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人教版九下數(shù)學(xué) 第二十八章 專題類型二 回歸教材(二) 圓與三角函數(shù)(2) 利用“直徑”構(gòu)造直角三角形
1. 如圖,⊙O 的半徑為 r,△ABC 是 ⊙O 的內(nèi)接三角形.
(1) 設(shè) ∠ACB=α,AB=a,求證:sinα=a2r.
(2) 作 CD⊥AB 于點 D,若 r=3,AC=42,求 sin∠BCD 的值.
2. 如圖,AB 為 ⊙O 的直徑,CD 為 ⊙O 的弦.
(1) 如圖 1,AD 與 BC 相交于點 P,設(shè) ∠BPD=α,則 CDAB 的值為 (用 α 的三角函數(shù)表示);
(2) 如圖 2,直線 AD 與 BC 相交于點 P
2、,若 AB=10,CD=6,求 tan∠APC 的值.
3. 如圖,△ABC 內(nèi)接于 ⊙O,AB=AC,連接 AO.
(1) 求證:AO⊥BC;
(2) CO 的延長線交 AB 于點 D,若 tan∠BAC=34,求 ADDB 的值.
答案
1. 【答案】
(1) 作直徑 AC1,連接 BC1,
則 ∠ABC1=90°,∠AC1B=∠ACB=α,
∴ 在 Rt△ABC1 中,sinα=ABAC1=a2r;
(2) 作直徑 CB1 連接 AB1,
則 ∠B1=∠B,∠CAB1=90°=∠CDB,
∴∠BCD=∠ACB1,AB1=CB12-AC2=
3、2,
∴sin∠BCD=sin∠ACB1=AB1CB1=13.
2. 【答案】
(1) cosα
(2) 連接 BD,同理易證 cos∠BPD=CDAB=610=35,
∴ 可設(shè) PD=3a,則 PB=5a,BD=4a,
∴ 在 Rt△PBD 中,tan∠APC=BDPD=43.
【解析】
(1) 連接 BD,則 ∠ADB=90°,
易證 △PCD∽△PAB,
∴CDAB=PDPB=cos∠BPD=cosα.
3. 【答案】
(1) 略.
(2) 延長 CD 交 ⊙O 于點 E,連接 BE,則 ∠EBC=90°,∠E=∠BAC,
∴tan∠E=tan∠BAC=BCBE=34,
∴ 可設(shè) BC=6a,則 BE=8a,
∴EC=BC2+BE2=10a,AO=12EC=5a,由(1)知 AO∥EB,
∴ 易證 △AOD∽△BED,
∴ADDB=AOBE=5a8a=58.