2021-2022學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第1章勾股定理》單元綜合培優(yōu)提升訓(xùn)練【含答案】

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1、2021年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第1章勾股定理》單元綜合培優(yōu)提升訓(xùn)練 1．如圖字母B所代表的正方形的面積是（　?。? A．12 B．13 C．144 D．194 2．滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（　?。? A．b2﹣c2＝a2 B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 D．∠C＝∠A﹣∠B 3．如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長(zhǎng)10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（　?。? A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 4．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，

2、是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長(zhǎng)為（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 5．下面三組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（　?。? A．6，7，8 B．1.5，2，2.5 C．21，28，35 D．9，16，25 6．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm．A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（　　） A．dm

3、B．20dm C．25dm D．35dm 7．在下列四組線段中，能組成直角三角形的是（　?。? A．a(chǎn)＝32，b＝42，c＝52 B．a(chǎn)＝11，b＝12，c＝13 C．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13 D．a(chǎn)：b：c＝1：1：2 8．下列三角形中，是直角三角形的是（　?。? A．三角形的三邊a，b，c滿足關(guān)系a+b＞c B．三角形的三邊長(zhǎng)分別為32，42，52 C．三角形的一邊等于另一邊的一半 D．三角形的三邊長(zhǎng)為20，15，25 9．滿足下列條件的△ABC是直角三角形的是（　?。? A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a(chǎn)：b：c＝1：2：3 C．∠A＝∠B＝2∠C

4、D．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝ 10．下列說(shuō)法中能推出△ABC是直角三角形的個(gè)數(shù)有（　?。? ①a2＝c2﹣b2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③a：b：c＝1：：2； ④∠C＝∠A﹣∠B． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，則BC＝　 ?。? 12．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13，則此三角形的面積為　 ?。? 13．我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為2

5、0尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問題中葛藤的最短長(zhǎng)度是　 　尺． 14．對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝　 ?。? 15．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝　 　°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）． 16．如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為　

6、 　cm（杯壁厚度不計(jì)）． 17．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，則線段AD的長(zhǎng)度是多少？ 18．如圖，某工廠C前面有一條筆直的公路，原來(lái)有兩條路AC、BC可以從工廠C到達(dá)公路，經(jīng)測(cè)量AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，現(xiàn)需要修建一條公路，使工廠C到公路的距離最短．請(qǐng)你幫工廠C設(shè)計(jì)一種方案，并求出新建的路的長(zhǎng)． 19．如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于點(diǎn)P，求證：BP2＝AP2+BC2． 20．我們剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理是一個(gè)基本的平面幾何定理，也是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一．勾股定理其實(shí)有很多種方式證明．下圖是

7、1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明勾股定理所用的圖形： 以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示梯形形狀，使C、B、D三點(diǎn)在一條直線上． 你能利用該圖證明勾股定理嗎？寫出你的證明過程． 答案 1．解：由題可知，在直角三角形中，斜邊的平方＝169，一直角邊的平方＝25， 根據(jù)勾股定理知，另一直角邊平方＝169﹣25＝144，即字母B所代表的正方形的面積是144． 故選：C． 2．解：A、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理

8、，故是直角三角形； C、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形． D、由三角形三個(gè)角度數(shù)和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形； 故選：C． 3．解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺， 根據(jù)勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 故選：D． 4．解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b， ∵每一個(gè)直角三角形的面積為：ab＝×8＝4， ∴4×ab+（a﹣b）2＝25， ∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9， ∴a﹣b

9、＝3， 故選：D． 5．解：A、∵72+62≠82，∴這一組數(shù)不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、∵1.5，2.5不是整數(shù)，∴這一組數(shù)不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、∵212+282＝352，∴這一組數(shù)是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)正確； D、∵92+162≠252，∴這一組數(shù)不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：C． 6．解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20dm，寬為（2+3）×3dm， 則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)． 設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm， 由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252， 解得：x＝25（dm）． 故選：C．

