2010年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)30幾何證明選講

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1、考點(diǎn)30 幾何證明選講 1．（2010·陜西高考理科·Ｔ１5）如圖,已知的兩條直角邊AC,BC 的長(zhǎng)分別為3cm,4cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D, 則 . 【命題立意】本題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題 【思路點(diǎn)撥】條件結(jié)論 【規(guī)范解答】因?yàn)橐訟C為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,所以 ， 【答案】 2．（2010·陜西高考文科·Ｔ１5）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝ cm. 【命題立意】本題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題 【

2、思路點(diǎn)撥】條件 【規(guī)范解答】因?yàn)橐訟C為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,所以 ， 【答案】 3．（2010·北京高考理科·Ｔ１2）如圖，的弦ED，CB的延長(zhǎng)線 交于點(diǎn)A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3, 則DE＝ ；CE＝ 。 【命題立意】本題考查幾何證明的知識(shí)。 運(yùn)用割線定理是解決本題的突破口。 【思路點(diǎn)撥】本題可由相交弦定理求出DE，再利用三個(gè)直角三角形 中求CE。 【規(guī)范解答】由割線定理得，，即，得。。連接BE，因?yàn)?，所以BE為直徑，所以。在中，。 在中。在中，。 【答案】5 2 4．（2010·天津高考文

3、科·Ｔ１1）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P。若PB=1，PD=3，則的值為 。 【命題立意】考查三角形的相似性質(zhì)的應(yīng)用。 【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化。 【規(guī)范解答】由題意可知∽相似， 所以。 【答案】 5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P，若,則的值為 【命題立意】考查三角形的相似性質(zhì)的應(yīng)用。 【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 【規(guī)范解答】由題意可知∽相似， 所以,由及已知條件 可得,又,。 【答案】 6．（2010·廣東高考

4、文科·Ｔ14）如圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，則EF= . 【命題立意】本題主要考察平面幾何中直角梯形以及三角形中位線的性質(zhì). 【思路點(diǎn)撥】利用直角梯形的性質(zhì)，求出，再利用三角形中位線的性質(zhì)，求出 【規(guī)范解答】過連接，則四邊形為矩形，所以且 ，所以， , , 所以是以為底的等腰三角形，即：=，又點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以 【答案】 7. （2010·廣東高考理科·Ｔ14）如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點(diǎn)P，PD=，∠OAP=

5、30°，則CP＝______. ? 【命題立意】本題考察垂徑定理及相交弦定理. 【思路點(diǎn)撥】由垂徑定理得，算出，再由相交弦定理求出 【規(guī)范解答】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，由垂徑定理得，在中，，由相交弦定理得：，即， 解得 【答案】 8.（2010·江蘇高考·Ｔ2１）AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若DA=DC，求證：AB=2BC。 【命題立意】本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證能力。 【思路點(diǎn)撥】利用圓心角和圓周角之間的關(guān)系證明OB=BC=OD=O即可. 【規(guī)范解答】方法一：連結(jié)OD，則：OD⊥DC， 又OA=OD，DA=DC

6、，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600， 所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 方法二：連結(jié)OD、BD。 因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因?yàn)镈C 是圓O的切線，所以∠CDO=900。 又因?yàn)镈A=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。 9．（2010·遼寧高考理科·Ｔ22）如圖，的角平分線AD 的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E （I）證明： （

7、II）若的面積，求的大小。 【命題立意】本題考查了幾何證明，相似三角形判定和性質(zhì)，圓周角定理，考查了三角形的面積公式等。 【思路點(diǎn)撥】（I）先相等的兩角，再證相似。 （II）先由三角形相似，得到AB·AC=AD·AE再比較三角形的面積公式，得到sin∠BAC,進(jìn)而求出∠BAC。 【規(guī)范解答】 所以△ABE∽△ADC （II）因?yàn)椤鰽BE∽△ADC 10. （2010 海南高考理科T22）如圖：已知圓上的弧， 過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于 E點(diǎn)，證明： （Ⅰ）=. （Ⅱ）=. 【命題立意】本題主要考查了圓的切線、等弧所對(duì)的圓心

8、角相等等知識(shí). 【思路點(diǎn)撥】熟練利用等弧所對(duì)的圓心角相等，判斷出三角形相似，然后證明問題. 【規(guī)范解答】（Ⅰ）因?yàn)?所以. 又因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，故 所以. （Ⅱ）因?yàn)?, 所以,故. 即 . 11．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如圖1所示，過外一點(diǎn)P作一條直線與交于A,B兩點(diǎn)。已知PA=2，點(diǎn)P到的切線上PT=4，則弦的長(zhǎng)為 。 【命題立意】以直線和圓立意，考查處理平面問題的一種方法：平面幾何法. 【思路點(diǎn)撥】割切→切割線定理 【規(guī)范解答】∵PT=4，PA=2，PT2=PA·PB，∴PB=8，∴AB=PB-PA=6，∴弦長(zhǎng)AB=6 【答案】6 【方法技巧】弦→連接弦中點(diǎn)和圓心，切→連接切點(diǎn)和圓心，聯(lián)想弦切角等于同弧所對(duì)的圓周角，割→切割線定理.