2010年高考數(shù)學 試題分析(函數(shù)與導數(shù)）人教版

2010年實驗區(qū)高考試題分析(函數(shù)與導數(shù)） 函數(shù)與導數(shù)無論是大綱還是課標都是高考考察的重點內(nèi)容，在選擇、填空、大題中均有體現(xiàn)，小題一般有三個左右，主要考察基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)，解答題一般為一個，主要是以導數(shù)為工具考察函數(shù)的單調(diào)性，最值等。 一、課標與大綱的比較 1、對函數(shù)概念的認識 “函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學課程的始終．” 從課程內(nèi)容本身來看，函數(shù)的內(nèi)容是分階段安排的：《數(shù)學1》安排函數(shù)的基本概念與基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)I：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)；《數(shù)學4》安排基本初等函數(shù)Ⅱ：三角函數(shù)；《選修二1-1》（《選修2-2》）安排導數(shù)及其應用。 從函數(shù)與其他一些數(shù)學內(nèi)容聯(lián)系來看，《數(shù)學5》中“數(shù)列”是一種特殊的函數(shù)，“一元二次不等式”與二次函數(shù)的聯(lián)系；《數(shù)學3》及《選修2-3》“統(tǒng)計”中兩個變量線性相關和非線性相關與一次函數(shù)的聯(lián)系；《數(shù)學2》解析幾何初步以及《選修1-1》（《選修2-1》）中“圓錐曲線與方程”與函數(shù)的聯(lián)系等等．學習這些知識內(nèi)容，可以加深對函數(shù)概念的認識，體會不同知識內(nèi)容的聯(lián)系性，從不同角度看待同一數(shù)學內(nèi)容，感受數(shù)學的整體性． 2、關于函數(shù)的定義域、值域、奇偶性 函數(shù)的定義域和值域是函數(shù)的組成部分．盡管《標準》要求“會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域”，同時“避免在求函數(shù)定義域、值域時出現(xiàn)過于繁瑣的技巧訓練，避免人為地編造一些求定義域和值域的偏題”． 因此在教學中，教師不要拔高這方面的要求，出現(xiàn)很多把對數(shù)、根號、分母、絕對值、一元二次不等式等“整合”在一起的“堆砌題”，使學生“沉浸”在繁瑣的技巧訓練中，在一定程度上沖淡了對函數(shù)本質(zhì)及有關性質(zhì)的理解．值域的問題亦如此，很多借助求函數(shù)的反函數(shù)定義域的方法求函數(shù)的值域更是《標準》和教材中沒有提到的．增加這些內(nèi)容，勢必拓展這方面的要求．關于這方面的要求，要切實把握好．實際上，建立函數(shù)模型描述實際問題、解決實際問題時，其定義域和值域是顯而易見的。如果將“一元二次不等式”前置，勢必導致在求函數(shù)的定義域、值域方面出現(xiàn)過于繁瑣的技巧訓練，影響對函數(shù)概念本身的認識，這也是“一元二次不等式”內(nèi)容后置的一個重要原因． 除了定義域、值域，函數(shù)的奇偶性也是新課標淡化的內(nèi)容之一，“結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義”，是課標對奇偶性的要求。所以函數(shù)的定義域、值域及奇偶性的內(nèi)容都不適宜拓寬。 (2010全國理8） 設偶函數(shù)滿足，則 （A） （B） （C） （D） 3、關于函數(shù)的單調(diào)性 單調(diào)性雖然是函數(shù)的重要性質(zhì)，但對它的認識、研究是個漫長的過程．在《數(shù)學1》中介紹函數(shù)單調(diào)性的定義，并通過定義，判斷簡單函數(shù)的單調(diào)性，然后討論了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性；《數(shù)學4》在介紹正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)時，進一步研究了函數(shù)的單調(diào)性；在《選修1-1》（或《選修2-2》）中，用導數(shù)作為工具，討論三次多項式函數(shù)和一些復雜的函數(shù)的單調(diào)性．和大綱類似，文科一般仍以多項式函數(shù)為考察對象，部分省市也有以自然對數(shù)或三角為載體考察的，理科主要以指數(shù)、對數(shù)、三角或是分式形式為考察載體。 （2010全國5）已知命題 ：函數(shù)在R為增函數(shù)，：函數(shù)在R為減函數(shù)， 則在命題：，：，：和：中，真命題是 （A）， （B）， （C）， （D）， （2010北京6）給定函數(shù)①，②，③，④，期中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是 （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ (2010全國理21)設函數(shù)f(x)=. （Ⅰ)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; （Ⅱ）若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍. （2010全國文21）設函數(shù) （Ⅰ）若a=，求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若當≥0時≥0，求a的取值范圍 (2010北京文18) 設定函數(shù)，且方程 的兩個根分別為1，4。 （Ⅰ）當a=3且曲線過原點時，求的解析式； （Ⅱ）若在無極值點，求a的取值范圍。 （2009全國理21）已知函數(shù) （I） 如，求的單調(diào)區(qū)間； （II） 若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明＜6. （2007全國理21） 設函數(shù) （I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性； （II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于． 