學(xué)案20 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

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1、學(xué)案20　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題． 自主梳理 1．用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖 用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)．如下表所示． X Ωx＋φ y＝ Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.圖象

2、變換：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象可由函數(shù)y＝sin x的圖象作如下變換得到： （1）相位變換：y＝sin xy＝sin(x＋φ)，把y＝sin x圖象上所有的點(diǎn)向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移動(dòng)__________個(gè)單位． （2）周期變換：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)____(0<ω<1)或____(ω>1)到原來的________倍(縱坐標(biāo)不變)． （3）振幅變換：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)______(A>1)或_

3、_____(00，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，則____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做頻率，________叫做相位，____叫做初相． 函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為____________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為________． 自我檢測(cè) 1．(2011·池州月考)要得到函數(shù)y＝sin的圖象，可以把函數(shù)y＝sin 2x的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單

4、位 2．已知函數(shù)f(x)＝sin (x∈R，ω>0)的最小正周期為π.將y＝f(x)的圖象向左平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的一個(gè)值是 (　　) A. B. C. D. 3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象 (　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平

5、移個(gè)單位長(zhǎng)度 4．(2011·太原高三調(diào)研)函數(shù)y＝sin的一條對(duì)稱軸方程是 (　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 5．(2011·六安月考)若動(dòng)直線x＝a與函數(shù)f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為 (　　) A．1 B. C. D．2 探究點(diǎn)一　三角函數(shù)的圖象及變換 例1　已知函數(shù)y＝2sin. (1)求它的振幅、周期、初相；

6、(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)說明y＝2sin的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到． 變式遷移1　設(shè)f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋sin2x (x∈R)． (1)畫出f(x)在上的圖象； (2)求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間； (3)如何由y＝sin x的圖象變換得到f(x)的圖象？ 探究點(diǎn)二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的圖象的一部分如圖所示．求函數(shù)f(x)的解析式． 變式遷移2　(2011·寧波

7、模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x0,2)和(x0＋2π，－2)． (1)求f(x)的解析式及x0的值； (2)若銳角θ滿足cos θ＝，求f(4θ)的值． 探究點(diǎn)三　三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例3　已知海灣內(nèi)海浪的高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作y＝f(t)．下表是某日各時(shí)刻記錄的浪高數(shù)據(jù)： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.

8、5 1.0 0.5 0.99 1.5 經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8∶00至晚上20∶00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？ 變式遷移3　交流電的電壓E(單位：伏)與時(shí)間t(單位：秒)的關(guān)系可用E＝220sin表示，求： (1)開始時(shí)的電壓；(2)最大電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；(3)電壓的最大值和第一次取得最大值時(shí)的時(shí)間．

9、 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例　(12分)設(shè)關(guān)于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在區(qū)間(0,2π)內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α、β. (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)求α＋β的值． 【答題模板】 解　(1)原方程可化為sin(θ＋)＝－， 作出函數(shù)y＝sin(x＋)(x∈(0,2π))的圖象． [3分] 由圖知，方程在(0,2π)內(nèi)有相異實(shí)根α，β的充要條件是. 即－2

10、即－∈(，1)時(shí)，直線y＝－與三角函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象有兩交點(diǎn)A、B， 由對(duì)稱性知，＝，∴α＋β＝.[11分] 綜上所述，α＋β＝或α＋β＝π. [12分] 【突破思維障礙】 在解決三角函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)，若把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖象之中，將數(shù)(量)與圖形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究，可使抽象復(fù)雜的數(shù)理關(guān)系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來，這是解決三角函數(shù)問題的一種有效的解題策略． 圖象的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：①比較大?。虎谇髥握{(diào)區(qū)間；③解不等式；④確定方程根的個(gè)數(shù)．如判斷方程sin x＝x的實(shí)根個(gè)數(shù)；⑤對(duì)稱問題等． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 此題若不用數(shù)形結(jié)合法，用三角函數(shù)有界性求a的范

