（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第10課時 函數(shù)模型及其應(yīng)用課時闖關(guān)（含解析）

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1、 （福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第10課時 函數(shù)模型及其應(yīng)用課時闖關(guān)（含解析） 一、選擇題 1．《優(yōu)化方案》系列叢書第三年的銷量比第一年的銷量增長了44%，若每年的平均增長率相同(設(shè)為x)，則以下結(jié)論正確的是(　　) A．x＞22% B．x＜22% C．x＝22% D．x的大小由第一年的銷量確定 解析：選B.(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2＜0.22.故選B. 2．(2012·海口市調(diào)研)若一根蠟燭長20 cm，點(diǎn)燃后每小時燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為(　　) 解析：選B.根據(jù)題意得解析

2、式為h＝20－5t(0≤t≤4)，其圖象為B. 3．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是(　　) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cosx 解析：選B.通過檢驗(yàn)可知，y＝log2x較為接近． 4．某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前三年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后三年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時

3、間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是(　　) 解析：選A.依題意，前3年年產(chǎn)量增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A圖象符合要求． 5．(2012·福州質(zhì)檢)某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(　　) A．45.606萬元 B．45.6萬元 C．45.56萬元 D．45.51萬元 解析：選B.設(shè)甲地銷售x輛，則乙地銷售(15－x)輛，設(shè)總利潤為L(x)，則L(x)＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15

4、x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)．L(x)在[0,10.2]上遞增，在(10.2，＋∞)上遞減，所以當(dāng)x＝10時，L(x)最大，L(x)max＝45.6(萬元)． 二、填空題 6．司機(jī)酒后駕駛危害他人的安全，一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過________小時，才能開車．(精確到1小時) 解析：設(shè)x小時后，血液中的酒精含量不超過0.09 mg/mL，則有

5、0.3·x≤0.09，即x≤0.3，估算或取對數(shù)計算得5小時后，可以開車． 答案：5 7. 一水池有兩個進(jìn)水口，一個出水口，每水口的進(jìn)、出水速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開一個水口)． 給出以下3個論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水也不出水．則一定能確定正確的是________． 解析：由丙圖知0點(diǎn)到3點(diǎn)蓄水量為6，故應(yīng)兩個進(jìn)水口進(jìn)水，不出水，故①正確．由丙圖知3點(diǎn)到4點(diǎn)間1小時蓄水量少1個單位，故1個進(jìn)水1個出水，故②錯誤．由丙圖知4點(diǎn)到6點(diǎn)蓄水量不變，故可能不進(jìn)水也不出水或兩個進(jìn)水一個出水，故③錯誤

6、． 答案：① 8．某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過800元，不享受任何折扣，如果顧客購物總金額超過800元，則超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計計算. 可以享受折扣優(yōu)惠金額 折扣率 不超過500元的部分 5% 超過500元的部分 10% 某人在此商場購物總金額為x元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關(guān)于x的解析式為 y＝ 若y＝30元，則他購物實(shí)際所付金額為________元． 解析：若x＝1300元，則y＝5%(1 300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x＞1300.∴由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝135

7、0(元)． 答案：1350 三、解答題 9．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(t)與1 t產(chǎn)品的價格p(元/t)之間的關(guān)系為p＝24200－x2，且生產(chǎn)x t的成本為R(元)，其中R＝50000＋200x.問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？(利潤＝收入－成本) 解：每月生產(chǎn)x t時的利潤為， f(x)＝x－(50000＋200x) ＝－x3＋24000x－50000(x≥0)， 由f′(x)＝－x2＋24000＝0， 解得x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因f(x)在[0，＋∞)內(nèi)只有一個極值點(diǎn)x＝200且為極大值，故它就是最大值點(diǎn)，

8、且最大值為f(200)＝－×(200)3＋24000×200－50000＝3150000(元)． 故該廠每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大且最大利潤為3150000元． 10．金融風(fēng)暴對全球經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了影響，溫總理在廣東省調(diào)研時強(qiáng)調(diào)：在當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)形勢下，要大力扶持中小企業(yè)，使中小企業(yè)健康發(fā)展．為響應(yīng)這一精神，某地方政府決定扶持一民營企業(yè)加大對A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②(注：利潤與投資單位：萬元)． (1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式； (2)該企業(yè)已籌集到

9、10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元？(精確到1萬元) 解：(1)設(shè)投資為x萬元，A產(chǎn)品的利潤為f(x)萬元，B產(chǎn)品的利潤為g(x)萬元． 設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝k2. 由題圖①知f(1)＝，所以k1＝. 又由題圖②知，g(4)＝，所以k2＝. 從而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元， 則B產(chǎn)品投入(10－x)萬元，設(shè)企業(yè)利潤為y萬元． 則y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)． 令＝t， 則y＝＋t＝－2＋(0≤t≤10)． 當(dāng)t＝

