利用公式變形算出，只會(huì) 一種外語的人數(shù)應(yīng)該要用間接法求出： 深度提示：根據(jù)題型?1（6）中公式介紹可知只會(huì)一種外語的人數(shù)為：6+5+5-（3+2+2）× 2+1×3=5 全解：根據(jù)公式變形可知一種外語也不會(huì)的人數(shù)為?12-（6+5+5-3-2-2+1）=2 所以只會(huì)一種外語的人比一種外語也不會(huì)的人多?5-2=3（人）。 另解：用分塊計(jì)數(shù)法如下圖可知，只會(huì)一種外語的有2+2+1=5?人，一種也不會(huì)的有?2?人。所 求答案是?5-2=3?人。 英語 2 俄語 2  1?1?1 1 2 日語

46、2 有妹妹 無妹妹 總和 有弟弟 無弟弟 9、（1）初級(jí)點(diǎn)撥：此題可以設(shè)計(jì)表格進(jìn)行分析。 總和 深度提示：根據(jù)條件將數(shù)據(jù)填入表格：  有妹妹??無妹妹??總和 有弟弟 x 8 無弟弟 2x 38 總和 48 全解：根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系將表格補(bǔ)充完整： 有妹妹 無妹妹 總和 ⑴、A=48-38=10?⑵、x=A-8=2 ⑶、y=38-2x=34 有弟弟 x=2 8 A=10 y?為無弟弟無妹妹即是獨(dú)生子女，所以獨(dú)生子女 有?3

47、4?個(gè)。 無弟弟???2x=4????y=34????38 總和???????6??????42?????48 ⑵初級(jí)點(diǎn)撥：此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部 分，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為肯定的部分?jǐn)?shù)據(jù)，畫出韋恩圖，然后列出方程進(jìn)行解答。 深度提示：根據(jù)韋恩圖，18?幅不是六年級(jí)的，即?A+C=18， 20?幅不是五年級(jí)的，即?B+C=20，又五六年級(jí)共?22?幅圖， 即?A+B=22，解出未知數(shù)。 全解：三式全部相加可得：A+B+C=（18+20+22）÷2=30，所以其他年級(jí)的畫數(shù)為?30-22=8。 10、初級(jí)點(diǎn)撥：?此題屬于容斥原理與最值問題?相結(jié)合題型，由于未知條件僅為紅色點(diǎn)總數(shù) 和重復(fù)點(diǎn)總數(shù)，應(yīng)該用方程法分析。 深度提示：設(shè)總點(diǎn)數(shù)為?x，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為?y，根據(jù)公式有?x=1994×5-y，化簡(jiǎn)為?x=9970-y， 要求?x?為最少，對(duì)?y?進(jìn)行分析。 全解過程：要使?x?最少，y?應(yīng)該盡量大，五角星中線段與線段之間一共十個(gè)點(diǎn)，所以重復(fù) 點(diǎn)數(shù)最多為?10?個(gè)，所以?x?最少為?9970-10=9960，即紅色點(diǎn)最少有?9960?個(gè)。