(全國通用版)2019高考數(shù)學二輪復習 124分項練4 平面向量與數(shù)學文化 文

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1、 1．(2018·貴陽模擬?如圖，在 ABC?中，BE?是邊?AC?的中線，O?是?BE?邊的中點，若AB＝a，AC ＝b，則AO等于(??? ) 12＋4?分項練?4 平面向量與數(shù)學文化 → → → A.??a＋??b?????????????????????? B.??a＋??b C.??a＋??b?????????????????????? D.??a＋??b → 1→ ∴AE＝??AC， → 1??→ → ∴AO＝??(AB＋AE)， → 1→? 1→ ∴AO＝??AB＋??AC，

2、 ∵AB＝a，AC＝b， → 1 1 ∴AO＝??a＋??b. A.?4???3 8??? C.5???5 7??? D.13???10 所以?a?在?a＋b?方向上的投影為a·(a＋b)?? a2＋a·b 1 1 1 1 2 2 2 4 1 1 1 1 4 2 4 4 答案 B 解析 ∵在△ABC?中，BE?是?AC?邊上的中線， 2 ∵O?是?BE?邊的中點， 2 2 4 → → 2 4 2．已知向量?a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，則?a?在?a＋b?方向上的投影

3、為( 3?2 5 B. 10 答案 D 解析 由?a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8， 可知|a|＝?22＋42＝2?5， (a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝64， 則?a·b＝－7， |a＋b|?＝ a2＋b2＋2a·b  ) 1 10 ＝ 20－7?13?10 ＝?????. 20＋4＋2×(－7)

4、6???? 4???? 3????? 3 所以?a·b＝1，所以?cos??θ?＝??，所以?θ?＝ . 4．(2018·上饒模擬)設?D，E?為正三角形?ABC?中?BC?邊上的兩個三等分點，且?BC＝2，則AD·AE 9??? 9???? 9???? 3 3．若兩個非零向量?a，b?滿足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2?3，則?a?與?b?的夾角為( ) π π π 2π A. B. C. D. 答案 C 解析 設?a，b?的夾角為?θ?，θ?∈[0，π?]， 則由|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2?3， 得(2a＋b)2＝12，

5、 即(2a)2＋4a·b＋b2＝4＋4a·b＋4＝12， 1 π 2 3 → → 等于( ) 4 8 26 26 A. B. C. D. 答案 C 解析 如圖， |AB|＝|AC|＝2，〈AB，AC〉＝60°， → →????→ 1→?????→ 1→??????2→ 1→?????1→ 2→? ∴AD·AE＝?AB＋??BC÷·?AC＋??CB÷＝???AB＋??AC÷·???AB＋??AC÷ 2??→ 5→? → 2??→ ＝??|AB|2＋??AB·AC＋??|AC|2 ＝??×4＋?

6、?×2×2×??＋??×4＝ . → → → → ∵D，E?是邊?BC?的兩個三等分點， è 3???è 3?? è3 3???è3 3?? 9 9 9 2 5 1 2 26 9 9 2 9 9 5．(2018·煙臺模擬)如果|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，則|a－2b|的值是( ) A．24 B．2?6 C．－24 D．－2?6 答案 B 解析 由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4， 得|a－2b|＝?(a－2b)2＝?a2＋4b2－4a·b 2 由等差數(shù)列前?n?項和公式可得?8a1＋

7、2 ①HD·BF＝0；②OA·OD＝－?? ； ③OB＋OH＝－???2OE；④|AH－FH|＝???2－???2. ＝?4＋36－4×4＝2?6. 6．(2018·昆明模擬)程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次 第每人多十七，要將第八數(shù)來言．務要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996?斤棉花， 分別贈送給?8?個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多?17?斤，直到第八個孩子為止．分 配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個孩子分得斤數(shù)為( ) A．65 B．176 C．183 D．184 答案 D 解

8、析 根據(jù)題意可得每個孩子所得棉花的斤數(shù)構成一個等差數(shù)列{an}，其中?d＝17，n＝8， S8＝996. 8×7 ×17＝996， 解得?a1＝65. 由等差數(shù)列通項公式得?a8＝65＋(8－1)×17＝184. 7．八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖?1?是八卦模型圖，其平面圖形記為圖?2?中的正八邊 形?ABCDEFGH，其中?OA＝1，則給出下列結論： → → → → 2 2 → → → → → 其中正確結論的個數(shù)為( ) ∴HD·BF＝0，故①正確； OA·OD＝1×1

9、×cos??? ＝－?? ，故②正確； OB＋OH＝???2OA＝－???2→，故③正確； OE |AH－FH|＝|AF|＝|OF－OA|， A．4 B．3 C．2 D．1 答案 B 解析 正八邊形?ABCDEFGH中，HD⊥BF， → → → → 3π 2 4 2 → → → → → → → → 3 則|AF|2＝1＋1－2×1×1×cos??? ＝2＋???2， ∴|AF|＝???2＋???2，故④錯誤． → 3π 4 → 綜上，正確的結論為①②③，故選?B.

