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1、
第一章?勾股定理
一、選擇題(每題?3?分,共?30?分)
1.下列由線段?a,b,c?組成的三角形是直角三角形的是( )
A.a(chǎn)=1,b=2,c=3 B.a(chǎn)=2,b=3,c=4
C.a(chǎn)=3,b=4,c=5 D.a(chǎn)=4,b=5,c=6
2.如圖?1?所示,∠AOC=∠BOC,點?P?在?OC?上,PD⊥OA?于點?D,PE⊥OB?于點?E.若?OD=
8,OP=10,則?PE?的長為( )
圖?1
A.5 B.6
C.7 D.8
3.下列結(jié)論中
2、,錯誤的有( )
①在? ABC?中,已知兩邊長分別為?3?和?4,則第三邊的長為?;② ABC?的三邊長分
別為?a,b,c,若?a2+b2=c2,則∠A=°;③在 ABC?中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,
則△ABC?是直角三角形;④若三角形的三邊長之比為?3∶4∶5,則該三角形是直角三角形.
A.0?個 B.1?個 C.2?個 D.3?個
4.如圖?2,將長為?8?cm?的橡皮筋放置在地面上,固定兩端點?A?和?B,然后把中點?C?向
上拉升?3?cm?至點?D,則橡皮筋被拉長了( )
3、
圖?2
A.2?cm B.3?cm C.4?cm D.5?cm
5.將面積為?8π的半圓與兩個正方形按圖?3?所示的方式擺放,則這兩個正方形面積的
和為( )
??.若 ABC?的三邊長?a,b,c?滿足(a-b)?+|b-2|+(c2-8)?=0,則下列對此三角
圖?3
A.16 B.32 C.8π D.64
2 2
形的形狀描述最確切的是( )
A.等邊三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
7.如圖?4?所示,AC⊥BD,O
4、?為垂足,設(shè)?m=AB2+CD2,n=AD2+BC2,則?m,n?的大小關(guān)系
為( )
圖?4
A.m<n B.m=n
C.m>n D.不確定
8.如圖?5,點?D?在△ABC?的邊?AC?上,將△ABC?沿?BD?翻折后,點?A?恰好與點?C?重合.若
BC=5,CD=3,則?BD?的長為( )
圖?5
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如圖?6,設(shè)正方體?ABCD-A1B1C1D1?的棱長為?1,黑甲殼蟲從點?A?出發(fā),
5、白甲殼蟲從點
C1?出發(fā),它們以相同的速度分別沿棱向前爬行.黑甲殼蟲爬行的路線是:AA1→A1D1→D1C1→
C1C→CB→BA→AA1→A1D1…,白甲殼蟲爬行的路線是:C1C→CB→BB1→B1C1→C1C→CB…,那么
當(dāng)黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第?2018?條棱分別停止在所到的正方體頂點處時,它們之間的
最短路程的平方是( )
圖?6
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如圖?7?所示,在長方形紙片?ABCD?中,已知?AD=8,折疊紙片使?AB?邊與對角線?AC
6、
重合,點?B?落在點?F?處,折痕為?AE,且?EF=3,則?AB?的長為( )
圖?7
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空題(每題?3?分,共?18?分)
.在 ABC?中,若?AC2+BC2=AB2,∠A∶∠B=1∶2,則∠B?的度數(shù)是________.
12.古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出:如果?m?表示大于?1?的整數(shù),a=2m,b=m2-1,c=
m2+1,那么?a,b,c?為勾股數(shù).請你利用這個結(jié)論得出一組勾股數(shù)是____________.
13.木工師傅做了一個桌面,
7、要求桌面為長方形,現(xiàn)量得桌面的長為?60?cm,寬為?32?cm,
對角線的長為?68?cm,則這個桌面________.(填“合格”或“不合格”)
14.一座垂直于兩岸的橋長?27?米,一艘小船自橋北頭出發(fā),向正南方向駛?cè)?,因水?
原因,到達(dá)南岸后,發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭?36?米,則小船實際行駛了________米.
15.如圖?8?所示,把長方形紙片?ABCD?沿?EF,GH?同時折疊,B,C?兩點恰好都落在?AD?邊
上的點?P?處,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,則?BC?邊的長為________.
