2014屆高考數(shù)學一輪 知識點各個擊破 第八章 第六節(jié) 雙曲線追蹤訓練 文 新人教A版

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1、第八章 第六節(jié) 雙曲線 一、選擇題 1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示雙曲線”的 (　　) A．必要但不充分條件　　　　 B．充分但不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線的方程為 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．設圓錐曲線F的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2.若曲

2、線F上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線F的離心率等于 (　　) A.或 B.或2 C.或2 D.或 4．已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則 · 的最小值為 (　　) A．－2 B．－ C．1 D．0 5．設橢圓＋＝1和雙曲線－x2＝1的公共焦點分別為F1、F2，P為這兩條曲線的一個交點，則cos∠F1PF2的值為

3、 (　　) A. B. C. D．－ 6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，過其右焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線交于M，N兩點，O為坐標原點，若OM⊥ON，則雙曲線的離心率為 (　　) A. B. C. D. 二、填空題 7．若雙曲線－＝1的離心率e＝2，則m＝________. 8．已知雙曲線kx2－y2＝1(k>0)的一條漸近線與直線2x＋y＋1＝0垂直，那么雙曲線的離心率為________；漸近線方程為____________． 9．P為雙曲線x2－＝1

4、右支上一點，M、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為________． 三、解答題 10．已知雙曲線關于兩坐標軸對稱，且與圓x2＋y2＝10相交于點P(3，－1)，若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程． 11．雙曲線－＝1(a＞1，b＞0)的焦距為2c，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0)到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍． 12．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為

5、，且過點P(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證： · ＝0； (3)求△F1MF2的面積． 詳解答案 一、選擇題 1．解析：若ax2＋by2＝c表示雙曲線，即＋＝1表示雙曲線，則<0，這就是說“ab<0”是必要條件，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分條件． 答案：A 2．解析：不妨設頂點(a,0)到直線x－3y＝0的距離為1，即＝1，解得a＝2.又＝，所以b＝，所以雙曲線的方程為－＝1. 答案：A 3．解析：設圓錐曲線的離心率為e，因|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則①

6、若圓錐曲線為橢圓，由橢圓的定義，則有e＝＝＝；②若圓錐曲線為雙曲線，由雙曲線的定義，則有e＝＝＝；綜上，所求的離心率為或. 答案：A 4．解析：設點P(x，y)，其中x≥1.依題意得A1(－1,0)、F2(2,0)，則有＝x2－1，y2＝ 3(x2－1)， · ＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋ 3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，當x＝1時， · 取得最小值－2. 答案：A 5．解析：由題意可知m－2＝3＋1，解得m＝6. 法一：由橢圓與雙曲線的對稱性，不妨設點P為第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1(0，－2)，F(xiàn)

7、2(0,2)，聯(lián)立＋＝1與－x2＝1組成方程組，解得P(，)．所以由兩點距離公式計算得|PF1|＝＋，|PF2|＝－. 又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝. 法二：由橢圓與雙曲線的對稱性，不妨設點P為第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1(0，－2)．F2(0,2)，由題意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，|F1F2|＝4，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝ －，同上由余弦定理可得cos∠F1PF2＝. 答案：B 6．解析：由題意知，可設M(c，y0)(y>0)． 則－＝1， ∴y0＝. 又∵OM⊥ON， ∴＝c，即b2＝ac. ∴c2－a2

8、－ac＝0 ∴e2－e－1＝0 ∴e＝＝ 又∵e>1， ∴e＝. 答案：D 二、填空題 7．解析：由題知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，則m＝c2－a2＝48. 答案：48 8．解析：雙曲線kx2－y2＝1的漸近線方程是y＝±x.∵雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＋1＝0垂直，∴＝，k＝，∴雙曲線的離心率為 e＝＝，漸近線方程為x±y＝0. 答案：　x±y＝0 9．解析：雙曲線的兩個焦點為F1(－4,0)、F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最

9、大值為(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5. 答案：5 三、解答題 10．解：切點為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線方程是3x－y＝10. ∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關于兩坐標軸對稱， ∴兩漸近線方程為3x±y＝0. 設所求雙曲線方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵點P(3，－1)在雙曲線上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的雙曲線方程為－＝1. 11．解：直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 由點到直線的距離公式，且a＞1，得到點(1,0)到直線l的距離d1＝， 同理得到點(－1,0)到直線l的距離d2

10、＝. ∴s＝d1＋d2＝＝. 由s≥c，得≥c，即5a≥2c2. 于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0. 解不等式，得≤e2≤5. 由于e＞1，∴e的取值范圍是[，]． 12．解：(1)∵e＝，∴可設雙曲線方程為x2－y2＝λ. ∵過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)法一：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝， ∴c＝2， ∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， k MF1·kMF2＝＝－. ∵點(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故k MF1·k MF2＝－1，∴MF1⊥MF2. ∴ ·＝0. 法二：∵ ＝(－3－2，－m)， ＝(2－3，－m)， ∴ ·＝(3＋2)×(3－2)＋m2 ＝－3＋m2， ∵M點在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴·＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4， △F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.