電磁場與電磁波第5章.ppt

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1、第5章靜態(tài)場邊值問題(一),高斯定理或安培環(huán)路定理可以用于求解簡單或?qū)ΨQ分布的靜態(tài)場分布，但無法用于復(fù)雜的或非對稱問題的求解。 工程中通常會遇到更復(fù)雜的情況，通?？梢杂们蠼膺呏祮栴}的方法來求解。 求解邊值問題的方法通常有解析法和數(shù)值法。,5.1 邊值問題的分類,邊值問題包括方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和邊界條件，根據(jù)在場域V的邊界S上的邊界條件，邊值問題類型有： 第一類邊值問題：其邊界條件為,如果f1(S)=0稱為齊次邊界條件,狄里赫利問題,第三類邊值問題：其邊界條件為,紐曼問題,混合邊值問題,第二類邊值問題：其邊界條件為,5.2.1 靜電場的惟一性定理,邊值問題的求解有多種方法，各種方法得

2、到的結(jié)果是否正確，需要有理論依據(jù)。 靜電場唯一性定理的表述 區(qū)域V內(nèi)的和 給定，邊界S上給定f1(S)或f2(S)的值，則拉普拉斯方程或泊松方程的解惟一確定。 靜電場惟一性定理的證明 設(shè)有兩個解1和2，分別滿足方程,,5.2 惟一性定理,將上式在V上積分，得,對于第一類和第二類邊值問題，在邊界S上分別有,,,對于第三類邊值問題，可以得到同樣的結(jié)論。,靜電場惟一性定理綜述,涵義：只要給定了邊界條件，標(biāo)量位拉普拉斯方程或泊松方程的解就是惟一確定的（至多相差一個常數(shù)） 意義：無論用什么方法求得拉普拉斯方程或泊松方程的解，只要滿足給定的邊界條件，所得的解就是正確的,5.2.2 靜磁場的惟一性定理,靜磁

3、場惟一性定理的表述 區(qū)域V內(nèi)的J和給定，邊界S上給定矢量位A或磁場強(qiáng)度H的的切向分量，則V內(nèi)的磁場可惟一確定。 靜磁場惟一性定理的證明 設(shè)有區(qū)域V內(nèi)磁場存在兩個解B1和B2，分別滿足,由此構(gòu)造一個新的場，即,且在邊界上有,,利用矢量恒等式可將上式變成以下兩種形式：,考慮積分,要使積分為零，應(yīng)有?？梢姡僭O(shè)的兩個解實(shí)際上是一個解。,5.3 鏡像法求解靜電場邊值問題,當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷和極化電荷將影響場的分布。同樣的，磁場分布也有類似問題。 此時，用高斯定理求解很困難，可以用鏡像法進(jìn)行求解。,,,,,q,q,非均勻感應(yīng)電荷,等效電

4、荷,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,,,幾個實(shí)例（以電場分布為例） 接地導(dǎo)體板附近有一個點(diǎn)電荷，如圖。,5.3.1 鏡像法的基本思想,接地導(dǎo)體球附近有一個點(diǎn)電荷，如圖。,,,q,,非均勻感應(yīng)電荷,,q,等效電荷,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,,接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。 結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為一個或多個點(diǎn)電荷或線電荷的作用。 問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,鏡像法的理論依據(jù) 由惟一性定理，滿足同一方程和同樣邊界條件的電位分布的解是相同的（至多相差一個常數(shù)），

5、所以引入像電荷（等效電荷）后，應(yīng)該有 電位函數(shù)仍然滿足原方程（拉普拉斯方程或泊松方程） 電位分布仍滿足原邊界條件 如果要使得這兩個條件同時滿足，需要合理地選擇像電荷的位置和電量,理論依據(jù),唯一性定理,解的可靠性,像電荷的確定,5.3.2 導(dǎo)體平面的鏡像,點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 原問題,由圖可知，接地導(dǎo)體板附近有一個點(diǎn)電荷時，電力線垂直導(dǎo)體板，等位線平行導(dǎo)體板。這是點(diǎn)電荷與導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷共同作用的結(jié)果。,計(jì)算機(jī)模擬的接地導(dǎo)體板附近有一個點(diǎn)電荷時的電場分布圖,顯然可將感應(yīng)電荷的作用用位于h的像電荷qq替代。,顯然，滿足邊界條件，原問題不變，所得的解是正確的。,q,-h,考察原問題是否

6、得到滿足：由于像電荷位于z<0區(qū)域，原方程不變，且有,P,線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 原問題,顯然可將感應(yīng)電荷的作用用位于h處的像電荷ll替代。,顯然，滿足邊界條件。 所以，原問題不變，所得的解是正確的。,考察原問題是否得到滿足： 由于像電荷位于z<0區(qū)域，原方程不變，且有,P,點(diǎn)電荷對相交半無限大導(dǎo)體平面的鏡像,q3,設(shè)：兩個半無限大導(dǎo)體平板相互垂直相連且接地，點(diǎn)電荷q位于(d1，d2)處。,,,對于平面2，有鏡像電荷q2 =q ，位于d2。,,,顯然，q1對平面2、 q2對平面1不能滿足邊界條件。 只有再加上q3后，所有邊界條件才能得到滿足。,,,r,,r1,,r2,,r3,對于平面