8、
圖?8
16.我國數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”.如
圖?9,它是用八個全等的直角三角形拼接而成的,記圖中正方形?ABCD,正方形?EFGH,正方
形?MNKT?的面積分別為?S1,S2,S3,若?S1+S2+S3=15,則?S2?的值是________.
圖?9
三、解答題(共?52?分)
17.(6?分)如圖?10,△ABC?中,D?是?BC?上的一點,AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.
(1)判斷?AD?與?BC
9、?的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求△ABC?的面積.
圖?10
E
18.(6?分)如圖?11?所示,在長方形?ABCD?中,AB=CD=24,AD=BC=50,?是?AD?上一點,
且?AE∶DE=9∶,判斷 BEC?的形狀.
圖?11
19.(6?分)如圖?12?是某同學(xué)設(shè)計的機器人比賽時行走的路徑,機器人從?A?處先往東走?4
m,又往北走?1.5?m,遇到障礙后又往西走?2?m,再轉(zhuǎn)向北走?4.5?m?處往
10、東一拐,僅走?0.5?m
就到達(dá)了?B?處,則點?A,B?之間的距離是多少?
圖?12
20.(6?分)如圖?13?所示,有兩根長桿隔河相對,一桿高?3?m,另一桿高?2?m,兩桿相距
5?m.兩根長桿都與地面垂直,現(xiàn)兩桿頂部各有一只魚鷹,它們同時看到兩桿之間的河面上
E?處浮出一條小魚,于是同時以同樣的速度飛下來奪魚,結(jié)果兩只魚鷹同時叼住小魚.求兩
桿底部距小魚的距離各是多少米.(假設(shè)小魚在此過程中保持不動)
圖?13
11、
21.(6?分)如圖?14,河邊有?A,B?兩個村莊,A?村距河邊?10?m,B?村距河邊?30?m,兩村
平行于河邊方向的水平距離為?30?m,現(xiàn)要在河邊建一抽水站,需鋪設(shè)管道抽水到?A?村和?B
村.
(1)求鋪設(shè)管道的最短長度是多少,請畫圖說明;
(2)若鋪設(shè)管道每米需要?500?元,則最低費用為多少?
圖?14
22.(6?分)有一個如圖?15?所示的長方體的透明魚缸,假設(shè)其長?AD=80?cm,高?AB=60?cm,
水深?AE=40?c
12、m,在水面上緊貼內(nèi)壁?G?處有一魚餌,G?在水面線?EF?上,且?EG=60?cm.一小
蟲想從魚缸外的點?A?處沿缸壁爬到魚缸內(nèi)?G?處吃魚餌.
(1)小蟲應(yīng)該走怎樣的路線才可使爬行的路程最短?請畫出它的爬行路線,并用箭頭標(biāo)
注;
(2)試求小蟲爬行的最短路程.
圖?15
23.(8?分)如圖?16,在由?6?個大小相同的小正方形組成的方格中,設(shè)每個小正方形的邊
長均為?1.
(1)如圖①,A,B,C?是三個格點(即小正方形的頂點),判斷?AB?與?BC?的位置關(guān)系,并
13、
說明理由;
α
(2)如圖②,連接三格和兩格的對角線,求∠?+∠β?的度數(shù)(要求:畫出示意圖,并說
明理由).
圖?16
24.(8?分)八年級(3)班開展了手工制作競賽,每名同學(xué)都需在規(guī)定時間內(nèi)完成一件手
工作品.陳莉同學(xué)在制作手工作品時的第一、二個步驟是:①如圖?17,先裁下一張長?BC=
20?cm,寬?AB=16?cm?的長方形紙片?ABCD;②將紙片沿著直線?AE?折疊,點?D?恰好落在?BC
邊上的點?F?處.請你根據(jù)步驟①②解答下列問題:
(1)找出圖中∠FE
14、C?的余角;
(2)求?EC?的長.
