（福建專用）2013年高考數學總復習 第七章第6課時 橢圓課時闖關（含解析）

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1、 （福建專用）2013年高考數學總復習 第七章第6課時 橢圓課時闖關（含解析） 一、選擇題 1．(2012·廈門調研)橢圓＋＝1的右焦點到直線y＝x的距離是(　　) A. B. C．1 D. 解析：選B.右焦點F(1,0)，∴d＝.選B. 2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為(　　) A．(－3,0) B．(－4,0) C．(－10,0) D．(－5,0) 解析：選D.∵圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝1， ∴圓心坐標為(3,0)，∴c＝3，又b＝4， ∴a＝＝5.∵橢圓的

2、焦點在x軸上， ∴橢圓的左頂點為(－5,0)． 3．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點M在該橢圓上，且·＝0，則點M到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.設M(x，y)，由·＝0， ∴x2＋y2＝c2＝3，又＋y2＝1，解得y2＝，故選C. 4．在一橢圓中以焦點F1、F2為直徑兩端點的圓，恰好過短軸的兩端點，則此橢圓的離心率e等于(　　) A. B. C. D. 解析：選B.∵以橢圓焦點F1、F2為直徑兩端點的圓，恰好過短軸的兩端點，∴橢圓滿足b＝c，∴e＝＝，將b＝c代入可得e＝. 5．(2012·南平質檢)已知F1

3、、F2為橢圓＋＝1的左、右焦點，若M為橢圓上一點，且△MF1F2的內切圓的周長等于3π，則滿足條件的點M的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：選C.△MF1F2的內切圓的周長等于3π，故半徑為， 所以△MF1F2面積為(2a＋2c)r＝12＝·2c|yM|. yM＝±4.故選C. 二、填空題 6．橢圓的兩個焦點為F1、F2，短軸的一個端點為A，且△F1AF2是頂角為120°的等腰三角形，則此橢圓的離心率為________． 解析：由已知得∠AF1F2＝30°，故cos30°＝，從而e＝. 答案： 7．已知平面內兩定點A(0,1)，B(0，－1)，動

4、點M到兩定點A、B的距離之和為4，則動點M的軌跡方程是________． 解析：由橢圓的定義知，動點M的軌跡是焦點在y軸上的橢圓，且c＝1,2a＝4， ∴a＝2，b＝＝. ∴橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 8．(2012·福州質檢)設F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點距離為________． 解析：|OM|＝3，|PF2|＝6，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4. 答案：4 三、解答題 9．橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1(－c,0)、F2(c,0)，M是橢圓上一點，滿足·＝0.求

5、離心率e的取值范圍． 解：設點M的坐標為(x，y)，則＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)．由·＝0， 得x2－c2＋y2＝0，即y2＝c2－x2.① 又由點M在橢圓上得y2＝b2(1－)， 代入①得b2(1－)＝c2－x2， 所以x2＝a2(2－)， ∵0≤x2≤a2，∴0≤a2(2－)≤a2， 即0≤2－≤1,0≤2－≤1， 解得≤e≤1，又∵0

6、2＋y2＝1上，求m的值. 解：(1) 由題意，得解得 ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)設點A、B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)， 由消y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0， Δ＝96－8m2＞0，∴－2＜m＜2. ∴x0＝＝－，y0＝x0＋m＝. ∵點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上， ∴2＋2＝1，∴m＝±. 一、選擇題 1．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足·＝0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(0，] C．(0，) D．[，1) 解析：選C.設橢圓的

7、半長軸、半短軸、半焦距分別為a、b、c， ∵·＝0， ∴M點的軌跡是以原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓． 又M點總在橢圓內部， ∴該圓內含于橢圓，即c＜b，c2＜b2＝a2－c2. ∴e2＝＜，∴0＜e＜.選C. 2.(2012·三明調研)如圖，A、B、C分別為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的頂點與焦點，若∠ABC＝90°，則該橢圓的離心率為(　　) A. B．1－ C.－1 D. 解析：選A.|AB|2＝a2＋b2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋c)2.∵∠ABC＝90°，∴|AC|2＝|AB|2＋|BC|2， 即(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2， ∴2a

8、c＝2b2，即b2＝ac. ∴a2－c2＝ac.∴－＝1. 即－e＝1，解之得e＝. 又∵e＞0，∴e＝.選A. 二、填空題 3.如圖，Rt△ABC中，AB＝AC＝1，以點C為一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一個焦點在AB邊上，且這個橢圓過A、B兩點，則這個橢圓的焦距長為________． 解析：設另一焦點為D，則由定義可知AC＋AD＝2a，AC＋AB＋BC＝4a. 又∵AC＝1，∴BC＝，∴a＝＋.∴AD＝.在Rt△ACD中焦距CD＝. 答案： 4．(2011·高考江西卷)若橢圓＋＝1的焦點在x軸上，過點M作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓的

9、右焦點和上頂點，則橢圓方程是________． 解析：AM垂直O(jiān)A, BM垂直O(jiān)B，所以AB在以OM為直徑圓上，即2＋2＝ 又A、B在已知圓x2＋y2＝1上，所以直線AB方程2x＋y＝2，依題意，c＝1，b＝2，則橢圓方程是＋＝1 答案：＋＝1 三、解答題 5．已知橢圓＋＝1(常數m、n∈R＋，且m＞n)的左右焦點分別為F1，F2，M、N為短軸的兩個端點，且四邊形F1MF2N是邊長為2的正方形． (1)求橢圓方程； (2)過原點且斜率分別為k和－k(k≥2)的兩條直線與橢圓＋＝1的交點為A、B、C、D(按逆時針順序排列，且點A位于第一象限內)，求四邊形ABCD的面積S的最大值．

10、 解：(1)依題意：，∴， 所求橢圓方程為＋＝1. (2)設A(x，y)，由得A. 根據題設直線圖象與橢圓的對稱性， 知S＝4××＝(k≥2)． ∴S＝(k≥2)． 設M(k)＝2k＋，則M′(k)＝2－， 當k≥2時，M′(k)＝2－＞0， ∴M(k)在k∈(2，＋∞)是時單調遞增， ∴[M(k)]min＝M(2)＝， ∴當k≥2時，Smax＝＝. 6．(2012·廈門質檢)已知B(－1,1)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點，且點B到橢圓的兩個焦點距離之和為4. (1)求橢圓方程； (2)設A為橢圓的左頂點，直線AB交y軸于點C，過C作直線l交橢圓于D、E兩點，問：是否存在直線l，使得△CBD與△CAE的面積之比為1∶7.若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解：(1)由已知得：?， 即橢圓方程為＋＝1. (2)由A(－2,0)、B(－1,1)有l(wèi)AB：y＝x＋2，∴C(0,2)． 設D(x1，y1)，E(x2，y2)，因為x1＝x2不合題意，故可設l：y＝kx＋2， 代入x2＋3y2＝4得：(3k2＋1)x2＋12kx＋8＝0(*) . 又＝＝. 而＝，∴＝， 從而x1＝x2　　　(3)． 結合(1)(2)(3)三式，得k＝±3，均滿足(*)式的Δ＞0. 即：l：y＝±3x＋2.