2014屆高考數(shù)學(xué)一輪 知識(shí)點(diǎn)各個(gè)擊破 第八章 第五節(jié) 橢圓追蹤訓(xùn)練 文 新人教A版

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1、第八章 第五節(jié) 橢圓 一、選擇題 1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)度為 (　　) A．6　　　　　　　　　　　 B．5 C．4 D．3 2．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (　　) A．至多一個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè)

2、D．0個(gè) 3．已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則 (　　) A．a(chǎn)2＝ B．a(chǎn)2＝13 C．b2＝ D．b2＝2 4．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在該橢圓上，且 · ＝0，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B. C. D. 5．方程為＋＝1(a>b>0

3、)的橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，D是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，若3 ＝ ＋2 ，則該橢圓的離心率為 (　　) A. B. C. D. 6．已知橢圓E：＋＝1，對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，下列直線被橢圓E截得的弦長(zhǎng)與l：y＝kx＋1被橢圓E截得的弦長(zhǎng)不可能相等的是 (　　) A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0 C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0 二、填空題 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，上頂

4、點(diǎn)為B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，則橢圓的離心率是________． 8．設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________． 9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若 ＝5 ，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________． 三、解答題 10．設(shè)橢圓C∶＋＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,4)，離心率為. (1)求C的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)． 11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓＋＝1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原

5、點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C.連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線PA的斜率為k. (1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值； (2)當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d； (3)對(duì)任意的k>0，求證：PA⊥PB. 12．已知橢圓G∶＋y2＝1.過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)． (1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； (2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值． 詳解答案 一、選擇題 1．解析：根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長(zhǎng)為4a＝1

6、6，故所求的第三邊的長(zhǎng)度為16－10＝6. 答案：A 2．解析：∵直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)， ∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋＝1－m2<1，∴點(diǎn)(m，n)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，∴過(guò)點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)． 答案：B 3．解析：如圖所示 設(shè)直線AB與橢圓C1的一個(gè)交點(diǎn)為C(靠近A的交點(diǎn))，則|OC|＝， 因tan∠COx＝2， ∴sin∠COx＝，cos∠COx＝， 則C的坐標(biāo)為(，)，代入橢圓方程得＋＝1，∵5＝a2－b2，∴b2＝. 答案：C 4．解析：由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．設(shè)M(x，y)，則 · ＝

7、 (－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3 ①.又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，故＋y2＝1，即y2＝1－ ②.將②代入 ①，得x2＝2，解得x＝±.故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為. 答案：B 5．解析：設(shè)點(diǎn)D(0，b), 則 ＝(－c，－b)， ＝(－a，－b)， ＝(c，－b)，由3 ＝ ＋2 得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝. 答案：D 6．解析：A選項(xiàng)中，當(dāng)k＝－1時(shí)，兩直線關(guān)于y軸對(duì)稱，兩直線被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相等；B選項(xiàng)中，當(dāng)k＝1時(shí)，兩直線平行，兩直線被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相等；C選項(xiàng)中，當(dāng)k＝1時(shí)，兩直線關(guān)于y軸對(duì)稱，兩直線被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相等． 答案：D 二、填

8、空題 7．解析：∵∠BAO＋∠BFO＝90°， ∴∠BAO＝∠FBO. ∴＝. 即OB2＝OA·OF， ∴b2＝ac. ∴a2－c2－ac＝0. ∴e2＋e－1＝0. ∴e＝＝. 又∵0

9、5 ，∴c＝，d＝.∵點(diǎn)A、B都在橢圓上，∴＋n2＝1，＋()2＝1.解得m＝0，n＝±1，故點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，±1)． 答案：(0，±1) 三、解答題 10．解：(1)將(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4， 由e＝＝得＝， 即1－＝，∴a＝5， ∴C的方程為＋＝1. (2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為 y ＝(x－3)，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得 x1＝，x2＝， ∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)＝＝， ＝＝(x1＋x2－6)＝－， 即中點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)． 解：由題設(shè)知，a＝

10、2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－)． 由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k＝＝. (2)直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得＋＝1，解得x＝±，因此P(，)，A(－，－)．于是C(，0)，直線AC的斜率為＝1，故直線AB的方程為x－y－＝0. 因此，d＝＝. (3)證明：法一：將直線PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±記μ＝，則P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)． 故直線AB的斜率為＝， 其方程為y＝(x－μ), 代入橢圓方程并由μ＝得(2＋k2)x2－2μk2x－μ

11、2(3k2＋2)＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B(，)． 于是直線PB的斜率k1＝＝＝－. 因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. 法二：設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1，k2.因?yàn)镃在直線AB上，所以k2＝＝＝. 從而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0. 因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. 12．解：(1)由已知得a＝2，b＝1， 所以c＝＝. 所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0)， 離心率為e＝＝. (2)由題意知，|m|≥1. 當(dāng)m＝1時(shí)

12、，切線l的方程為x＝1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1，)，(1，－)，此時(shí)|AB|＝. 當(dāng)m＝－1時(shí)，同理可得|AB|＝. 當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y＝k(x－m)． 由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝. 又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1， 即m2k2＝k2＋1. 所以|AB|＝ ＝ ＝＝. 由于當(dāng)m＝±1時(shí)，|AB|＝， 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因?yàn)閨AB|＝＝≤2， 且當(dāng)m＝±時(shí)，|AB|＝2， 所以|AB|的最大值為2.