7、1，有鏡像電荷q1=q，位于d1。,P,用計(jì)算機(jī)模擬的，當(dāng)夾角為60的兩個半無限大接地導(dǎo)體平板之間有一個點(diǎn)電荷q時，鏡像電荷的位置示意圖,由圖可知，點(diǎn)電荷q共有5個像電荷 6個電荷兩兩成對地分別構(gòu)成兩個平面（包括平面的延伸部分）的鏡像關(guān)系，缺一不可,例1 一個點(diǎn)電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無窮遠(yuǎn)處，（外力）需要做多少功？。,解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無窮遠(yuǎn)時電場力所做的功。 由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場可以用像電荷qq替代。當(dāng)電荷q位于x時，像電荷q應(yīng)位于x，則有,,,5.3.3 導(dǎo)體球面的鏡像,點(diǎn)電荷對

8、接地導(dǎo)體球面的鏡像 原問題,用鏡像法求空間任意點(diǎn)的電位，可將鏡像電荷q選擇在導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），則有,利用邊界條件可以確定未知的d2和q。,,,,,,,,,,,,,,a,q,q,d2,a,R0,P,d1,O,,令ra，此時有R=R0，R=R0。由球面上電位為零，即0，得,,此式在整個球面上都成立。成立的條件是什么？,,所以，使R0與R0之比為常數(shù)的條件是,,像電荷的位置,,像電荷的電量,,,<1,用計(jì)算機(jī)模擬的，接地導(dǎo)體球旁有一個點(diǎn)電荷q時，空間的電位、電場分布圖,由圖可知，點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電力線只有一部分終止在導(dǎo)體球上，另一部分延伸至無窮遠(yuǎn)。所以,點(diǎn)電荷對接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像 原問

9、題,,r,P,用鏡像法求空間任意點(diǎn)的電位，顯然應(yīng)該將鏡像電荷q選擇在導(dǎo)體球外，有,利用點(diǎn)電荷在球外時的結(jié)果，得,| q||q|，可見球外的電荷量大于球內(nèi)電荷量（絕對值） 像電荷的位置和電量與外半徑b無關(guān)（為什么？）,用計(jì)算機(jī)模擬的，接地空心導(dǎo)體球殼中有一個點(diǎn)電荷q時，球內(nèi)空間的電位、電場分布圖,由圖可知，點(diǎn)電荷q在內(nèi)球面將產(chǎn)生電量為q的非均勻感應(yīng)電荷 但是，感應(yīng)電荷的總量不等于鏡像電荷，也就是說，用鏡像電荷替代感應(yīng)電荷，只是作用上的等效,點(diǎn)電荷對不接地導(dǎo)體球的鏡像 原問題,如果在導(dǎo)體內(nèi)放置鏡像電荷q，滿足導(dǎo)體面等位的條件。,但此時導(dǎo)體上的總電量不再等于零。所以，還需要在球心處再加上一個像電荷q

10、。,顯然，導(dǎo)體球仍然保持等位。空間任意點(diǎn)的電位為,5.3.4 導(dǎo)體圓柱面的鏡像,線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像 原問題,選擇鏡像電荷ll，且位于導(dǎo)體柱內(nèi)。另外，將電位參考點(diǎn)選擇在柱面上的任意點(diǎn)Q處，得柱外的電位分布為,令r a， 0，則在柱面上有,,,,兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸（雙圓柱導(dǎo)體的鏡像）,,由于兩圓柱上電荷的相互作用與影響，電荷分布不再均勻。由于兩柱上帶有的正負(fù)電荷將相向吸引，電荷中心會向另一柱體方向移動，形成相距2b的兩個鏡像線電荷。,為了保持導(dǎo)體面等位，根據(jù)圓柱鏡像的結(jié)果，得,,5.3.5 介質(zhì)平面的鏡像,點(diǎn)電荷對介質(zhì)分界平面的鏡像 原問題,電荷q產(chǎn)生的電場將使兩介質(zhì)極化，從而在分界面

