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1、1.3 等可能概型（古典概型）與幾何概型,一、古典概型的定義 設(shè)隨機實驗E滿足下列條件 1.有限性：試驗的樣本空間只有有限個樣本點（即只有有限個可能的結(jié)果），即 Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性：每個樣本點（或結(jié)果）的發(fā)生是等可能的，即 P(e1)=P(e2)==P(en)。 則稱此試驗E為古典概型，也叫等可能概型。,設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)=k ，以N(S)=n記樣本空間S中樣本點總數(shù)，則有,P(A)具有如下性質(zhì)：,(1) 0 P(A) 1； (2) P(S)1； P( )=0； (3) AB，則P( AB )P(A)P(B)。,二、古典概型中的概率：,解 設(shè)A-
2、-至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩，T表示某個孩子是女孩。,S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,例1.6 有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?,例1.7 在盒子里有10個相同的球，分別標(biāo)上號碼1，2，，10 。從中任取一球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率。,解 設(shè)m表示所取的球的號碼為m(m=1,2,,10)，則試驗的樣本空間為S=1,2,,10，因此基本事件總數(shù)n=10。 又設(shè)A表示“所取的球號碼為偶數(shù)”這一事件，則 A=2,4,6,8,10， 所以A中含有k
3、=5個樣本點，故,乘法原理 設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法,,,,,,,,三、計算古典概率的方法：排列與組合,加法原理 設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。,,,,,,,有重復(fù)排列 從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，,n,n,n,n,共有nk種排列方式.,無重復(fù)排列 從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)種排列方式.,n,n-
4、1,n-2,n-k+1,組 合 從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，共有,種取法.,四、古典概型的基本類型舉例,古典概型的計算關(guān)鍵在于計算基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)。,由于樣本空間的設(shè)計可由各種不同的方法，因此古典概率的計算就變得五花八門、紛繁多樣。但可歸納為如下幾種基本類型。,1、抽球問題 例1.8 設(shè)盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅球一白球的概率。 解 設(shè)A取到一紅球一白球,答:取到一紅一白的概率為3/5。,一般地，設(shè)盒中有N個球，其中有M個白 球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是,例1.9 某箱中裝有m+n個球，其中m個白球， n個
5、 黑球。(1)從中任意抽取r+s個球，試求所取的球中恰好有r個白球和s個黑球的概率；,解 試驗E：從m+n球中取出r+s個，每r+s個球構(gòu)成E的一個基本事件，不同的基本事件總數(shù)為,設(shè)事件A：“所取的球中恰好有r個白球和s個黑球”，總共有多少個基本事件呢？,,所以，事件A發(fā)生的概率為,(2)從中任意接連取出k+1(k+1m+n)個球，如果每一個球取出后不還原，試求最后取出的球是白球的概率。,解 試驗E：從m+n球中接連地不放回地取出k+1個球每k+1個排好的球構(gòu)成E的一個基本事件，不同的基本事件總數(shù)為,,設(shè)事件B：“第k+1個取出的球是白球”， 由于第k+1個球是白球，可先從m個白球中取一個留下
6、來作為第k+1個球，一共有,其余k個球可以是余下的m+n-1個球中任意k個球的排列，總數(shù)為,,種保留下來的取法，,,事件B所包含的基本事件總數(shù)為,,所以最后所取的球是白球的概率為,,,注：P(B)與k無關(guān)，即不論是第幾次抽取，抽到白球的概率均為,在實際中，有許多問題的結(jié)構(gòu)形式與抽球問題相同，把一堆事物分成兩類，從中隨機地抽取若干個或不放回地抽若干次，每次抽一個，求“被抽出的若干個事物滿足一定要求”的概率。如產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。,2、分球入盒問題,解 設(shè)A：每盒恰有一球，B：
7、空一盒,例1.10 將3個球隨機的放入3個盒子中去，問： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,一般地，把n個球隨機地分配到N個盒子中去(nN)，則每盒至多有一球的概率是：,例1.11 設(shè)有n個顏色互不相同的球，每個球都以概率1/N落在N(nN)個盒子中的每一個盒子里，且每個盒子能容納的球數(shù)是沒有限制的，試求下列事件的概率：,A=某指定的一個盒子中沒有球B=某指定的n個盒子中各有一個球C=恰有n個盒子中各有一個球D=某指定的一個盒子中恰有m個球(mn) 解 把n個球隨機地分配到N個盒子中去(nN),總共有Nn種放法。即基本事件總數(shù)為Nn。,事件A：指定的盒子中不能放球，
8、因此， n個球中的每一個球可以并且只可以放入其余的N-1個盒子中。總共有(N1)n種放法。因此,,事件B：指定的n個盒子中，每個盒子中各放一球，共有n!種放法，因此,事件C：恰有n個盒子，其中各有一球，即N個盒子中任選出n個，選取的種數(shù)為CNn,在這n個盒子中各分配一個球，n個盒中各有1球(同上)，n!種放法；事件C的樣本點總數(shù)為,事件D：指定的盒子中，恰好有m個球，這m個球可從n個球中任意選取，共有Cnm種選法，而其余n-m個球可以任意分配到其余的N-1個盒子中去，共有(N-1)n-m種，所以事件D所包含的樣本點總數(shù)為Cnm(N-1)n-m,某班級有n 個人(n365)， 問至少有兩個人的生
9、日在同一天 的概率有多大？,?,分球入盒問題，或稱球在盒中的分布問題。有些實際問題可以歸結(jié)為分球入盒問題，只是須分清問題中的“球”與“盒”，不可弄錯。 (1)生日問題：n個人的生日的可能情況，相當(dāng)于n個球放入N=365個盒子中的可能情況(設(shè)一年365天)； (2)旅客下車問題(電梯問題)：一列火車中有n名旅客，它在N個站上都停車，旅客下車的各種可能場合，相當(dāng)于n個球分到N個盒子：旅客：“球”，站：“盒子”； (3)住房分配問題：n個人被分配到N個房間中； (4)印刷錯誤問題：n個印刷錯誤在一本具有N頁書的一切可能的分布，錯誤球，頁盒子。,3.分組問題 例1.12 30名學(xué)生中有3名運動員，將這
10、30名學(xué)生平均分成3組，求： （1）每組有一名運動員的概率； （2）3名運動員集中在一個組的概率。,解 設(shè)A：每組有一名運動員；B：3名運動員集中在一組,一般地，把n個球隨機地分成m組(nm),要求第 i 組恰 有ni個球(i=1,,m)，共有分法：,4. 隨機取數(shù)問題,例1.13 從1到200這200個自然數(shù)中任取一個, (1)求取到的數(shù)能被6整除的概率； (2)求取到的數(shù)能被8整除的概率； (3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率。,解 N(S)=200,,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分別為：33/200,1/8,1/25,五、幾何概型,（1）設(shè)樣本空間S是平面的某一個區(qū)域，它的面積記為,（2）S是的某一個部分區(qū)域A的面積記為,（3）隨機投擲一點，該點落在區(qū)域A的事件記為A,注：當(dāng)樣本空間S為一線段或者一空間立體時，公式同上， 不同的是面積計算相應(yīng)更為長度或體積。,例（會面問題）甲乙兩人相約在7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就離開。如果每個人可在指定的一個小時內(nèi)任意時刻到達(dá)，試計算兩人能夠會面的概率。,作業(yè) Page 16,6；8；14,
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