10、時，ymax＝≈4.此時x＝10－＝3.75. 故當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元時，企業(yè)獲得的最大利潤約為4萬元． 一、選擇題 1．(2010·高考陜西卷)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)的最大整數(shù))可以表示為(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：選B.由題意，當(dāng)x＝17時，A選項(xiàng)錯誤，當(dāng)x ＝16時，＝2，＝2，所以C、D選項(xiàng)錯誤，故選B. 2.(2012·龍巖質(zhì)檢)如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足

11、夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a m(0

12、鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊的長x、y應(yīng)為________． 解析：依題意知：＝，即x＝(24－y)， ∴陰影部分的面積S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)， ∴當(dāng)y＝12時，S有最大值．此時x＝15. 答案：15、12 4．2011年我國多省市發(fā)生了重大地質(zhì)災(zāi)害，給當(dāng)?shù)厝罕妿砹撕艽蠼?jīng)濟(jì)損失．中華慈善總會為幫助災(zāi)區(qū)重建家園，準(zhǔn)備舉辦一場明星義演活動，預(yù)計賣出門票2.4萬張，票價為3元、5元和8元三種，且票價3元和5元的張數(shù)的積為0.6萬張．設(shè)x是門票的總收入，經(jīng)預(yù)算，扣除其他各

13、項(xiàng)開支后，慈善總會純收入函數(shù)為y＝lg 2x，則這三種門票分別為________張時，為災(zāi)區(qū)重建募捐純收入最多 解析：設(shè)3元、5元、8元門票的張數(shù)分別為a、b、c，則 　　 有x＝19.2－(5a＋3b)≤19.2－2＝13.2(萬元)， 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，解得a＝0.6，b＝1，此時c＝0.8. 由于y＝lg2x為增函數(shù)，即此時y也恰有最大值． 故三種門票的張數(shù)分別為0.6、1、0.8萬張時，募捐純收入最多． 答案：0.6、1、0.8 三、解答題 5．某地區(qū)的一種特色水果上市時間能持續(xù)5個月，預(yù)測上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格

14、連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝logqx＋p；③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p(以上三式中p、q均為常數(shù)，且q＞2)． (1)為準(zhǔn)確研究其價格走勢，應(yīng)選哪種價格模擬函數(shù)？ (2)若f(1)＝4，f(3)＝6，求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)的定義域是[1,6]．其中x＝1表示4月1日，x＝2表示5月1日，…，以此類推)； (3)為保證果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預(yù)測該水果在哪幾個月內(nèi)價格下跌． 解：(1)因?yàn)棰賔(x)＝p·qx是單調(diào)函數(shù)，②f(x)＝logqx＋p是單調(diào)函數(shù)，對于③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p

15、，f′(x)＝3x2－(4q＋2)x＋q2＋2q. 令f′(x)＝0，得x＝q或x＝，f(x)有兩個零點(diǎn)，可以出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間， 所以應(yīng)選f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p為其模擬函數(shù)． (2)由f(1)＝4，f(3)＝6，得， 解之得(其中q＝2舍去)， ∴f(x)＝(x－1)(x－4)2＋4 ＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤6)． (3)令f′(x)＝3x2－18x＋24＜0，解得2＜x＜4. ∴函數(shù)f(x)＝x3－9x2＋24x－12在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞減， ∴這種水果在5、6月份價格下跌． 6．(2012·福州一中月考)某食品公司為了解某種

16、新品種食品的市場需求，進(jìn)行了20天的測試，人為地調(diào)控每天產(chǎn)品的單價P(元/件)：前10天每天單價呈直線下降趨勢(第10天免費(fèi)贈送品嘗)，后10天呈直線上升，其中4天的單價記錄如下表： 時間(將第x天記錄x) 1 10 11 18 單價P(元/件) 9 0 1 8 而這20天相對的銷售量Q(百件/天)與x對應(yīng)的點(diǎn)(x，Q)在如圖所示的半圓上． (1)寫出每天銷售收入y(元)與時間x(天)的函數(shù)． (2)在這20天中哪一天銷售收入最高？每天銷售價P定為多少元為好？(結(jié)果精確到1元) 解：(1)P＝x∈N*， Q＝，x∈[1,20]，x∈N*，所以 y＝100QP＝100，x∈[1,20]，x∈N*. (2)因?yàn)?x－10)2[100－(x－10)2]≤ 2＝2500， 所以當(dāng)且僅當(dāng)(x－10)2＝100－(x－10)2， 即x＝10±5時，y有最大值．因?yàn)閤∈N*， 所以取x＝3或17時，ymax＝700≈4999(元)，此時，P＝7(元)． 即第3天或第17天銷售收入最高，此時應(yīng)將單價P定為7元為好．