10、 8．(2018·蕪湖模擬)我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有一道題目，其意是：“今有器中米， 不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．問：米幾何？如圖是 源于其思想的一個程序框圖，若輸出的?S＝2(單位：升)，則輸入?k?的值為( ) 第一次：n＝1<4?成立，n＝2，S＝k－??＝??； 第二次：n＝2<4?成立，n＝3，S＝??－??＝??； 第三次：n＝3<4?成立，n＝4，S＝??－ ＝??； 第四次：n＝4<4?不成立，輸出?S＝??＝2，解

11、得?k＝8. 意一點，則PA·PB＋PA·PC的最小值為(??? ) A．6 B．7 C．8 D．9 答案 C 解析 閱讀程序框圖，初始化數(shù)值?n＝1，S＝k， 循環(huán)結果執(zhí)行如下： k k 2 2 k k?k 2 6 3 k k k 3 12 4 k 4 9．(2018·聊城模擬在 ABC?中，BC?邊上的中線?AD?的長為?2，點?P?是△ABC?所在平面上的任 → → → → A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案 C 解析 建立如圖所示的平面直角坐標系，使得點?D?在原點處，點?A?在?y?軸上，則?A

12、(0,2)． 4 則PA＝(－x，2－y)，PO＝(－x，－y)， → → → →?? →??(??? ) →?? → 故PA·PB＋PA·PC＝PA·???PB＋PC???＝2PA·PO＝2(x2＋y2－2y) 所以PA·PB＋PA·PC的最小值為－2. 設點?P?的坐標為(x，y)， → → → → ＝2[x2＋(y－1)2]－2≥－2，當且僅當?x＝0，y＝1?時等號成立． → → → → 10．(2018·石家莊模擬)三國時期吳國的數(shù)學家創(chuàng)造了一

13、副“勾股圓方圖”，用數(shù)形結合的 方法給出了勾股定理的詳細證明，如圖所示“勾股圓方圖”中由四個全等的直角三角形(直角 邊長之比為?1∶?3)圍成的一個大正方形，中間部分是一個小正方形，如果在大正方形內隨 機取一點，則此點取自中間的小正方形部分的概率是( ) A.????3 B.????3 2 4 2 3 C．1－ D．1－ 3 4 4k2 2 答案 C 解析 由題意可知，設直角三角形的直角邊長分別為?k，?3k(k>0)， 則大正方形的邊長為?2k，小正方

14、形的邊長為(?3－1)k， 所以大正方形的面積為?4k2，小正方形的面積為(?3－1)2k2， (?3－1)2k2 3 故所求概率為 ＝1－ . 11．(2018·南平質檢)我國古代著名的數(shù)學著作有《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《孫子算經(jīng)》、 《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術》、《綴術》、《緝古算 機》等?10?部算書，被稱為“算經(jīng)十書”．某校數(shù)學興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學對古代 著名的數(shù)學著作產(chǎn)生濃厚的興趣．一天，他們根據(jù)最近對這十部書的閱讀本數(shù)情況說了這些 話，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“

15、我比丁多”；?。骸氨纫叶唷?，有趣 5 的是，他們說的這些話中，只有一個人說的是真實的，而這個人正是他們四個人中讀書本數(shù) 最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數(shù)各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由 少到多的排列是( ) A．乙甲丙丁 C．丙甲丁乙 答案 D 解析 由題意可列表格如下： 甲說 乙說 丙說 丁說 B．甲丁乙丙 D．甲丙乙丁 甲?????乙?????丙??????丁 丁>乙 甲>丙 丙>丁

16、 丙>乙 |??|??|??|????????????? |??| 12．(2018·河北省衡水中學模擬)已知???OA???＝???→ ＝2，點?C?在線段?AB?上，且???→ 的 OB?????????????????????????? OC 對于選項?A，甲，丁說的都對，不符合只有一個人對；對于選項B，丙，丁說的都對，也不符 合只有一個人對；對于選項?C，乙說的對，但乙不是最少的，不符合；對于選項?D，甲說的對， 也正好是最少的，符合，選?D. → |→?? →| 最小值為?1，則?OA－tOB?(t∈R)的最小值為(