11、上產(chǎn)生不均勻的極化電荷。極化電荷對兩個區(qū)域中的電位都有貢獻(xiàn)。 可以用鏡像電荷來等效極化電荷所產(chǎn)生的電位：,區(qū)域1的電位由q和位于區(qū)域2中的鏡像電荷q共同產(chǎn)生,區(qū)域2的電位由q和位于區(qū)域1中的鏡像電荷 共同產(chǎn)生,利用z=0平面上的邊界條件，得,,線電流對磁介質(zhì)分界平面的鏡像 原問題,電流I產(chǎn)生的磁場將使兩介質(zhì)磁化，從而在分界面上產(chǎn)生不均勻的磁化電流。磁化電流對兩個區(qū)域中的矢量位都有貢獻(xiàn)。 可以用鏡像電流來等效磁化電流所產(chǎn)生的矢量位：,矢量位方向與電流方向一致,,,5.4 鏡像法求解靜磁場邊值問題,區(qū)域1的矢量位由I和位于區(qū)域2中的鏡像電流I共同產(chǎn)生,區(qū)域2的矢量位由I和位于區(qū)域1中的鏡像電荷

12、 共同產(chǎn)生,利用z=0平面上的邊界條件，得,,,假設(shè)與I的方向相同,鏡像（電荷或電流）選擇綜述,為滿足原方程，鏡像（電荷或電流）應(yīng)選擇在所討論的區(qū)域以外 鏡像（電荷或電流）的選擇應(yīng)保持原邊界條件不變 鏡像（電荷或電流）只對所討論的區(qū)域有效,例1 在內(nèi)外半徑分別為a和b的導(dǎo)體球殼（不接地）中，有一個電荷q，求空間的電位分布。,解：在導(dǎo)體球的內(nèi)表面，將出現(xiàn)總量為q的非均勻感應(yīng)電荷，在導(dǎo)體球的外表面出現(xiàn)總量為q的均勻電荷。所以，當(dāng)rb時，電位分布為,,對于r

13、有,,用計(jì)算機(jī)模擬的，不接地空心導(dǎo)體球殼中有一個點(diǎn)電荷q時，球內(nèi)外空間的電位、電場分布圖,點(diǎn)電荷q在內(nèi)球面將產(chǎn)生電量為q的非均勻感應(yīng)電荷 球的外表面有均勻分布的電荷，總量為q，球外空間的電位分布與均勻帶電導(dǎo)體球相同 球內(nèi)空間的電位分布與接地空心導(dǎo)體球內(nèi)的分布類似,5.5 分離變量法,分離變量法是求解邊值問題最經(jīng)典的方法，它屬于解析法的一種，可以給出解的精確表達(dá)式。 但由于要求邊界應(yīng)與某一正交曲面坐標(biāo)系的坐標(biāo)重合，分離變量法的應(yīng)用范圍有限。,5.5.1 拉氏方程的通解,直角坐標(biāo)系,,正弦余弦函數(shù)的線性組合, = 0, = 0,極坐標(biāo)系（或柱坐標(biāo)與z無關(guān)，即無窮長圓柱問題）,球坐標(biāo)系（與無關(guān)）,其

14、他情況（柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系）,5.5.2 邊界條件,可分為兩大類：自然邊界條件、電磁邊界條件 自然邊界條件 從物理觀點(diǎn)出發(fā)，電磁場應(yīng)滿足的條件 周期性(在極坐標(biāo)系中，和+2k 處的場應(yīng)該相同) 令=+2k (k=1,2,3, )，代入極坐標(biāo)系通解中，顯然為滿足周期性條件，應(yīng)有B0=0，且為滿足, = n(n =1,2,3, ),,對稱性(因激勵源和邊界形狀等因素，場具有一定對稱性) 例1：對于柱坐標(biāo)系，如圖。r相同，和處的場相等，即電位對于為偶函數(shù)，只取cosn項(xiàng)，得,例2：如圖導(dǎo)體柱面，反對稱，奇偶函數(shù)，只取sinn項(xiàng)，得,有限性(電位在沒有源的地方應(yīng)該為有限值) 例3：外場中的介質(zhì)球，表面

15、極化電荷也會產(chǎn)生電位。由于無窮遠(yuǎn)處只剩下外電場，且球心處電位應(yīng)為有限值，則有,例4：例2中的導(dǎo)體柱面，設(shè)柱面半徑為a，使用有限性，得,結(jié)論：通解不涉及任何物理規(guī)律。而自然邊界條件從物理規(guī)律出發(fā)，可將通解化簡,電磁邊界條件 利用自然邊界條件化簡得到的解仍然是通解，滿足拉氏方程，但還不能說一定是電磁場邊值問題的解。 由唯一性定理，拉氏方程的解只要滿足給定的電磁場邊界條件，解就是正確的。所以，拉氏方程的通解還必須利用電磁場邊界條件才能成為真正電磁場邊值問題的解。 令通解滿足電磁場邊界條件，定出相應(yīng)的系數(shù)，即可得最后的解。電磁邊界條件可分為兩大類。 客觀邊界條件：所有電磁問題都滿足的邊界條件，如,介質(zhì)表面,導(dǎo)體表面,問題給定的邊界條件：不同問題，形式不同,實(shí)例 例5：外場中的介質(zhì)球問題(例3)。 其通解為：,,,介質(zhì)中的電場E2