10、 7．解：A．∵a＝32＝9，b＝42＝16，c＝52＝25， ∴a2+b2≠c2， ∴以a、b、c為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意； B．∵a＝11，b＝12，c＝13， ∴a2+b2≠c2， ∴以a、b、c為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意； C．∵a＝5，b＝12，c＝13， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意； D．∵a：b：c＝1：1：2， ∴a+b＝c，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能組成三角形， ∴以a、b、c為邊也不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意； 故選：C． 8．解：A、三角形的三邊

11、滿足關(guān)系a+b＞c，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意； B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴此三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意； C、三角形的一邊等于另一邊的一半無(wú)法判斷三角形的形狀，故本選項(xiàng)不符合題意； D、∵152+202＝252，∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意． 故選：D． 9．解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形； B、∵12+22≠32， ∴△ABC不是直角三角形； C、∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴

12、∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°， ∴△ABC不是直角三角形； D、∵12+（）2＝22， ∴△ABC是直角三角形． 故選：D． 10．解：①a2＝c2﹣b2，即a2+b2＝c2，是直角三角形； ②由∠A：∠B：∠C＝1：1：2可得∠C＝180°×＝90°，是直角三角形； ③∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝22，∴是直角三角形； ④∠C＝∠A﹣∠B可變?yōu)椤螦＝∠C+∠B，根據(jù)∠A+∠B+∠C＝180°可得∠A+∠A＝180°，解得∠A＝90°，因此是直角三角形； 故選：D． 11．解：設(shè)BC＝3x，AC＝4x，又其斜邊AB＝15， ∴9x2+16x2＝152， 解

13、得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9． 故9． 12．解：∵52+122＝132， ∴三邊長(zhǎng)分別為5、12、13的三角形構(gòu)成直角三角形，其中的直角邊是5、12， ∴此三角形的面積為×5×12＝30． 13．解：如圖，一條直角邊（即枯木的高）長(zhǎng)20尺， 另一條直角邊長(zhǎng)5×3＝15（尺）， 因此葛藤長(zhǎng)為＝25（尺）． 故25． 14．解：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∵AD＝

14、2，BC＝4， ∴AB2+CD2＝22+42＝20． 故20． 15．解：延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD， 則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10， ∴PD2+DB2＝PB2， ∴∠PDB＝90°， ∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°， 故45． 16．解：如圖： 將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝＝20（cm）． 故答案為20． 17．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴由勾股定理得：AB＝＝10 又∵CD⊥AB ∴S△ABC＝AC×BC＝AB×CD

15、 ∴×8×6＝×10×CD ∴CD＝4.8 ∴在Rt△ADC中，由勾股定理得： AD＝＝＝6.4 答：線段AD的長(zhǎng)度是6.4． 18．解：過A作CD⊥AB，垂足為D， ∵6002+8002＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， S△ACB＝AB?CD＝AC?BC， ×600×800＝×1000×CD， 解得：CD＝480， ∴新建的路的長(zhǎng)為480m． 19．證明：連接BM， ∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∴AB2＝BC2+AC2，則AB2﹣AC2＝BC2． 又∵在直角△AMP中，AP2＝AM2﹣MP2， ∴AB2﹣AC2

16、+（AM2﹣MP2）＝BC2+（AM2﹣MP2）． 又∵AM＝CM， ∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（MC2﹣MP2），① ∵△APM是直角三角形，∴AM2＝AP2+MP2，則AM2﹣MP2＝AP2，② ∵△BPM與△BCM都是直角三角形， ∴BM2＝BP2+MP2＝MC2+BC2， MC2+BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2，③ 把②③代入①，得 AB2﹣AC2+AP2＝BP2，即BP2＝AP2+BC2． 20．解：∵Rt△ACB≌Rt△BDE， ∴∠CAB＝∠DBE． ∵∠CAB+∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠DBE＝90°． ∴∠ABE＝180°﹣90o＝90o． ∴△ABE是一個(gè)等腰直角三角形，S△ABE＝c2． 又∵S梯形ACDE＝（a+b）2， S梯形ACDE＝S△ABC+S△BDE+S△ABE＝ab+c2． ∴（a+b）2＝ab+c2， 即a2+b2＝c2． 由此驗(yàn)證勾股定理