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1、
第一章綜合素質(zhì)檢測
時間120分鐘，滿分150分．
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，每小題有4個選項，其中有且僅有一個是正確的，把正確的選項填在答題卡中)
1．“a＝1”是“函數(shù)y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期為π”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分又不必要條件
[答案] A
[解析] y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，周期T＝＝＝π，則a＝±1.故選A.
2．若條件p：|x＋1|≤4，條件q：x2<5x－6，則綈p是綈q的( )
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
2、C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
[答案] B
[解析] 綈p：{x|x<－5或x>3}，綈q：{x|x≤2或x≥3}，∴綈p?綈q，綈q 綈p.故選B.
3．已知m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：
①若α∥β，α∥γ，則β∥γ；②若α⊥β，m∥α，則m⊥β；③若m⊥α，m∥β，則α⊥β；④若m∥n，n?α，則m∥α.
其中真命題的序號是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] A
[解析]?、僬_，排除C、D；m⊥α，m∥β，
∴β內(nèi)存在直線n∥m，∴n⊥α，
∴α⊥β，③正確，排除B.
故選
3、A.
4．下列命題中，真命題是( )
A．?x∈R，x>0
B．如果x<2，那么x<1
C．?x∈R，x2≤－1
D．?x∈R，使x2＋1≠0
[答案] D
[解析] A顯然是假命題，B中若x∈[1,2)雖然x<2但x不小于1.C中不存在x，使得x2≤－1，D中對?x∈R總有x2＋1≥1，
∴x2＋1≠0，故D是真命題，選D.
5．(2009·山東煙臺3月考)已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
④若m⊥α，n∥β，
4、α∥β，則m⊥n.
其中正確命題的個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①④正確，②③不正確．故選B.
6．“m＝”是“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的( )
A．充分必要條件
B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件
D．既不充分也不必要條件
[答案] B
[解析] 直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直的充要條件是：(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝或m＝－2，故應(yīng)選B.
7．(2010·廣東文，8)“x＞0
5、”是“＞0”成立的( )
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．非充分非必要條件 D．充要條件
[答案] A
[解析] 本題考查了充要條件的判定問題，這類問題的判斷一般分兩個方向進行，x>0顯然能推出>0，而>0?|x|>0?x≠0，不能推出x>0，故選A.
8．已知命題p：?x∈R，sinx≥0，則下面說法正確的是( )
A．綈p是存在性命題，且是真命題
B．綈p是全稱命題，且是真命題
C．綈p是全稱命題，且是假命題
D．綈p是存在性命題，且是假命題
[答案] A
[解析] 綈p：?x∈R，sinx<0，所以是存在性命題也是真命題．故選A.
9．給
6、出命題p：“若·>0，則△ABC為銳角三角形”；命題q：“實數(shù)a、b、c滿足b2＝ac，則a、b、c成等比數(shù)列”．那么下列結(jié)論正確的是( )
A．p且q與p或q都為真
B．p且q為真而p或q為假
C．p且q為假且p或q為假
D．p且q為假而p或q為真
[答案] C
[解析] p：若·>0，則∠B>90°所以△ABC為鈍角三角形，故p為假命題．q：a、b、c均為零時b2＝ac但a、b、c不成等比數(shù)列，故q為假命題，所以p且q為假，p或q也為假，故選C.
10．下列有關(guān)命題的說法錯誤的是( )
A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為：若x≠1，則x2－3x＋2≠
7、0
B．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要條件
C．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題
D．對于命題p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，則綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0
[答案] C
[解析] p∧q為假，則p，q至少一個為假．故選C.
11．(2009·天津高考)設(shè)x∈R，則“x＝1”是“x3＝x”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[答案] A
[解析] x＝1?x3＝x，但x3＝x x＝1，故選A.
12．用反證法證明命題：若系數(shù)為整數(shù)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有
8、理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)，下列假設(shè)中正確的是( )
A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)
B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)
C．假設(shè)a、b、c至多有一個是偶數(shù)
D．假設(shè)a、b、c至多有兩個是偶數(shù)
[答案] B
[解析] a、b、c中至少有一個是偶數(shù)的否定是a、b、c都不是偶數(shù)，故選B.
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．“|x－2|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的________條件．
[答案] 必要不充分
[解析] 由|x－2|<2得－2
9、x<3?0
10、 c＝0
16．設(shè)A、B為兩個集合，下列四個命題：
①AB?對?x∈A，有x?B；
②AB?A∩B＝?；
③AB?A?B；
④AB??x∈A，使得x?B，其中真命題的序號是________________．
[答案]?、?
[解析] 通過舉反例說明：
若A＝{1,2,3}，B＝{1,2,4}，滿足AB，
但1∈A且1∈B，A∩B＝{1,2}，所以①，②是假命題；若A＝{1,2,4}，B＝{1}
滿足A?B，但B?A，所以③是假命題；只有④為真命題．
三、解答題(本大題共6個大題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)
17．(本小題滿分12分)寫出命題“若＋
11、(y＋1)2＝0，則x＝2且y＝－1”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．
[解析] 逆命題：若x＝2且y＝－1，則＋(y＋1)2＝0；(真)
否命題：若＋(y＋1)2≠0，則x≠2或y≠－1；(真)
逆否命題：若x≠2或y≠－1，則＋(y＋1)2≠0(真)
18．(本題滿分12分)已知a>0設(shè)命題p：函數(shù)y＝()x為增函數(shù)．
命題q：當(dāng)x∈[，2]時函數(shù)f(x)＝x＋>恒成立．
如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的范圍．
[解析] 當(dāng)y＝()x為增函數(shù)，得0
12、x∈[，2]上最小值為f(1)＝2.
當(dāng)x∈[，2]時，由函數(shù)f(x)＝x＋>恒成立．
得2>解得a>.
如果p真且q假，則00，函數(shù)f(x)＝ax－bx2.
(1)當(dāng)b>0時，若對任意x∈R，都有f(x)≤1，證明a≤2；
(2)當(dāng)b>1時，證明：對任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要條件是b－1≤a≤2.
[證明] (1)∵f(x)＝－b(x－)2＋，
對任意x∈R，都有f(x)≤1，
∴f()＝≤1.
又∵a>0，b>0，∴a2≤4b，即a≤2.
13、
(2)必要性：
對任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1，
即－1≤f(x)≤1，
∴f(1)≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.
∵b>1，∴0<<1，∴f≤1.
即a·－b·()2≤1，
∴－1≤1，∴a≤2.
所以b－1≤a≤2.
充分性：
∵b>1，∴f(x)的圖象是開口向下的拋物線．
由a≤2，得0<<≤1.
∴0<<1.
∴ymax＝f()＝＝()2≤1.
∴f(x)≤1.∵f(0)＝0，∴f(0)>－1.
又∵f(1)＝a－b，由b－1≤a，即a≥b－1，
知f(1)≥b－1－b＝－1.而函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈
14、[0,1]時，f(x)≥－1.
綜上所述，當(dāng)b>1時，對任意x∈[0,1]，
|f(x)|≤1的充要條件是b－1≤a≤2.
20．(本小題滿分12分)求使函數(shù)f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的圖象全在x軸上方成立的充要條件．
[解析] 要使函數(shù)f(x)的圖象全在x軸上方的充要條件是：
或
解得1
15、x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，
即(x－3)(x＋1)≥0，∴x≥3或x≤－1.
由|1－|<1，－1<1－<1∴0
16、ac)≥0，
所以af(m)≥0，這與af(m)<0矛盾，即b2－4ac>0.
故二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個不等的零點，設(shè)為x1，x2，且x1
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