人教版九下數(shù)學(xué) 第二十八章 專題類型二 回歸教材（二） 圓與三角函數(shù)（2） 利用“直徑”構(gòu)造直角三角形

人教版九下數(shù)學(xué) 第二十八章 專題類型二 回歸教材（二） 圓與三角函數(shù)（2） 利用“直徑”構(gòu)造直角三角形 1. 如圖，⊙O 的半徑為 r，△ABC 是 ⊙O 的內(nèi)接三角形． (1) 設(shè) ∠ACB=α，AB=a，求證：sinα=a2r． (2) 作 CD⊥AB 于點 D，若 r=3，AC=42，求 sin∠BCD 的值． 2. 如圖，AB 為 ⊙O 的直徑，CD 為 ⊙O 的弦． (1) 如圖 1，AD 與 BC 相交于點 P，設(shè) ∠BPD=α，則 CDAB 的值為 （用 α 的三角函數(shù)表示）； (2) 如圖 2，直線 AD 與 BC 相交于點 P，若 AB=10，CD=6，求 tan∠APC 的值． 3. 如圖，△ABC 內(nèi)接于 ⊙O，AB=AC，連接 AO． (1) 求證：AO⊥BC； (2) CO 的延長線交 AB 于點 D，若 tan∠BAC=34，求 ADDB 的值． 答案 1. 【答案】 (1) 作直徑 AC1，連接 BC1， 則 ∠ABC1=90°，∠AC1B=∠ACB=α， ∴ 在 Rt△ABC1 中，sinα=ABAC1=a2r； (2) 作直徑 CB1 連接 AB1， 則 ∠B1=∠B，∠CAB1=90°=∠CDB， ∴∠BCD=∠ACB1，AB1=CB12-AC2=2， ∴sin∠BCD=sin∠ACB1=AB1CB1=13． 2. 【答案】 (1) cosα (2) 連接 BD，同理易證 cos∠BPD=CDAB=610=35， ∴ 可設(shè) PD=3a，則 PB=5a，BD=4a， ∴ 在 Rt△PBD 中，tan∠APC=BDPD=43． 【解析】 (1) 連接 BD，則 ∠ADB=90°， 易證 △PCD∽△PAB， ∴CDAB=PDPB=cos∠BPD=cosα． 3. 【答案】 (1) 略． (2) 延長 CD 交 ⊙O 于點 E，連接 BE，則 ∠EBC=90°，∠E=∠BAC， ∴tan∠E=tan∠BAC=BCBE=34， ∴ 可設(shè) BC=6a，則 BE=8a， ∴EC=BC2+BE2=10a，AO=12EC=5a，由（1）知 AO∥EB， ∴ 易證 △AOD∽△BED， ∴ADDB=AOBE=5a8a=58．