全易通數(shù)學(xué)湘教版八年級上第2章測試題

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第2章測試題 一．選擇題（共10小題） 1．（3分）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，則∠ACF的度數(shù)為（ ） A．48° B．36° C．30° D．24° 2．（3分）如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（3分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE交BC于D，交AB于點(diǎn)E．當(dāng)∠B=30°時(shí)，圖中不一定相等的線段有（ ） A．AC=AE=BE B．AD=BD C．AC=BD D．CD=DE 4．（3分）等腰三角形ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于G，已知AB=10，△GBC的周長為17，則底BC為（ ） A．5 B．7 C．10 D．9 5．（3分）若等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個(gè)三角形的周長為（ ） A．9 B．12 C．7或9 D．9或12 6．（3分）如圖，△ABC、△ADE中，C、D兩點(diǎn)分別在AE、AB上，BC與DE相交于F點(diǎn)．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，則∠DFC的度數(shù)為何？（ ） A．114 B．123 C．132 D．147 7．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（ ） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 8．（3分）已知，如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，若DE=8，則線段BD+CE的長為（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（3分）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，則BC的長度是（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 10．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE=BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 二．填空題（共8小題） 11．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在CA延長線上，EP⊥BC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)F，若AF=2，BF=3，則CE的長度為 ． 12．（3分）已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為 ． 13．（3分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是 ． 14．（3分）如圖，△ABC中，∠A=90°，DE是BC的垂直平分線，AD=DE，則∠C的度數(shù)是 °． 15．（3分）如圖，銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，射線BM為∠ABC的平分線，PL與BM相交于P點(diǎn)．若∠PBC=30°，∠ACP=20°，則∠A的度數(shù)為 °． 16．（3分）如圖所示，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是 cm． 17．（3分）如圖，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，則CD的長為 ． 18．（3分）如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是 ． 三．解答題（共6小題） 19．如圖，△ABC中BA=BC，點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)，DF⊥AC于F交BC于E， 求證：△DBE是等腰三角形． 20．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長． 21．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接ME．求證：ME⊥BC． 22．如圖，在△ABC中，DE，F(xiàn)G分別是AB，AC的垂直平分線，連接AE，AF，已知∠BAC=80°，請運(yùn)用所學(xué)知識，確定∠EAF的度數(shù)． 23．在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點(diǎn)O．△ADE的周長為6cm． （1）求BC的長； （2）分別連結(jié)OA、OB、OC，若△OBC的周長為16cm，求OA的長． 24．已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F． ①圖中有幾個(gè)等腰三角形？請說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系． ②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？ ③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形？EF與BE、CF間的關(guān)系如何？為什么？  參考答案： 一．選擇題（共10小題） 1．（3分）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，則∠ACF的度數(shù)為（ ） A．48° B．36° C．30° D．24° 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再計(jì)算出∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BF=CF，進(jìn)而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度數(shù)． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°， ∵BC的中垂線交BC于點(diǎn)E， ∴BF=CF， ∴∠FCB=24°， ∴∠ACF=72°﹣24°=48°， 故選：A． 【點(diǎn)評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等． 2．（3分）如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】由ED是AB的垂直平分線，可得AD=BD，又由△BDC的周長=DB+BC+CD，即可得△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC． 【解答】解：∵ED是AB的垂直平分線， ∴AD=BD， ∵△BDC的周長=DB+BC+CD， ∴△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形周長的計(jì)算，掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 3．（3分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE交BC于D，交AB于點(diǎn)E．當(dāng)∠B=30°時(shí)，圖中不一定相等的線段有（ ） A．AC=AE=BE B．AD=BD C．AC=BD D．CD=DE 【分析】分別根據(jù)線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)對四個(gè)答案進(jìn)行逐一判斷即可． 【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°， ∴∠BAC=60°，AC=， ∵DE是AB的垂直平分線， ∴AD=BD，AE=BE=AB， ∴∠DAB=30°，AC=AE=BE，故A、B正確； ∴∠CAD=30°， ∴AD是∠BAC的平分線 ∵CD⊥AC，DE⊥AB， ∴CD=DE，故D正確； 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中． 4．