2010年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)18空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積

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1、考點(diǎn)18 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、 空間幾何體的表面積與體積 1.（2010·陜西高考理科·Ｔ7）若某空間幾何體的三視圖如圖所示， 則該幾何體的體積是（ ） (A) (B) (C) 1 (D) 2 【命題立意】本題考查三視圖的概念及空間想象能力，屬中等題。 【思路點(diǎn)撥】三視圖幾何體是直三棱柱該幾何體的體積 【規(guī)范解答】選C 由該幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，且棱柱的底面是兩直角邊長(zhǎng)分別為和1的直角三角形，棱柱的高為，所以該幾何體的體積 2.（2010·遼寧高考文科·Ｔ11）已知SABC是

2、球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1 BC=,則球O的表面積等于（ ） （A）4 (B）3 (C)2 (D) 【命題立意】本題考查了空間是兩點(diǎn)間距離公式和球的表面積公式。 【思路點(diǎn)撥】 建立空間坐標(biāo)系 球心坐標(biāo) 球的半徑 球的表面積 【規(guī)范解答】選A。平面ABC，AB，AC平面ABC，，， 故可以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為軸，AS所在的直線為軸建立如圖所示的空間直 角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則,,,,設(shè)球心O 坐標(biāo)為，則點(diǎn)O到各頂點(diǎn)SABC的距離相等，都等于球的半徑R。 ， 解得， 球的表面積為。故選A。 【方法技巧】1

3、、選用球心到各頂點(diǎn)的距離都相等來(lái)確定球心，才能求出半徑， 2、也可用另外的方法找到球心，因?yàn)椤螦BC是直角，所以AC是過(guò)A、B、C三點(diǎn)的小圓的直徑，所以球心在過(guò)AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因?yàn)榍蛐牡近c(diǎn)SAC的距離都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜邊SC的中點(diǎn)，球的半徑為SC的一半， 3、再一種方法是將三棱錐S-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體。 3.（2010·遼寧高考理科·Ｔ12）有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是（ ） (A)（0,） (B)（1,）

4、(C) (,） (D) （0,） 【命題立意】以三棱錐為背景考查三角形中的三邊關(guān)系考查空間想象能力和運(yùn)算能力。 【思路點(diǎn)撥】分兩種情況，一種是邊長(zhǎng)為a的棱在一個(gè)三角形中，另一種情況時(shí)長(zhǎng)度為a的棱不在一個(gè)三角形中，分別討論。 【規(guī)范解答】選A 對(duì)于第一種情況，取BC的中點(diǎn)D連結(jié)PD、AD，則在三角形PAD中， 有 對(duì)于第二種情況同理可以得到 綜合兩種情況，及，所以a的取值范圍是（0,）。 4.（2010·安徽高考理科·Ｔ8）一個(gè)幾何體的三視圖如圖， 該幾何體的表面積為（ ） A、280 B、292 C、360 D、372 【命題立意】本題主要考查

5、三視圖知識(shí)，考查考生的空間想 象能力． 【思路點(diǎn)撥】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖，進(jìn)而運(yùn)算求解。 【規(guī)范解答】選 C，由幾何體的三視圖可知，該幾何體由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合而成，其表面積等于下面長(zhǎng)方體的全面積加上面長(zhǎng)方體的4個(gè)側(cè)面積之和。其中下面的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為8、10、2, 上面的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6、2、8,所以該幾何體的表面積為 ，故C正確。 【方法技巧】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決此題的關(guān)鍵。由三視圖很容易知道是兩個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，畫(huà)出直觀圖，得出各個(gè)棱的長(zhǎng)度，把幾何體的表面積轉(zhuǎn)化為下面長(zhǎng)方體的全面積加上面長(zhǎng)方體的4個(gè)側(cè)面積之和。 5.（2010·浙江高考文科·Ｔ8）若某幾何

6、體的三視圖 （單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（ ） （A）cm3 （B）cm3 （C）cm3 （D）cm3 【命題立意】本題主要考察了對(duì)三視圖所表達(dá)示的空間幾何體的 識(shí)別以及幾何體體積的計(jì)算，屬容易題。 【思路點(diǎn)撥】解答本題要先由三視圖，想象出直觀圖，再求體積。 【規(guī)范解答】選B。此幾何體上方為正四棱柱、下方為正四棱錐。所以其體積為 。 【方法技巧】對(duì)于不規(guī)則幾何體求體積時(shí)可分幾部分規(guī)則的幾何體，再求體積和。 6.（2010·北京高考理科·Ｔ3）一個(gè)長(zhǎng)方體 去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正（主）視

