2010年高考數(shù)學(xué) 考點14等比數(shù)列

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1、考點14 等比數(shù)列 1.（2010·遼寧高考文科·Ｔ3）設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，已知 ,則公比q = ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式，考查等比數(shù)列的通項公式。 【思路點撥】兩式相減，即可得到相鄰兩項的關(guān)系，進而可求公比q。 【規(guī)范解答】選B，兩式相減可得：,。故選B。 2.（2010·遼寧高考理科·Ｔ6）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和。已知a2a4=1, ,則( ) （A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列

2、的前n項和公式 【思路點撥】列出關(guān)于a1 q 的方程組，解出a1 q 再利用前n項和公式求出 【規(guī)范解答】選B。根據(jù)題意可得： 3.（2010·安徽高考理科·Ｔ10）設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項和，前項和與前項和分別 為，則下列等式中恒成立的是( ) A、 B、 C、 D、 【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查考生的觀察、分析、推理能力。 【思路點撥】從整體觀察，分析與，與的關(guān)系，即可得出結(jié)論。 【規(guī)范解答】選 D，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意， ，，所以，故D正確。 4.（2010·浙江高考理科·Ｔ3）設(shè)為等比數(shù)列的前項和，，則（

3、 ） （A）11 （B）5 （C） （D） 【命題立意】本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式。 【思路點撥】抓等比數(shù)列的基本量可解決本題。 【規(guī)范解答】選D。設(shè)等比數(shù)列的公式為，則由得， 。。 5.（2010·山東高考理科·Ｔ9）設(shè)是等比數(shù)列，則“”是數(shù)列是遞增數(shù)列的 （A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件、 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【命題立意】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識，考查了考生的推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】分清條件和結(jié)論再進行判

4、斷. 【規(guī)范解答】選C，若已知，則設(shè)數(shù)列的公比為，因為，所以有，解得且，所以數(shù)列是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則公比且，所以，即，所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件. 6.（2010·北京高考理科·Ｔ2）在等比數(shù)列中，，公比.若，則m =（ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 【命題立意】本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識。 【思路點撥】利用等比數(shù)列的通項公式即可解決。 【規(guī)范解答】選C。 方法一：由得。又因為，所以。因此。 方法二：因為，所以。又因為，，所以。所以，即。 7.（2010·山東高考文科·Ｔ7）設(shè)

5、是首項大于零的等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是 遞增數(shù)列”的( ) （A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件 【命題立意】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識，考查了考生的推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】分清條件和結(jié)論再進行判斷. 【規(guī)范解答】選C，若已知，則設(shè)數(shù)列的公比為，因為，所以有，又，解得所以數(shù)列是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列且，則公比，所以，即，所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件. 8.（2010·廣東高考文科·Ｔ4）已知數(shù)列

6、{}為等比數(shù)列，是它的前n項和．若=2a1，且與2的等差中項為，則=( ) A．35 B．33 C．31 D．29 【命題立意】本題考察等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的前項和公式 【思路點撥】由等比數(shù)列的性質(zhì)及已知條件 得出，由等差數(shù)列的性質(zhì)及已知條件得出，從而求出及。 【規(guī)范解答】選 由， 又 得 。所以， ，， 故選. 9.（2010·福建高考理科·Ｔ11）在等比數(shù)列{ }中，若公比q=4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式= 。 【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的通項

7、和前n項和公式。 【思路點撥】由前3項之和等于21求出 ，進而求出通項。 【規(guī)范解答】選A，, 【方法技巧】另解：， 10.（2010 ·海南寧夏高考·理科T17）設(shè)數(shù)列滿足， （Ⅰ)求數(shù)列的通項公式： （Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項和. 【命題立意】本題主要考查了數(shù)列通項公式以及前項和的求法，解決本題的關(guān)鍵是仔細觀察形式，找到規(guī)律，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題. 【思路點撥】由給出的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項公式，在求數(shù)列的前n項和. 【規(guī)范解答】（Ⅰ)由已知，當(dāng)時， 而，滿足上述公式， 所以的通項公式為. （Ⅱ）由可知， ① 從而

8、 ② ①②得 即 【方法技巧】利用累加法求數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列的和. 11.（2010·陜西高考理科·Ｔ１6）已知是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式，（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和 【命題立意】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式和前ｎ項和公式的應(yīng)用，考查考生的運算求解能力． 【思路點撥】已知關(guān)于d的方程d 【規(guī)范解答】 【方法技巧】1.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。 2．?dāng)?shù)列求通項的常見類型與方法：

9、公式法、由遞推公式求通項，由求通項，累加法、累乘法等 3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法等。 4．解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略． 12.（2010·北京高考文科·Ｔ１6）已知為等差數(shù)列，且，。 （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）若等比數(shù)列滿足，，求的前n項和公式 【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項公式等比數(shù)列的前n項和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。 【思路點撥】（1）由可列方程解出，從而可求出通項公式；（2）求出，再求出公式。代

10、入等比數(shù)列的前n項和公式即可。 【規(guī)范解答】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差。因為 所以 解得，所以 （Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為 因為 所以 即=3 所以的前項和公式為 13.（2010·福建高考文科·Ｔ１7）數(shù)列{} 中＝，前n項和滿足-＝ （n）. ( I ) 求數(shù)列{}的通項公式以及前n項和； （II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值。 【命題立意】本題考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想。 【思路點撥】第一步先求的通項，可知