圖?17
答案
1.C 2.B 3.C 4.A5.D 6.C 7.B 8.D 9.D10.D
11.60°
12.答案不唯一,如?20,99,101 13.合格 14.45
15.24 16.5
17.解:(1)AD⊥BC.理由如下:
因為?BD2+AD2=62+82=102=AB2,
所以△ABD?是直角三角形,且∠ADB=90°,
所以?AD⊥BC.
(2)在? ACD?中,因為?CD2=AC2-AD2
15、=172-82=152,所以?CD=15,
1 1 1
=?????????????
所以??ABC?2BC·AD=2(BD+CD)·AD=2×21×8=84.
18.解:因為?AD=50,AE∶DE=9∶16,所以?AE=18,DE=32.
在? ABE?中,由勾股定理,得?BE2=AB2+AE2=242+182=900.
在? CDE?中,由勾股定理,得?CE2=DE2+CD2=322+242=1600.
在△BCE?中,因為?BE2+CE2=900+1600=2500=502=BC,所以 BEC?是直角三角形.
16、
19.解:如圖,過點?B?作?BC⊥AD?于點?C,由圖可知?AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5
+1.5=6(m).在? ABC?中,AB2=AC2+BC2=2.52+62=42.25,所以?AB=6.5(m),即點?A,
B?之間的距離是?6.5?m.
20.解:由題意可知?AB=2?m,CD=3?m,BC=5?m,AE=DE.
設(shè)?BE=x?m,則?EC=(5-x)m.
在? ABE?中,由勾股定理,得?AE2=AB2+BE2.
在? DCE?中,
17、由勾股定理,得?DE2=CD2+EC2.
所以?AB2+BE2=CD2+EC2,即?22+x2=32+(5-x)2,解得?x=3,則?5-x=2.
所以桿?AB?底部距小魚?3?m,桿?CD?底部距小魚?2?m.
21.解:(1)如圖,過點?A?作?AC⊥CE?于點?C,延長?AC?至點?D,使?CD=AC,連接?BD,交
河邊于點?E,連接?AE,則抽水站應(yīng)建在點?E?處,可使鋪設(shè)的管道最短,最短長度為?AE+BE,
即?BD?的長.
過點?B?作?BF⊥AC?于點?F,
由題意得:AC
18、=10?m,CF=30?m,BF=30?m,
所以?CD=AC=10?m,
所以?DF=10+30=40(m).
在? BDF?中,BD2=302+402=502,
所以?BD=50(m).
即鋪設(shè)管道的最短長度是?50?m.
(2)最低費用為?50×500=25000(元).
22.解:(1)如圖所示,AQ→QG?為最短路線.
(2)因為?AE=40?cm,AA′=120?cm,所以?A′E=120-40=80(cm).因為?EG=60?cm,
所以?A′G2=A′E2+EG2=802+602=10000,
19、所以?A′G=100?cm,所以?AQ+QG=A′Q+QG=
A′G=100?cm,所以小蟲爬行的最短路程為?100?cm.
23.解:(1)AB⊥BC.理由:如圖①,連接?AC.由勾股定理可得?AB2=12+22=5,BC2=12
+22=5,AC2=12+32=10,所以?AB2+BC2=AC,所以 ABC?是直角三角形且∠ABC=90°,
所以?AB⊥BC.
(2)∠α?+∠β?=45°.理由:如圖②,由勾股定理得?AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,
AC2=12+3
20、2=10,所以?AB2+BC2=AC,所以 ABC?是直角三角形且∠ABC=90°.又因為?AB
=,所以?ABC?是等腰直角三角形,所以∠BAC=45°,即∠α?+∠γ?=45°.由圖可知∠
β?=∠γ?,所以∠α?+∠β?=45°.
24.解:(1)∠CFE,∠BAF.
(2)由折疊的性質(zhì),得?AF=AD=20?cm,EF=DE.設(shè)?EC=x?cm,則?EF=DE=(16-x)cm.
在? ABF?中,BF2=AF2-AB2=202-162=144,所以?BF=12(cm),
所以?FC=BC-BF=20-12=8(cm).
在? EFC?中,由勾股定理,得?EF2=FC2+EC2,即(16-x)2=82+x2,解得?x=6,
所以?EC?的長為?6?cm.