7、 圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何 體的俯視圖為（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題考查三視圖知識(shí)，考查同學(xué)們的空間想象能力。 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合正、側(cè)視圖，想象直觀圖。 【規(guī)范解答】選C。由主、左視圖可知直觀圖如圖所示： 因此，俯視圖是（C）。 7.（2010·北京高考理科·Ｔ8）如圖，正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），則四面體PEＦＱ的體積（ ） （Ａ）與ｘ，ｙ，ｚ都有關(guān) （Ｂ）與ｘ有關(guān)，與ｙ，ｚ無(wú)關(guān) （Ｃ）與ｙ有關(guān)，與ｘ

8、，ｚ無(wú)關(guān) （Ｄ）與ｚ有關(guān)，與ｘ，ｙ無(wú)關(guān) 【命題立意】本題考查幾何體體積的求法，關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高?？疾榭臻g想象能力，運(yùn)算能力。 【思路點(diǎn)撥】把PEFQ的體積表示出來(lái)。由于中，，Q到EF的距離為側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)，故選擇為底面。點(diǎn)P到的距離，即是點(diǎn)P到對(duì)角面的距離。 【規(guī)范解答】選D。，點(diǎn)P到平面EFQ的距離為， 。因此體積只與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)。 8.（2010·北京高考文科·Ｔ8）如圖，正方體 的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上。點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在 棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的 體積：（ ） （A）與x，y都有關(guān)；

9、 （B）與x，y都無(wú)關(guān)； （C）與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)； （D）與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)； 【命題立意】本題考查幾何體體積的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高。 【思路點(diǎn)撥】把EFQ看作底面，點(diǎn)P到對(duì)角面的距離即為對(duì)應(yīng)的高。 【規(guī)范解答】選C。，點(diǎn)P到平面EFQ的距離為。 。 9.（2010 ·海南寧夏高考·理科T10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問(wèn)題. 【思路點(diǎn)撥】找出球與棱柱的相對(duì)關(guān)系

10、，找出球的半徑與三棱柱棱長(zhǎng)之間的關(guān)系. 【規(guī)范解答】選Ｂ.設(shè)球心為，設(shè)正三棱柱上底面為，中心為，因?yàn)槿庵欣獾拈L(zhǎng)都為，則可知 ，，又由球的相關(guān)性質(zhì)可知，球的半徑，所以球的表面積為，故選Ｂ. 1 1 1 10.（2010·福建高考文科·Ｔ3）若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于（ ） A. B.2 C. D.6 【命題立意】本題考查三棱柱的三視圖與直觀圖、表面積。 【思路點(diǎn)撥】把三視圖恢復(fù)成直觀圖，求出各個(gè)側(cè)面的側(cè)面積，進(jìn)為求出總的側(cè)面積。 【規(guī)范解答】選D，三棱柱的直觀圖如下：底面為邊長(zhǎng)2的正

11、三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為1的正三棱柱，。 11.（2010·廣東高考理科·Ｔ6）如圖1，△ ABC為三角形，//?//?, ?⊥平面ABC?且3== =AB,則多面體ABC -的正視圖（也稱(chēng)主視圖）是（ ） ABCD 【命題立意】本題考察三視圖的畫(huà)法。 【思路點(diǎn)撥】可由投影的方法得到。 【規(guī)范解答】選由//及3=可得四邊形的投影為梯形，再由3== =AB及底面為三角形可得正視圖為。 12.（2010 ·海南寧夏高考·理科T14）正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是 ．(寫(xiě)出三種) 【命題立意】本題主要考查空間幾何體的三視圖的相關(guān)知識(shí). 【思路點(diǎn)撥】一般來(lái)說(shuō)，椎體的正

12、視圖中才會(huì)出現(xiàn)三角形. 【規(guī)范解答】由幾何體的三視圖可知，正視圖為三角形的可以是三棱錐、圓錐、四棱錐等. 【答案】三棱錐、圓錐、四棱錐（不唯一） 13.（2010·天津高考文科·Ｔ１2）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示， 則這個(gè)幾何體的體積為 【命題立意】本題主要考查三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)，和柱體體積的計(jì)算，屬于容易題。 【思路點(diǎn)撥】由三視圖還原幾何體的形狀。 【規(guī)范解答】由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，則正視圖和俯視圖可知該幾何體的高為1，結(jié)合三個(gè)試圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何題的體積為 【答案】3 【方法技巧】根據(jù)三視圖還原幾何體實(shí)