（3分）等腰三角形ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于G，已知AB=10，△GBC的周長為17，則底BC為（ ） A．5 B．7 C．10 D．9 【分析】根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，得GB=GA，即△GBC的周長=AC+BC，從而就求得了BC的長． 【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D， ∵DG為AB的垂直平分線 ∴GA=GB （垂直平分線上一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等）， ∴三角形GBC的周長=GB+BC+GC=GA+GC+BC=AC+BC=17， 又∵三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC， ∴AB+BC=17， ∴BC=17﹣AB=17﹣10=7． 故選B． 【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)；進(jìn)行有效的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵． 5．（3分）若等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個(gè)三角形的周長為（ ） A．9 B．12 C．7或9 D．9或12 【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為5和2，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形． 【解答】解：當(dāng)腰為5時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況成立，周長=5+5+2=12； 當(dāng)腰長為2時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立； 所以這個(gè)三角形的周長是12． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵． 6．（3分）如圖，△ABC、△ADE中，C、D兩點(diǎn)分別在AE、AB上，BC與DE相交于F點(diǎn)．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，則∠DFC的度數(shù)為何？（ ） A．114 B．123 C．132 D．147 【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，再利用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行分析解答即可． 【解答】解：∵BD=CD=CE， ∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE， ∵∠ADC+∠ACD=114°， ∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°， ∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°， ∴∠DCB+∠CDE=57°， ∴∠DFC=180°﹣57°=123°， 故選B． 【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用等邊對等角和三角形內(nèi)角和分析解答． 7．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（ ） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，則2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性質(zhì)得到∠D=∠A，然后把∠A的度數(shù)代入計(jì)算即可． 【解答】解：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點(diǎn)D， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A， ∴2∠1=2∠3+∠A， ∵∠1=∠3+∠D， ∴∠D=∠A=×30°=15°． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和三角形外角性質(zhì)進(jìn)行分析． 8．（3分）已知，如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，若DE=8，則線段BD+CE的長為（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠DBF與∠FBC的關(guān)系，∠ECF與∠FCB的關(guān)系，根據(jù)兩直線平行，可得∠DFB與∠FBC的關(guān)系，∠EFC與∠FCB的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BD與DF的關(guān)系，EF與EC的關(guān)系，可得答案． 【解答】解：OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB． ∵DE∥BC， ∴∠FBC=∠DFB，∠EFC=∠FCB． ∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF． ∴DB=DF，EF=EC， DE=DF+EF=DB+EC=8， 故選：D． 【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)平行線段性質(zhì)的理解和掌握，此題關(guān)鍵是求證DB=DO，OE=EC，難度不大，是一道基礎(chǔ)題． 9．（3分）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，則BC的長度是（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=6，DE=2，進(jìn)而得出△BEM為等邊三角形，△EMD為等邊三角形，從而得出BN的長，進(jìn)而求出答案． 【解答】解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN=CN， ∵∠EBC=∠E=60°， ∴△BEM為等邊三角形， ∴BE=EM ∵BE=6，DE=2， ∴DM=EM﹣DE═6﹣2=4， ∵△BEM為等邊三角形， ∴∠EMB=60°， ∵AN⊥BC， ∴∠DNM=90°， ∴∠NDM=30°， ∴NM=2， ∴BN=4， ∴BC=2BN=8， 故選B． 【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出MN的長是解決問題的關(guān)鍵． 10．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE=BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【分析】根據(jù)已知條件分別求出圖中三角形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判定即可找出圖中的等腰三角形． 【解答】解：∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD是△ABC的角平分線， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴BD=AD， ∴△ABD是等腰三角形； 在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°， ∴∠C=∠BDC=72°， ∴BD=BC， ∴△BCD是等腰三角形； ∵BE=BC， ∴BD=BE， ∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°， ∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°， ∴∠A=∠ADE， ∴DE=AE， ∴△ADE是等腰三角形； ∴圖中的等腰三角形有5個(gè)． 故選D． 【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的判定，用到的知識點(diǎn)是等腰三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形的角平分線定義等，解題時(shí)要找出所有的等腰三角形，不要遺漏． 二．填空題（共8小題） 11．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在CA延長線上，EP⊥BC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)F，若AF=2，BF=3，則CE的長度為 7 ． 