11、圍，不僅過程繁瑣，而且很容易漏掉a≠－的限制，而從圖象中可以清楚地看出當(dāng)a＝－時(shí)，方程只有一解． 1．從“整體換元”的思想認(rèn)識(shí)、理解、運(yùn)用“五點(diǎn)法作圖”，尤其在求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間、解析式等相關(guān)問題中要充分理解基本函數(shù)y＝sin x的作用． 2．三角函數(shù)自身綜合問題：要以課本為主，充分掌握公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，從函數(shù)名稱、角度、式子結(jié)構(gòu)等方面觀察，尋找聯(lián)系，結(jié)合單位圓或函數(shù)圖象等分析解決問題． 3．三角函數(shù)模型應(yīng)用的解題步驟： (1)根據(jù)圖象建立解析式或根據(jù)解析式作出圖象． (2)將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型． (3)利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并

12、根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．將函數(shù)y＝sin的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是 (　　) A．y＝sin x B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 2．(2011·銀川調(diào)研)如圖所示的是某函數(shù)圖象的一部分，則此函數(shù)是 (　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos 3．為得到函數(shù)y＝cos的圖

13、象，只需將函數(shù)y＝sin 2x的圖象 (　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 4．(2009·遼寧)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象如圖所示，f()＝－，則f(0)等于 (　　) A．－ B．－ C. D. 5．(2011·煙臺(tái)月考)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的

14、最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖象的一條對(duì)稱軸，則它的解析式是 (　　) A．y＝4sin B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的圖象如圖所示，則φ＝________. 7．(2010·濰坊五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝cos 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)的圖象，則g(x)＝______. 8．(2010·福建)

15、已知函數(shù)f(x)＝3sin (ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同．若x∈，則f(x)的取值范圍是____________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的圖象的一部分如下圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)當(dāng)x∈[－6，－]時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值． 10．(12分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象過點(diǎn)M(0,2)．又f(x)的圖象關(guān)

16、于點(diǎn)N對(duì)稱且在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)，求f(x)的解析式． 11．(14分)(2010·山東)已知函數(shù)f(x)＝sin(π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期為π， (1)求ω的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間上的最小值． 答案 自主梳理 1.　　　　　0　　π　 2π　2.(1)左　右　|φ|　(2)伸長(zhǎng)　縮短　　(3)伸長(zhǎng)　縮短　A　3.A　　　ωx＋φ　φ　　 自我檢測(cè) 1．B　2.D　3.A　4.D　5.B 課堂活

17、動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點(diǎn)法，此法注意在作出一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖后，應(yīng)向兩邊伸展一下，以示整個(gè)定義域上的圖象； (2)變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用ωx＋φ＝ω來確定平移單位． 解　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝. (2)令X＝2x＋，則y＝2sin＝2sin X. 列表： X － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 描點(diǎn)連線，得圖象如圖所示： (3)將y＝sin

18、x的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 變式遷移1　解　y＝·＋sin 2x＋· ＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin. (1)(五點(diǎn)法)設(shè)X＝2x－， 則x＝X＋，令X＝0，，π，，2π， 于是五點(diǎn)分別為，，，，，描點(diǎn)連線即可得圖象，如下圖． (2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z. 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z

19、， 得單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z. (3)把y＝sin x的圖象向右平移個(gè)單位；再把橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)；最后把所得圖象向上平移1個(gè)單位即得y＝sin＋1的圖象． 例2　解題導(dǎo)引　確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步驟： (1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝.(2)求ω.確定函數(shù)的周期T，則ω＝.(3)求參數(shù)φ是本題的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求φ時(shí)，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn)． 解　由圖象可知A＝2，T＝8. ∴ω＝＝＝. 方法一　由圖象過點(diǎn)(1,2)， 得2sin＝2， ∴sin＝1.∵|φ|<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin.