13、物，要仔細(xì)分析和認(rèn)真觀察三視圖，進(jìn)行充分的空間想象，綜合三視圖的形狀，從不同的角度去還原，看圖和想圖是兩個(gè)重要的步驟，“想”與“看”中，形體分析的看圖方法是解決此類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)方法。 14.（2010·湖南高考文科·Ｔ13）圖2中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm2的幾何體的三視圖，則h= cm 【命題立意】考查空間想象能力和把三視圖等價(jià)轉(zhuǎn)化 為直觀圖的能力。 【思路點(diǎn)撥】三視圖→直觀圖，特別注意數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化 【規(guī)范解答】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中體會(huì)三視圖， 得到三視圖的直觀圖是三棱錐D1-DAC，D1D⊥DA， D1D⊥DC，且DC=5，DA=6，則V=

14、··DA·DC·h=20,∴h=4 【答案】4 【方法技巧】在把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時(shí)，常常利用長(zhǎng)方體為載體分析。常常注意三個(gè)方面：虛線和實(shí)線，面高和體高，垂直。 15.（2010·遼寧高考理科·Ｔ15）如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線畫(huà)出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為_(kāi)_____. 【命題立意】考查了幾何體的三視圖和幾何體中的簡(jiǎn)單計(jì)算。 【思路點(diǎn)撥】由三視圖做出該幾何體的直觀圖，判斷出最長(zhǎng)的棱，計(jì)算得出答案。 【規(guī)范解答】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，（如圖）底面ABCD是正方形，邊長(zhǎng)是2，，高PC＝2，，所以最長(zhǎng)的棱是PA，

15、長(zhǎng)為。 【答案】 16.（2010·浙江高考理科·Ｔ12）若某幾何體的三視圖（單位：cm） 如圖所示，則此幾何體的體積是___________. 【命題立意】本題考查三視圖、體積，考查空間想象能力、 運(yùn)算能力。 【思路點(diǎn)撥】先由三視圖想象出直觀圖，再分解求體積。 【規(guī)范解答】該幾何體的直觀圖：上面是一個(gè)正四棱柱 （底面邊長(zhǎng)4，高2），下面是一個(gè)四棱臺(tái)（上底面邊長(zhǎng)為4， 下底面邊長(zhǎng)為8，高為3）。因此， 其體積為：。 【答案】144 【方法技巧】（1）在由三視圖畫(huà)直觀圖時(shí)，要注意三視圖中的尺寸與直觀圖中尺寸間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）求復(fù)雜幾何體的體積一般先把它分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何

16、體，再分別求體積； 17.（2010·天津高考理科·Ｔ１2）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為 【命題立意】考查三視圖的概念及錐體的體積公式。 【思路點(diǎn)撥】由三視圖還原幾何體的形狀。 【規(guī)范解答】由三視圖可得該幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)高為1的正四棱錐，其底是邊長(zhǎng)為2的正方形，下面是一個(gè)長(zhǎng)為1、寬為1、高為2的長(zhǎng)方體，所以所求幾何體的體積為。 【答案】 【方法技巧】根據(jù)三視圖還原幾何體實(shí)物，要仔細(xì)分析和認(rèn)真觀察三視圖，進(jìn)行充分的空間想象，綜合三視圖的形狀，從不同的角度去還原，看圖和想圖是兩個(gè)重要的步驟，“想”與“看”中，形體分析的看圖方法

17、是解決此類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)方法。 1 1 1 18.（2010·福建高考理科·Ｔ12）若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的 正視圖如圖所示，則其表面積等于 。 【命題立意】本題主要考查三棱柱的三視圖與直觀圖、表面積。 【思路點(diǎn)撥】 把三視圖恢復(fù)稱(chēng)直觀圖，求出上下底面和各個(gè)側(cè) 面的側(cè)面積，進(jìn)為求出表面積。 【規(guī)范解答】三棱柱的直觀圖為底面為邊長(zhǎng)2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為1的正三棱柱，，， 。 【答案】 19．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）圖3中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20的幾何體的三視圖， 則 ． 【命題立意】考查空間想象能力和把三視圖等價(jià)轉(zhuǎn)化為直觀圖的能力. 【思路點(diǎn)撥】三視圖→直觀圖，特別注意數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化 【規(guī)范解答】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中體會(huì)三視圖，得到三視圖的直觀圖是三棱錐D1-DAC，D1D⊥DA， D1D⊥DC，且DC=5，DA=6，則V=··DA·DC·h=20,∴h=4 【答案】4 【方法技巧】在把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時(shí)，常常利用長(zhǎng)方體為載體分析.常常注意三個(gè)方面：虛線和實(shí)線，面高和體高，垂直.