11、為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和求解出；第二步利用等差中項列出方程求出t 【規(guī)范解答】 ( I ) 由得，又，故，從而 （II）由( I ) 從而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列可得解得。 【方法技巧】要求數(shù)列通項公式，由題目提供的是一個遞推公式，如何通過遞推公式來求數(shù)列的通項。題目要求的是項的問題，這就涉及有關(guān)“項”與“和”如何轉(zhuǎn)化的問題。一般地，含有的遞推關(guān)系式，一般利用化“和”為“項”。 14.（2010·湖南高考文科·Ｔ20）給出下面的數(shù)表序列： 其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n個數(shù)是1,3,5，2n-1，從第2

12、行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。 （I）寫出表4，驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）； （II）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12，記此數(shù)列為 求和： 【命題立意】以數(shù)列為背景考查學(xué)生的觀察、歸納和總結(jié)的能力。 【思路點撥】在第（2）問中首先應(yīng)得到數(shù)列的通項公式，再根據(jù)通項公式?jīng)Q定求和的方法。 【規(guī)范解答】 (1) 表4為 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第1，2，3，4，行中的平均數(shù)分別是4，8，16，32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列。將這一

13、結(jié)論推廣到表n（n≥3），即表n（n≥3）各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列。簡證如下（對考生不作要求）： 首先，表n（n≥3）各行中的第一行，1，3，5，…，2n-1是等差數(shù)列，其平均數(shù)為；其次，若表n的第k（1≤k≤n-1）行a1 ，a2 ，…an-k+1 ，是等差數(shù)列，則它的k+1行a1+a2，a2+a3，…，an-k+an-k+1，也是等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質(zhì)知，表n的第k行中的數(shù)的平均數(shù)與第k+1行中的數(shù)的平均數(shù)分別是 由此可知，表n（n≥3）各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列。 (2)

14、表n的第一行是1，3，5，…，2n-1，其平均數(shù)是 由(1)知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列，于是，表n中最后遺憾的唯一一個數(shù)為bn=n·2n-1. 因此， 故 【方法技巧】研究數(shù)列要抓住變化規(guī)律。 15.（2010·天津高考理科·Ｔ22）在數(shù)列中，，且對任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。 （Ⅰ）若=，證明，，成等比數(shù)列（） （Ⅱ）若對任意，，，成等比數(shù)列，其公比為。 【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類

15、討論的思想方法。 【思路點撥】利用等差、等比數(shù)列的定義證明。 【規(guī)范解答】（Ⅰ）由題設(shè)，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比數(shù)列。 （Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得 當(dāng)≠1時，可知≠1，k 從而 所以是等差數(shù)列，公差為1。 （Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分兩種情況進行討論： （1） 當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m() 若m=1,則. 若m≥2，則 + 所以 (2)當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m+1（） 所以從而··· 綜合（1）（2）可知，對任意,,有 證

16、法二：（i）證明：由題設(shè)，可得 所以 由可知?？傻茫? 所以是等差數(shù)列，公差為1。 （ii）證明：因為所以。 所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得= ，故。 從而。 所以，由，可得。 于是，由（i）可知 以下同證法一。 16.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）數(shù)列中， 是函數(shù)的極小值點 （Ⅰ）當(dāng)a=0時，求通項； （Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。 【命題立意】以三次函數(shù)為載體引出數(shù)列再考查數(shù)列，考查分類討論思想. 【思路點撥】由一元三次函數(shù)極小值的求法，引出數(shù)列，

17、進一步研究數(shù)列. 【規(guī)范解答】易知 令 （1） 若3an0, fn(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)3ann2時，f′n(x)>0, fn(x)單調(diào)遞增. 故fn(x)在x=n2取得最小值. （2） 若3an>n2，仿（1）可得，fn(x)在x=3an取得最小值. （3） 若3an=n2，則f ‘n(x)≥0, fn(x)無極值. 當(dāng)a=0時，a1=0，則3a1<12.由（1）知, a2=12=1. 因3a2=3<22,則由(1)知，a3=22=4. 因為3a3=12>32，則由（2

18、）知，a4=3a3=3×4. 又因為3a4=36>42,則由（2）知，a5=3a4=32×4. 由此猜測：當(dāng)n≥3時，an=4×3n-3. 下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥3時，3an>n2. 事實上，當(dāng)n=3時，由前面的討論知結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時，3ak>k2成立，則由（2）知，ak+1=3ak>k2,從而 3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0, 所以3ak+1>(k+1)2. 故當(dāng)n≥3時，3an>n2成立. 于是由（2）知，當(dāng)n≥3時,an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3. 綜上所述，當(dāng)a=0時，a

19、1=0,a2=1, an=4×3n-3(n≥3). (II)存在a，使數(shù)列{an}是等比數(shù)列. 事實上，由（2）知，若對任意的n，都有3an>n2,則an+1=3an.即數(shù)列{an}是首項為a，公比為3的等比數(shù)列，且an=a·3n-1. 而要使3an>n2,即a·3n>n2對一切n 記bn= 令y= 在[2,+∞上單調(diào)遞減.故當(dāng)n≥時，數(shù)列{bn}單調(diào)遞減，即數(shù)列{bn}中最大項為b2= 當(dāng)a= 當(dāng) 當(dāng)a= 當(dāng)a< 綜上所述，存在a，使數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a的取值范圍是( 【方法技巧】處理復(fù)雜函數(shù)的常用步驟：求導(dǎo)數(shù)，解方程，列表，求函數(shù)在關(guān)鍵點的極限，做出圖象，按要求解題。證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，要使一個數(shù)列是等比數(shù)列，判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列常用的方法有：定義法，前三項再檢驗法等.