2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(含解析)
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1、導(dǎo)數(shù) 2.(2012·山東高考卷·T9·5分)函數(shù)的圖像大致為 【答案】D 【解析】函數(shù),為奇函數(shù), 當(dāng),且時(shí);當(dāng),且時(shí); 當(dāng),,;當(dāng),,. 答案應(yīng)選D。 【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)特點(diǎn),結(jié)合圖象語言,考查了數(shù)形結(jié)合法的思想,函數(shù)圖象是考點(diǎn)中重要內(nèi)容,估計(jì)明年還會(huì)繼續(xù)考察。 5.( 2011年安徽) 函數(shù)在區(qū)間〔0,1〕上的圖像如圖所示,則m,n的值 可能是 (A) (B) y 0.5 1 x O 0.5 (C) (D) 【答案】B【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究
2、 函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查函數(shù)圖像,考查思維的綜合能力.難度大. 【解析】代入驗(yàn)證,當(dāng),,則 ,由可知,,結(jié) 合圖像可知函數(shù)應(yīng)在遞增,在遞減,即在取得最大值,由 ,知a存在.故選B. 7.(2011年福建)等于 A.1 B. C. D. 【答案】C 8.(2011年福建)對于函數(shù) (其中,),選取的一組值計(jì)算和,所得出的正確結(jié)果一定不可能是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 【答案】D
3、 9.(2011年福建)已知函數(shù),對于曲線上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,給出以下判斷: ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中,正確的判斷是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 10.(2011年福建)若關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 A.(-1,1) B.(-2,2) C
4、.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 【答案】C 13.(2011年廣東)函數(shù)的定義域是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 14.(2011年湖北)已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足 ,若,則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由條件,,即 ,由此解得,, 所以,,所以選B. 15.(2011年湖北)放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象成為衰變,假設(shè)在
5、放射性同位素銫137的衰變過程中,其含量(單位:太貝克)與時(shí)間(單位:年)滿足函數(shù)關(guān)系:,其中為時(shí)銫137的含量,已知時(shí),銫137的含量的變化率是(太貝克/年),則 A. 5太貝克 B. 太貝克 C. 太貝克 D. 150太貝克 【答案】D 【解析】因?yàn)椋瑒t,解得,所以,那么 (太貝克),所以選D. 16.(2011年湖南)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,所以 。 17.(2011年湖南)已知函數(shù)若有則的取值范圍為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
6、由題可知,,若有則,即,解得。 18.(2011年湖南)由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為( ) A. B.1 C. D. 【答案】D 【解析】由定積分知識(shí)可得,故選D。 19.(2011年湖南)設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn),則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為( ) A.1 B. C. D. 【答案】D 【解析】由題,不妨令,則,令解得,因時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),達(dá)到最小。即。 20.(2011年江西)若,則的定義域?yàn)? ) B. C. D. 【答案】C 【解析】 21.
7、(2011年江西)曲線在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為( ) A.1 B.2 C. D. 【答案】A 【解析】 22.(2011年江西)觀察下列各式:則,…,則的末兩位數(shù)字為( ) A.01 B.43 C.07 D.49 【答案】B 【解析】 23.(2011年江西)設(shè),則的解集為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】定義域?yàn)?,又由,解得或,所以的解? 24.(20
8、11年江西)觀察下列各式:,,,…,則的末四位數(shù)字為 A. 3125 B. 5625 C. 0625 D.8125 【答案】D 【解析】觀察可知當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時(shí),末三位為125;又,即為第1004個(gè)指數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng),應(yīng)該與第二個(gè)指數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)()末四位相同,∴的末四位數(shù)字為8125 25.(2012·江蘇高考卷·T5·4分)函數(shù)的定義域?yàn)? . 【答案】 【解析】根據(jù)題意得到 ,同時(shí),> ,解得,解得,又>,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?. 【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)基本性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和圖象的運(yùn)用.本題容易忽略>這個(gè)條件
9、,因此,要切實(shí)對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)有清晰的認(rèn)識(shí),在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起高度重視.本題屬于基本題,難度適中. 26.(2012·北京高考卷·T14·5分)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同時(shí)滿足條件: ①x∈R,f(x) <0或g(x) <0 ②x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) <0 則m的取值范圍是 [答案](-4,-2) [解析]根據(jù)g(x)= 2x -2<0,可解的x<1.由于x∈R,f(x) <0或g(x) <0成立,導(dǎo)致f(x)在x≥1時(shí),必須是f(x
10、)<0的,因此f(x)的開口必須向下,m<0,且此時(shí)兩個(gè)根為x1=2m,x2=-m-3,為保證條件①成立,需要,又m<0,故結(jié)果為-4 11、還涉及到簡易邏輯中的“或”,典型的“小題大做”.
27.(2012·上海高考卷·T7·5分)已知函數(shù)(為常數(shù)).若在區(qū)間上是增函數(shù),則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】根據(jù)函數(shù)看出當(dāng)時(shí)函數(shù)增函數(shù),而已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以的取值范圍為: .
【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷,分類討論在求解數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)用.本題容易產(chǎn)生增根,要注意取舍,切勿隨意處理,導(dǎo)致不必要的錯(cuò)誤.本題屬于中低檔題目,難度適中.
28.(2012·上海高考卷·T9·5分)已知是奇函數(shù),且,若,則 .
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以 .
