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1、8. 傳遞函數(shù)矩陣的零極點,8.1 極點和零點 SISO系統(tǒng)：,定義：零點當輸入u為有限值時，使輸出y(s)為0的那些s值。 極點當輸入u為有限值時，使輸出y(s)為的那些s值。 顯然，零點是使G(s)的模為0的那些s值； 極點是使G(s)的模為 的那些s值。 對MIMO系統(tǒng)，則要復(fù)雜得多。,一. Rosenbrock對零極點的定義,給定 定義：G(s)的極點為M(s)中 的根，i=1,2,,r G(s)的零點為M(s)中 的根，i=1,2,,r,例如 所以，零點：s=0處有三個零點； 極點：s=-1處有兩個零點； s=-2處有三個極
2、點。,二. 其它對零極點的定義,1. 不可簡約矩陣分式描述 G(s)的極點：detD(s)=0的根，或，detA(s)=0的根 G(s)的零點：使N(s)或B(s)降秩的s值。 該定義等價于Rosenbrock定義。 證：設(shè)G(s)的Smith-Mcmillan標準形為M(s),則,則,而 對左不可簡約MFD有同樣的結(jié)論。 2. G(s)嚴格真時，對應(yīng)的狀態(tài)空間描述A,B,C能控，能觀 則,3. 方便計算的定義 （1）G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s)的極點多項式，記為p(s)，p(s)=0的根，即為G(s)的極點。 （2）當G(s)的r階子式，以p(s)為共同分母時，其
3、分子的首1最大公因式，即為G(s)的零點多項式z(s)，z(s)=0的根，即為G(s)的零點。 注：各階子式必須化為不可簡約形式。 例：,（1）求極點 G(s)的一階子式即為其各個元素 G(s)的二階子式為 （2）求零點 上邊的2階子式以p(s)為分母，則有,分母的首1最大公因式為(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零點為-1。 幾點討論： （1）傳遞函數(shù)矩陣G(s)在復(fù)平面上的同一點出現(xiàn)零、極點時， 可以不形成對消。例 （2）由定義3可知，傳遞函數(shù)矩陣G(s)的極點，必是它的某一元素的極點；反之，G(s)的某個元素的極點，也是G(s)的極點。“一致性”,（3）對零點，不
4、存在如（2）所述的“一致性”，盡管有時相同。 （4）若s=是G(s)的零點，則必有 但不一定rankG(s= )
5、征向量，即 （ I-A）v=0,,則（sI-A)v=(sI-A)v-(I-A)v=(s- )v 系統(tǒng)輸出 r=cv是不為0的常數(shù)？！ A，c能觀：由PBH秩判據(jù)，等價于sI-A,c滿秩，sC 對非零向量v，應(yīng)有 但已有（ I-A）v=0，故cv0 必要性得證。,充分性：由 導(dǎo)出是g(s)的極點。 定理的意義： 若是g(s)的極點，則能用初始狀態(tài)在輸出端產(chǎn)生模態(tài) 而不必施加任何輸入； 若不是g(s)的極點，則這是不可能的。在輸出端產(chǎn)生 的唯一途徑是在輸入端施加,對MIMO系統(tǒng)，有相同的結(jié)論。 即：考慮具有正則傳遞矩陣G(s)及不可簡約實現(xiàn)A,B,C,D的多變量系統(tǒng)
6、。數(shù)是G(s)的極點的充分必要條件是，存在一個初始狀態(tài)x0，使得系統(tǒng)輸出端的零輸入響應(yīng)為 ，其中r為非零向量。 2. 關(guān)于零點 證明見書 G(s)A,B,C 滿足,阻塞傳輸性。 所以，前面定義的零點也叫傳輸零點。 8.2 結(jié)構(gòu)指數(shù) rank G(s)=r,定義： 則 是G(s)的有限極點和零點的集合。,幾點討論 （1）不管是零點，還是極點，統(tǒng)一表達成一個對角陣形式。 （2）零極點的重數(shù) 在s=處的極點重數(shù)= 中負指數(shù)之和取絕對值 在s=處的零點重數(shù)= 中正指數(shù)之和,8.3 無窮遠處的零極點,一. 無窮遠處零極點的定義 SISO系統(tǒng)：s時，若G(s)趨于0，則在處有零點； 若G(s)趨于，則在處有極點（非真時） MIMO系統(tǒng)：在G(s)中，以 代入，化成H()有理分式矩陣，對應(yīng)的Smith-Mcmillan標準形為 則： 只需確定無窮遠處零極點的個數(shù)。,例： 無窮遠處的極點：=0，2個 無窮遠處的零點： =0，1個,
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