17、 ) |??|??|??| 解析 ∵???→ ＝???OB???＝2， OA |→| |OC| |→| ∴此時OB與OC的夾角為?60°， ∴OA，OB的夾角為?120°. |?＝OA→?＋t?→OB?－2tOA→·OB→ |→?? → 又???OA－tOB A.?2 B.?3 C．2 D.?5 答案 B → ∴點?O?在線段?AB?的垂直平分線上． ∵點?C?在線段?AB?上，且?OC?的最小值為?1， ∴當?C?是?AB?的中點時?→ 最小，此時?OC?＝1， → → → → 2 2 2 2

18、 ＝4＋4t2－2t·2·2·cos?120° ＝4t2＋4t＋4 6 ??? 1? ＝4?t＋?÷2＋3≥3， 當且僅當?t＝－??時等號成立． |→ →| 13．(2018·石家莊模擬)已知向量?a?與?b?的夾角是 ，|a|＝1，|b|＝??，則向量?a－2b?與?a 答案? π 解析 a·b＝|a||b|cos? ＝??， a·(a－2b)＝a2－2a·b＝??， è 2? 1 2 ???→?? → ∴|OA－tOB|2?的最小值為?3， ∴?OA－tOB?的最小值為?3. π 1

19、 3 2 的夾角為________． 3 π 1 3 4 1 2 |a－2b|＝?(a－2b)2 1－4×??＋4×??＝1. ＝?a2－4a·b＋4b2＝ 1????1 4????4 設向量?a－2b?與?a?的夾角為?θ?，cos??θ?＝???????? ＝??， 所以?θ?＝ . a·(a－2b) 1 |a||a－2b| 2 又因為?θ?∈[0，π?]， π 3 14．(2018·寧德質檢)我國南北朝時期的數(shù)學家張丘建是世界數(shù)學史上解決不定方程的第一 人，他在《張丘建算經(jīng)》中給

20、出一個解不定方程的百雞問題，問題如下：雞翁一，值錢五， 雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一．百錢買百雞，問雞翁母雛各幾何？用代數(shù)方法表述為： 設雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為 x，?y，?z，則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組 ì?5x＋3y＋??＝100， í z 3  的解．其解題過程可用程序框圖表示，如圖所示，則程序框圖中正 ??x＋y＋z＝100 整數(shù)?m?的值為________． 7

21、 ì?5x＋3y＋??＝100， 解析 由í 得?y＝25－??x，故?x?必為?4?的倍數(shù)， 15．若非零向量?a，b?滿足|b|＝???2|a|，若(a＋2b)⊥(3a－tb)，a?與?b?的夾角等于 ，則實 答案 4 z 3 ??x＋y＋z＝100， 7 4 當?x＝4t?時，y＝25－7t， 由?y＝25－7t>0?得，t?的最大值為?3， 故判斷框應填入的是?t<4？， 即?m＝4. π 4 數(shù)?t?的值為________． 答案 9 5 解析 由?a?與?b?的

22、夾角等于 可得 π??? a·b??? a·b 4?? |a||b|??? 2|?a|2 所以|a|2≠0，則有?3＋6－t－4t＝0，解得?t＝??. 16．(2018·咸陽模擬)已知圓的半徑為?1，A，B，C，D?為該圓上四個點，且AB＋AC＝AD，則 π 4 cos ＝ ＝ ，故?a·b＝|a|2. 由(a＋2b)⊥(3a－tb)可得 3a2－ta·b＋6a·b－2tb2＝0， 即?3|a|2＋(6－t)|a|2－4t|a|2＝0， 又?a?為非零向量， 9 5 → → → △ABC?面積的最大值為________．

23、 8 解析 如圖所示，由AB＋AC＝AD知，四邊形?ABDC?為平行四邊形， 答案 1 → → → 2??? ＝??AD2， △ABC?的面積?S＝??AB·AC≤??· △ABC??的面積取得最大值?×4＝1. 又?A，B，C，D?四點共圓， ∴四邊形?ABDC?為矩形，即?BC?為圓的直徑， 1 1 AB2＋AC2 1 2 2 4 ∴當?AD?是圓的直徑時，△ABC?的面積最大． ∴當?AB＝AC?時， 1 4 我愛我的家 110 9