【分析】根據(jù)等邊對等角得出∠B=∠C，再根據(jù)EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，從而得出∠D=∠BFP，再根據(jù)對頂角相等得出∠E=∠AFE，最后根據(jù)等角對等邊即可得出答案． 【解答】證明：在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵EP⊥BC， ∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°， ∴∠E=∠BFP， 又∵∠BFP=∠AFE， ∴∠E=∠AFE， ∴AF=AE， ∴△AEF是等腰三角形． 又∵AF=2，BF=3， ∴CA=AB=5，AE=2， ∴CE=7． 【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明∠E=∠AFE，注意等邊對等角，以及等角對等邊的使用． 12．（3分）已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為 120°或20° ． 【分析】設(shè)兩個(gè)角分別是x，4x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分情況進(jìn)行分析，從而可求得頂角的度數(shù)． 【解答】解：設(shè)兩個(gè)角分別是x，4x ①當(dāng)x是底角時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得x+x+4x=180°，解得，x=30°，4x=120°，即底角為30°，頂角為120°； ②當(dāng)x是頂角時(shí)，則x+4x+4x=180°，解得，x=20°，從而得到頂角為20°，底角為80°； 所以該三角形的頂角為120°或20°． 故答案為：120°或20°． 【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．已知中若有比出現(xiàn)，往往根據(jù)比值設(shè)出各部分，利用部分和列式求解． 13．（3分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是 110°或70° ． 【分析】本題要分情況討論．當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種情況． 【解答】解：此題要分情況討論：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部． 根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°+20°=110°； 當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部， 故頂角是90°﹣20°=70°． 故答案為：110°或70°． 【點(diǎn)評】考查了等腰三角形的性質(zhì)，注意此類題的兩種情況．其中考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和． 14．（3分）如圖，△ABC中，∠A=90°，DE是BC的垂直平分線，AD=DE，則∠C的度數(shù)是 30 °． 【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠ABD=∠DBE，根據(jù)線段垂直平分線求出CD=BD，推出∠C=∠DBE=∠ABD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可． 【解答】解：∵△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，AD=DE， ∴∠ABD=∠DBE， ∵DE是BC的垂直平分線， ∴CD=BD， ∴∠C=∠DBE， ∵∠A=90°， ∴3∠C=90°， ∴∠C=30°， 故答案為：30． 【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等． 15．（3分）如圖，銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，射線BM為∠ABC的平分線，PL與BM相交于P點(diǎn)．若∠PBC=30°，∠ACP=20°，則∠A的度數(shù)為 70 °． 【分析】根據(jù)角平分線得出∠ABC=60°，再根據(jù)線段垂直平分線得出∠PCB=30°，利用三角形的內(nèi)角和解答即可． 【解答】解：∵射線BM為∠ABC的平分線，∠PBC=30°， ∴∠ABC=60°， ∵直線PL為BC的垂直平分線， ∴∠PCB=30°， ∴∠A的度數(shù)=180°﹣60°﹣30°﹣20°=70°， 故答案為：70． 【點(diǎn)評】此題考查線段垂直平分線性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線得出∠ABC=60°，再根據(jù)線段垂直平分線得出∠PCB=30°進(jìn)行分析． 16．（3分）如圖所示，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是 19 cm． 【分析】由已知條件，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到線段相等，進(jìn)行線段的等量代換后可得到答案． 【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂線， ∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm， ∴△ABD得周長=AB+AD+BD=AB+BC=13 ① 則△ABC的周長為AB+BC+AC=AB+BC+6 ② 把②代入①得△ABC的周長=13+6=19cm 故答案為：19． 【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；解答此題時(shí)要注意利用垂直平分線的性質(zhì)找出題中的等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換，然后求解． 17．（3分）如圖，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，則CD的長為 2.1 ． 【分析】由將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可證得△ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2，則可求得答案． 【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ABD是等邊三角形， ∴BD=AB， ∵AB=1.8，BC=3.9， ∴CD=BC﹣BD=3.9﹣1.8=2.1． 故答案為：2.1． 【點(diǎn)評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 18．（3分）如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是 400 ． 【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè)，小等邊三角形有2n個(gè)，據(jù)此求出第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)． 【解答】解：如圖① ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC， ∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC， ∴B′O=AB，CO=AC， ∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形． 又觀察圖可得，第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè)，小等邊三角形有2個(gè)， 第2個(gè)圖形中大等邊三角形有4個(gè)，小等邊三角形有4個(gè)， 第3個(gè)圖形中大等邊三角形有6個(gè)，小等邊三角形有6個(gè)，… 依次可得第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè)，小等邊三角形有2n個(gè)． 故第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是：2×100+2×100=400． 故答案為：400． 【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律． 三．解答題（共6小題） 19．