人教版九下數(shù)學(xué) 第二十八章 專題類型二 回歸教材(二) 圓與三角函數(shù)(2) 利用“直徑”構(gòu)造直角三角形

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1、 人教版九下數(shù)學(xué) 第二十八章 專題類型二 回歸教材(二) 圓與三角函數(shù)(2) 利用“直徑”構(gòu)造直角三角形 1. 如圖,⊙O 的半徑為 r,△ABC 是 ⊙O 的內(nèi)接三角形. (1) 設(shè) ∠ACB=α,AB=a,求證:sinα=a2r. (2) 作 CD⊥AB 于點 D,若 r=3,AC=42,求 sin∠BCD 的值. 2. 如圖,AB 為 ⊙O 的直徑,CD 為 ⊙O 的弦. (1) 如圖 1,AD 與 BC 相交于點 P,設(shè) ∠BPD=α,則 CDAB 的值為 (用 α 的三角函數(shù)表示); (2) 如圖 2,直線 AD 與 BC 相交于點 P

2、,若 AB=10,CD=6,求 tan∠APC 的值. 3. 如圖,△ABC 內(nèi)接于 ⊙O,AB=AC,連接 AO. (1) 求證:AO⊥BC; (2) CO 的延長線交 AB 于點 D,若 tan∠BAC=34,求 ADDB 的值. 答案 1. 【答案】 (1) 作直徑 AC1,連接 BC1, 則 ∠ABC1=90°,∠AC1B=∠ACB=α, ∴ 在 Rt△ABC1 中,sinα=ABAC1=a2r; (2) 作直徑 CB1 連接 AB1, 則 ∠B1=∠B,∠CAB1=90°=∠CDB, ∴∠BCD=∠ACB1,AB1=CB12-AC2=

3、2, ∴sin∠BCD=sin∠ACB1=AB1CB1=13. 2. 【答案】 (1) cosα (2) 連接 BD,同理易證 cos∠BPD=CDAB=610=35, ∴ 可設(shè) PD=3a,則 PB=5a,BD=4a, ∴ 在 Rt△PBD 中,tan∠APC=BDPD=43. 【解析】 (1) 連接 BD,則 ∠ADB=90°, 易證 △PCD∽△PAB, ∴CDAB=PDPB=cos∠BPD=cosα. 3. 【答案】 (1) 略. (2) 延長 CD 交 ⊙O 于點 E,連接 BE,則 ∠EBC=90°,∠E=∠BAC, ∴tan∠E=tan∠BAC=BCBE=34, ∴ 可設(shè) BC=6a,則 BE=8a, ∴EC=BC2+BE2=10a,AO=12EC=5a,由(1)知 AO∥EB, ∴ 易證 △AOD∽△BED, ∴ADDB=AOBE=5a8a=58.

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