20、方法二　∵點(diǎn)(1,2)對(duì)應(yīng)“五點(diǎn)”中的第二個(gè)點(diǎn)． ∴×1＋φ＝，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin. 變式遷移2　解　(1)由題意可得： A＝2，＝2π，即＝4π，∴ω＝， f(x)＝2sin，f(0)＝2sin φ＝1， 由|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(x＋)． f(x0)＝2sin＝2， 所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋ (k∈Z)， 又∵x0是最小的正數(shù)，∴x0＝. (2)f(4θ)＝2sin ＝sin 2θ＋cos 2θ， ∵θ∈，cos θ＝，∴sin θ＝， ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－， sin 2θ＝2sin θcos θ＝，

21、∴f(4θ)＝×－＝. 例3　解題導(dǎo)引　(1)三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是已知函數(shù)模型，如本例，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則，二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題，其關(guān)鍵是建模．(2)如何從表格中得到A、ω、b的值是解題的關(guān)鍵也是易錯(cuò)點(diǎn)，同時(shí)第二問中解三角不等式也是易錯(cuò)點(diǎn)．(3)對(duì)于三角函數(shù)模型y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)中參數(shù)的確定有如下結(jié)論：①A＝；②k＝；③ω＝；④φ由特殊點(diǎn)確定． 解　(1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T＝12， ∴ω＝＝＝， 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1

22、.5； 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， ∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1. (2)由題知，當(dāng)y>1時(shí)才可對(duì)沖浪者開放， ∴cos t＋1>1，∴cos t>0， ∴2kπ－

23、0πt＋＝，t＝秒時(shí)，第一次取得最大值，電壓的最大值為220伏． 課后練習(xí)區(qū) 1．C　2.D　3.A　4.C　5.D 6. 7．－sin 2x 8. 9．解　(1)由圖象知A＝2， ∵T＝＝8，∴ω＝.……………………………………………………………………(2分) 又圖象經(jīng)過點(diǎn)(－1,0)，∴2sin(－＋φ)＝0. ∵|φ|<，∴φ＝. ∴f(x)＝2sin(x＋)．………………………………………………………………………(5分) (2)y＝f(x)＋f(x＋2) ＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋) ＝2sin(x＋)＝2cosx.……………………………………………

24、………………(8分) ∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－. ∴當(dāng)x＝－，即x＝－時(shí)，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值； 當(dāng)x＝－π，即x＝－4時(shí)，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.………………………(12分) 10．解　根據(jù)f(x)是R上的偶函數(shù)，圖象過點(diǎn)M(0,2)，可得f(－x)＝f(x)且A＝2， 則有2sin(－ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ)， 即sin ωxcos φ＝0， ∴cos φ＝0，即φ＝kπ＋ (k∈Z)． 而0≤φ≤π，∴φ＝.………………………………………………………………………(4分) 再由f(x)＝2sin(－ωx＋)＝2cos ωx

25、的圖象關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱，f()＝2cos(π)＝0 ∴cos π＝0，……………………………………………………………………………(8分) 即π＝kπ＋ (k∈Z)，ω＝ (k∈Z)． 又0<ω≤2，∴ω＝或ω＝2.……………………………………………………………(10分) 最后根據(jù)f(x)在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)， 可知只有ω＝滿足條件． 所以f(x)＝2cos x.………………………………………………………………………(12分) 11．解　(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx ＝sin ωxcos ωx＋ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ＝sin＋.……………………………………………………………………(6分) 由于ω>0，依題意得＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分) (2)由(1)知f(x)＝sin＋， 所以g(x)＝f(2x) ＝sin＋.……………………………………………………………………(10分) 當(dāng)0≤x≤時(shí)，≤4x＋≤. 所以≤sin≤1. 因此1≤g(x)≤，…………………………………………………………………(13分) 所以g(x)在此區(qū)間內(nèi)的最小值為1.…………………………………………………(14分)