如圖，△ABC中BA=BC，點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)，DF⊥AC于F交BC于E， 求證：△DBE是等腰三角形． 【分析】首先根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等得到∠A=∠C，再根據(jù)等角的余角相等得∠FEC=∠D，同時(shí)結(jié)合對頂角相等即可證明△DBE是等腰三角形． 【解答】證明：在△ABC中，BA=BC， ∵BA=BC， ∴∠A=∠C， ∵DF⊥AC， ∴∠C+∠FEC=90°， ∠A+∠D=90°， ∴∠FEC=∠D， ∵∠FEC=∠BED， ∴∠BED=∠D， ∴BD=BE， 即△DBE是等腰三角形． 【點(diǎn)評】此題主要考查等腰三角形的基本性質(zhì)及綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)來判定三角形是否為等腰三角形． 20．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解； （2）易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等邊三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半． 21．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接ME．求證：ME⊥BC． 【分析】根據(jù)EH⊥AB于H，得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可． 【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵EH⊥AB于H， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°， ∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM， ∴△HEM是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴ME⊥BC． 【點(diǎn)評】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并證明出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵． 22．如圖，在△ABC中，DE，F(xiàn)G分別是AB，AC的垂直平分線，連接AE，AF，已知∠BAC=80°，請運(yùn)用所學(xué)知識，確定∠EAF的度數(shù)． 【分析】在△ABC中，利用三角形內(nèi)角定理易求∠B+∠C，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易求∠BAE=∠B，同理可得∠CAF=∠C，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理進(jìn)而可得∠BAE+∠CAF﹣∠BAC=∠EAF． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC=80°， ∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=100°， ∵DE是AB的垂直平分線， ∴EB=EA， ∴∠BAE=∠B， 同理可得∠CAF=∠C， ∴∠EAF=∠BAE+∠CAF﹣∠BAC=∠B+∠C﹣∠BAC=20°． 【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先求出∠B+∠C． 23．在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點(diǎn)O．△ADE的周長為6cm． （1）求BC的長； （2）分別連結(jié)OA、OB、OC，若△OBC的周長為16cm，求OA的長． 【分析】（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD，AE=CE，再根據(jù)AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出結(jié)論； （2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA=OC=OB，再由∵△OBC的周長為16cm求出OC的長，進(jìn)而得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵DF、EG分別是線段AB、AC的垂直平分線， ∴AD=BD，AE=CE， ∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC， ∵△ADE的周長為6cm，即AD+DE+AE=6cm， ∴BC=6cm； （2）∵AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E， ∴OA=OC=OB， ∵△OBC的周長為16cm，即OC+OB+BC=16， ∴OC+OB=16﹣6=10， ∴OC=5， ∴OA=OC=OB=5． 【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等． 24．已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F． ①圖中有幾個(gè)等腰三角形？請說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系． ②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？ ③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形？EF與BE、CF間的關(guān)系如何？為什么？ 【分析】（1）根據(jù)EF∥BC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上題目中給出的AB=AC，共5個(gè)等腰三角形；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系． （2）根據(jù)EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用幾個(gè)等腰三角形的性質(zhì)即可得出EF與BE，CF的關(guān)系． （3）EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形． 【解答】解：（1）有5個(gè)等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下： ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， 又∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)， ∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB， ∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC， ∴OE=BE，OF=CF， ∴EF=OE+OF=BE+CF． 又AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC， ∴EF=BE+CF=2BE=2CF； （2）有2個(gè)等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF； 第一問中的EF與BE，CF的關(guān)系是：EF=BE+CF． （3）有，還是有2個(gè)等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下： ∵EO∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延長線上的一點(diǎn)） 又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線 ∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD， ∴∠EOB=∠EBO， ∴BE=OE， ∠FCO=∠FOC， ∴CF=FO， 又∵EO=EF+FO， ∴EF=BE﹣CF． 【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是步驟繁瑣，屬于中檔題，還有第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此這又是一道易錯(cuò)題．要求學(xué)生在證明此題時(shí)一定要仔細(xì)，認(rèn)真．