【點(diǎn) 12、評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性.在運(yùn)用此性質(zhì)解題時(shí)要注意:函數(shù)為奇函數(shù),所以有這個(gè)條件的運(yùn)用,平時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,本題屬于中檔題,難度適中.
29.(2012·上海高考卷·T20·14分)(6+8=14分)已知函數(shù).
(1)若,求的取值范圍;
(2)若是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),有,求函數(shù)()的反函數(shù).
【答案及解析】
,
【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、分段函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí).考查數(shù)形結(jié)合思想,熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.
30.(2012·新課標(biāo)卷·T10·5分) 已知函數(shù);則的圖像大致為( )
【答案】B 13、
【解析】排除法,因?yàn)?,排除A.,排除C,D,選B.
【點(diǎn)評】結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決,基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)圖象的畫法以及圖象的三種變換。在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí),要注意用好其與圖象的關(guān)系、結(jié)合圖象研究。
31(2012·四川高考卷·T5·5分)函數(shù)的圖象可能是( )
【答案】C
【解析】采用排除法. 函數(shù)恒過(1,0),選項(xiàng)只有C符合,故選C.
【點(diǎn)評】函數(shù)大致圖像問題,解決方法多樣,其中特殊值驗(yàn)證、排除法比較常用,且簡單易用.
32.(2012·四川高考卷·T16·4分)記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù),例如,,,。設(shè)為正整數(shù),數(shù)列滿足,, 14、現(xiàn)有下列命題:
①當(dāng)時(shí),數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2;
②對數(shù)列都存在正整數(shù),當(dāng)時(shí)總有;
③當(dāng)時(shí),;
④對某個(gè)正整數(shù),若,則。
其中的真命題有____________。(寫出所有真命題的編號(hào))
[答案]①③④
[解析]若,根據(jù)
當(dāng)n=1時(shí),x2=[]=3, 同理x3=, 故①對.
對于②③④可以采用特殊值列舉法:
當(dāng)a=1時(shí),x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此時(shí)②③④均對.
當(dāng)a=2時(shí),x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此時(shí)②③④均對
當(dāng)a=3時(shí),x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, 15、 ……此時(shí)③④均對
綜上,真命題有 ①③④ .
[點(diǎn)評]此題難度較大,不容易尋找其解題的切入點(diǎn),特殊值列舉是很有效的解決辦法.
33.(2012·湖南高考卷·T8·5分)已知兩條直線 :y=m 和: y=(m>0),與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A,B ,與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D .記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a ,b ,當(dāng)m 變化時(shí),的最小值為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在同一坐標(biāo)系中作出y=m,y=(m>0),圖像如下圖,
由= m,得,= ,得.
依照題意得.
,.
【點(diǎn)評】在同一坐標(biāo)系中作出y=m,y 16、=(m>0),圖像,結(jié)合圖像可解得.
34. (2012·天津高考卷·T4·5分)函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】B.
【解析】以數(shù)形結(jié)合思想來解答問題.原題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在區(qū)間(0,1)內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.由作圖可知在正區(qū)間內(nèi)最多有一個(gè)交點(diǎn),故排除C、D項(xiàng);當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此在區(qū)間(0,1)內(nèi)一定會(huì)有一個(gè)交點(diǎn),所以A項(xiàng)錯(cuò)誤,正確答案為B.
【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)分布.考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.
【考場雷區(qū)】 17、考生要避免用導(dǎo)數(shù)思想來解答試題,這樣會(huì)進(jìn)入運(yùn)算的盲區(qū)中,即使能運(yùn)算出來,也是量大費(fèi)時(shí),作為小題而言有些大作之味.
8.(江蘇17)請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=cm
(1)某廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm)最大,試問應(yīng)取何值?
(2)某廣告商要求包裝盒容積V(cm)最大,試問應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值。
P
18、
本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)學(xué)建模能力、空間想象力、數(shù)學(xué)閱讀能力及解決實(shí)際問題的能力。滿分14分.
解:設(shè)饈盒的高為h(cm),底面邊長為a(cm),由已知得
(1)
所以當(dāng)時(shí),S取得最大值.
(2)
由(舍)或x=20.
當(dāng)時(shí),
所以當(dāng)x=20時(shí),V取得極大值,也是最小值.
此時(shí)裝盒的高與底面邊長的比值為
9.(福建理18)。某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式,其中3 19、I)若該商品的成品為3元/千克,試確定銷售價(jià)格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。
本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí),考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,滿分13分。
解:(I)因?yàn)閤=5時(shí),y=11,所以
(II)由(I)可知,該商品每日的銷售量
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
從而,
于是,當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:
(3,4)
4
(4,6)
+
0
-
單調(diào)遞增
極大值42
單調(diào)遞減
由上表可得,x=4是函數(shù)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn);
所以,當(dāng)x=4時(shí), 20、函數(shù)取得最大值,且最大值等于42。
答:當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí),商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。
10.(山東理21)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米,且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元,設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.
(Ⅰ)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的.
解:(I)設(shè)容器的容積為V,
由題意知
故
由于
因此
所以建造費(fèi)用
因此
(II)由(I)得
由于
當(dāng)
令
所以
(1)當(dāng)時(shí),
所以是函數(shù)y的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn)。
(2)當(dāng)即時(shí),
當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減,
所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn),
綜上所述,當(dāng)時(shí),建造費(fèi)用最小時(shí)
當(dāng)時(shí),建造費(fèi)用最小時(shí)
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