4、關于分段函數(shù) 分段函數(shù)是好多生活實例要用到的函數(shù)模型，故新課標對分段函數(shù)的要求是“能簡單應用”，近幾年考題中時有出現(xiàn)。 （2010全國理11）已知函數(shù)若a，b，c互不相等，且，則abc的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） （2010江蘇11）已知函數(shù),則滿足不等式的x的范圍是___ （2010北京文9）已知函數(shù)右圖表示的 是給定x的值，求其對應的函數(shù)值y的程序框圖， ①處應填寫 ；②處應填寫 。 5、關于冪函數(shù) 冪函數(shù)在高中數(shù)學大綱教材中反反復復地出現(xiàn)，但大綱教材沒有提出“冪函數(shù)”的概念，這次高中新課程中又一次提出冪函數(shù)的概念．其實教師和學生對冪函數(shù)并不陌生，正比例函數(shù)y = x，反比例函數(shù)y = x－1，最簡單的二次函數(shù)y = x2都是冪函數(shù)．現(xiàn)在只不過是給出了冪函數(shù)的形式化定義，且只討論指數(shù)是1，2，3，–1，1/2 的冪函數(shù)，結(jié)合它們的圖象，了解它們的變化情況．尤其對y = x3在《選修1-1》（《選修2-2》）的“導數(shù)及其應用”中有更深入的研究；y = x1/2從“圓錐曲線與方程”的角度看是拋物線的一部分．在《數(shù)學1》中，對冪函數(shù)的要求很低，主要是結(jié)合它們的圖象，了解它們的變化情況。 6、關于反函數(shù) 對反函數(shù)的處理，《標準》“只要求以具體函數(shù)為例進行解釋和直觀理解，不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義，也不要求“求已知函數(shù)的反函數(shù)”，“知道指數(shù)函數(shù)y = ax與對數(shù)函數(shù)y = logax互為反函數(shù)（a＞0，a≠0）”．至于“互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線y = x對稱”更不作為要求．因此關于反函數(shù)的問題，《標準》和教材的要求非常明確，不要拓展內(nèi)容，不要提高要求，應適可而止． 7、關于函數(shù)模型及其應用 首先要對“數(shù)學模型”有個正確的認識．《標準》中多次提到“數(shù)學模型”一詞，目的是進一步加強數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．數(shù)學模型是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題，所得出的關于實際問題的描述。數(shù)學模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式、函數(shù)等等．實際問題越復雜，相應的數(shù)學模型也越復雜．當數(shù)學模型的形式是函數(shù)時，這時，我們稱之為函數(shù)模型．函數(shù)模型的表現(xiàn)形式也是多樣的：解析式、圖象、表格等． 本次高中數(shù)學課程改革把“發(fā)展學生的數(shù)學應用意識”作為課程的基本理念之一，提出“高中數(shù)學課程應提供基本內(nèi)容的實際背景，反映數(shù)學的應用價值”． 《標準》中，函數(shù)模型的建立及其應用貫穿于整個高中數(shù)學課程教材的始終，分層次、分步驟，螺旋安排，逐步深入．在《數(shù)學1》、《數(shù)學4》的“三角函數(shù)”、《數(shù)學5》的“數(shù)列”以及《選修1-1》（《選修2-2》）的“導數(shù)及其應用”中都有函數(shù)模型及其應用的內(nèi)容．它們包含了許多社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實例。 （2010全國理4）如圖，質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為，角速度為1，那么點P到x軸距離d關于時間t的函數(shù)圖像大致為 （2010北京理14）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿軸滾動。設頂點的軌跡方程是， 則函數(shù)的最小正周期為 ； 在其兩個相鄰零點間的圖象 與軸所圍區(qū)域的面積為 。 (2010北京文14)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動。 設頂點p（x，y）的縱坐標與橫坐標的函數(shù)關系是 ，則的最小正周期為 ； 在其兩個相鄰零點間的圖像與x軸 所圍區(qū)域的面積為 。 8、關于二分法與算法 二分法是這次高中數(shù)學課改新增加的內(nèi)容．引入二分法的主要目的是加強函數(shù)與方程的聯(lián)系，它是求方程近似解的一種方法．由于二分法中算法思想非常明確，在《數(shù)學1》中介紹二分法，可以為講解“算法”內(nèi)容提供重要的素材．介紹二分法時，教師心中始終要有整個高中數(shù)學課程的框架． 二、對高三復習的建議 1、對重點的傳統(tǒng)知識作適當拓廣，例如函數(shù)的圖像和二次函數(shù)，二次函數(shù)一直是高(初)中的重點基礎知識，在高中數(shù)學中二次函數(shù)可以與其它許多數(shù)學知識相聯(lián)系，因此拓廣和加深二次函數(shù)是必要的，又如在高中數(shù)學中如閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)含參數(shù)問題的討論；利用二次函數(shù)判斷方程根的分布等，這些內(nèi)容可作適當拓廣． 2、對新增加的知識內(nèi)容加強基礎訓練．新課標中增加了一部分新的數(shù)學知識，特別是選修系列中新內(nèi)容較多，有些新內(nèi)容與高等數(shù)學有關，對這些內(nèi)容在教學中不宜當作高等數(shù)學知識來講，只要讓學生認識基本思想即可． 3、對新教材的刪除內(nèi)容要控制知識拓廣，如指數(shù)方程和對數(shù)方程的解法，指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法等． 4、對新課標淡化的知識內(nèi)容不宜拓廣．例如，集合、簡單的冪函數(shù)、函數(shù)定義域、值域、奇偶性等． 5、對有關數(shù)學背景的拓廣．數(shù)學教學中應該講背景、講聯(lián)系、講思想，要通過背景知識的介紹，使學生感悟其中的數(shù)學思想方法． 6 用心 愛心 專心