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1、集合與函數(shù)概念
一、集合的基本概念與運(yùn)算
(一)元素與集合
1.集合的定義
一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素。把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集)。通常用大寫字母A，B，C，D，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示元素。
2.集合中元素的特征
(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了。例如，“中國的直轄市”構(gòu)成一個(gè)集合，北京、上海、天津、重慶在這個(gè)集合中，杭州、南京、廣州……不在這個(gè)集合中?！吧聿妮^高的人”不能構(gòu)成集合；因?yàn)榻M成它的元素是不確定的。
(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的
2、(或說是互異的)，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。相同元素、重復(fù)元素，不論多少，只能算作該集合的一個(gè)元素。
(3)無序性：在一個(gè)集合中，不考慮元素之間的順序只要元素完全相同，就認(rèn)為是同一個(gè)集合。
3、集合相等
只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的。
4、元素與集合的關(guān)系
如果a是集合A的元素，就是說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作aA。
5、常見的數(shù)集及記法
全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；
所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集（在自然數(shù)集中排除0的集合），記作N*或N+；
全
3、體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；
全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；
全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R。
拓展與提示：（1）無序性常常作為計(jì)算時(shí)驗(yàn)證的重要依據(jù)。
（2）注意N與N*的區(qū)別。N*為正整數(shù)集，而N為非負(fù)整數(shù)集，即0∈N但0 N*。
（3）集合的分類
按元素個(gè)數(shù)
按元素的特征可分為：數(shù)集，點(diǎn)集，形集等等。
特別地，至少有一個(gè)元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集（），只含有一個(gè)元素的集合叫做單元素集。
例 已知
解析?、? ?、?
解①得x=y=1這與集合中元素的互異性相矛盾。
解②得x
4、= -1或1(舍去)
這時(shí)y=0
∴x= -1，y=0
6、集合的表示方法
(1)列舉法：把集合中的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“”括起來表示集合的方法叫做列舉法。
適用條件：有限集或有規(guī)律的無限集
形式：
(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法，具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍；再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。
適用條件：一般適合于無限集，有時(shí)也可以是有限集。
形式：，其中x為元素，p(x)表示特征。
拓展與提示：如果集合中的元素的范圍已經(jīng)很明確，那么x∈D可以省略，只寫其元素
5、x，如可以表示為。
(3)韋恩圖法：把集合中的元素寫在一條封閉曲線(圓、橢圓、矩形等)內(nèi)。
例 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并指出它是有限集還是無限集： (1)由所有非負(fù)奇數(shù)組成的集合；
(2)由所有小于10既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；
(3)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點(diǎn)組成的集合；
(4)方程x2+x+1=0的實(shí)數(shù)根組成的集合。
解析 (1)由所有非負(fù)奇數(shù)組成的集合可表示為：
，A是無限集。
(2)滿足條件的數(shù)有3，5，7，所以所求集合為：，集合 B是有限集。
(3)所求集合可表示為：，集合C是無限集。
(4)因?yàn)榉匠蘹2+x+1=0
6、的判別式的Δ<0，故無實(shí)數(shù)，所以方程x2+x+1=0的實(shí)根組成的集合是空集。
(二)集合的基本關(guān)系
1、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)無素都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作，讀作“A含于B”(或“B包含A”)。
數(shù)學(xué)表述法可簡(jiǎn)述為：若，則集合A是集合B的子集。(如圖)
2、集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B。數(shù)學(xué)表述法可描述為：對(duì)于集合A、B，若，且，則集合A、B相等。
3、真子集：若集合，且A≠B，則集合
7、A是集合B的真子集。
(1) 。(2) B(其中B為非空集合)。(3)對(duì)于集合A，B，C，若。(4)對(duì)于集合A，B，若。(6)含n元素的集合的全部子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)，真子集有2n-1個(gè)，非空子集有2n-1個(gè)，非空真子集有2n-2個(gè)。(7)是不同的，前者為包含關(guān)系，后者為屬于關(guān)系。
4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（三）集合間的基本運(yùn)算
1、并集
一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作 (讀作“A并B”)，即
可用Venn圖表示為
8、
拓展與提示：對(duì)于任意集合A、B，有(1)(2);
(3);(4)。
2、交集
一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作(讀作“A交B”)，即。
拓展與提示：對(duì)于任意集合A、B，有(1) (2)；
(3)；(4)；(5)。
可用Venn圖表示為
3、全集與補(bǔ)集
(1)全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U。
(2)補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作。
拓展
9、與提示：(1)A∩=，A∪，=U；（2）=，=，=U；
(3) =，=。
(4)下圖中的①~④分別表示為
①A∩， ②∩B ， ③A∩B ， ④
例 設(shè)集合，若A∩B=，求A∪B。
解析 由A∩B=得，9∈A。
∴x2=9或2x-1=9
①由x2=9得，x=±3。當(dāng)x=3時(shí)，，與元素的互異性矛盾。
當(dāng)x=-3時(shí)，，此時(shí)，
②由2x-1=9得x=5.
當(dāng)x=5時(shí)，，此時(shí)，，與題設(shè)矛盾。
綜上所述，
4、集合中元素的個(gè)數(shù)：（不做要求）
在研究集合時(shí)，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素的個(gè)數(shù)問題，我們把含有限個(gè)元素的集合A叫做
10、有限集，用card來表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)。例如：.
一般地，對(duì)任意兩個(gè)有限集A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
當(dāng)時(shí)僅當(dāng)A∩B=時(shí)，card(A∪B)=card(A)+card(B).
解與集合中元素個(gè)數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，常用venn圖。
例 學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運(yùn)動(dòng)會(huì)，這個(gè)班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的有3人，兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班共有多少名同學(xué)參賽？
解析 設(shè)，，那么
，
Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
=8+12-3=17
答：兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班共有17名同學(xué)參賽
2013年高考數(shù)學(xué) 回歸基礎(chǔ)知識(shí) 一、集合的基本概念與運(yùn)算
